●許書軍 劉少平 鄒 鵬 (仙桃市第八中學(xué) 湖北仙桃 433000)

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類比聯(lián)想尋思路 三角換元巧解題

●許書軍 劉少平 鄒 鵬 (仙桃市第八中學(xué) 湖北仙桃 433000)

數(shù)學(xué)競賽中許多代數(shù)問題，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，變元較多，學(xué)生往往陷入盤根錯節(jié)的變量關(guān)系之中，難以理清頭緒，找不到解題切入點而無從下手.這時如果借助題目顯現(xiàn)的某些特征和關(guān)系，從分析問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，類比聯(lián)想相關(guān)三角公式和恒等式模型，適時采用三角換元，不僅能簡化題設(shè)信息，使隱性條件顯性化，而且可以溝通變元之間的關(guān)系，使繁雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單的三角變換問題而快捷獲解.

1 類比聯(lián)想sin2θ+cos2θ=1

( )

(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題)

又

從而

例2 已知正實數(shù)a,b滿足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的取值范圍.

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽試題)

且

2 類比聯(lián)想sin2α+(cosαsinβ)2+(cosαcosβ)2=1

(2010年湖北省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

例4 已知實數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+5z2+2xy+4yz-2x+2y+2z+11=0，求x+2y+3z的取值范圍.

(2011年世界數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽青年組試題)

分析 初看本題，似乎無從下手，但若將已知條件配方,則

(x+y-1)2+(y+2z+1)2+(z-3)2=3.

聯(lián)想到 sin2α+(cosαsinβ)2+(cosαcosβ)2=1,

就可以用三角函數(shù)模型來表達(dá)求解了.

解 將已知條件配方可得

(x+y-1)2+(y+2z+2)2+(z-3)2=3,

令

于是D=x+2y+3z=A+B+C+2=

即

3sin(α-γ)+2≤D≤3sin(α+γ)+2,

sin(α-γ)≥-1, sin(α+γ)≤1,

所以

-1≤D≤5,

故x+2y+3z取值范圍為[-1,5].

3 類比聯(lián)想sec2θ-tan2θ=1

(2010年北京大學(xué)自主招生試題)

分析 將已知條件變形可得

(1-z)2-y2=x2.

解 由題設(shè)易知0

(1-z)2-y2=x2.

xy+2xz=x2tanθ+2x(1-xsecθ)=

從而

故

例6 若x2+2xy-y2=7(其中x,y∈R),求x2+y2的最小值.

(2013年浙江大學(xué)自主招生試題)

解 由x2+2xy-y2=7,得

(x+y)2-2y2=7.

4 類比聯(lián)想

an>an-1>…>a2>a1>a0,

因此數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

5 類比聯(lián)想

解 由已知條件知

a+c=(1-ac)·b,

故

β=α+γ,

2cos2α-2cos2(α+γ)+3cos2γ=

cos2α+1-cos(2α+2γ)-1+3cos2γ=

2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤

2sin2γ+3cos2γ=3-3sin2γ+2sinγ=

又xn+1=x1,得

tan2nθ=tanθ,

得

于是原方程組的解為

6 類比聯(lián)想tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

例10 設(shè)x,y,z均為實數(shù)，且x+y+z=xyz,求證：

分析 待證等式中的每一個分式與正切的二倍角公式相類似，已知等式和待證等式分別是3項和與3項積，自然聯(lián)想到三角中的恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(其中A+B+C=kπ,k∈Z)，進(jìn)一步觀察題設(shè)與結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，只要令x=tanA,y=tanB,z=tanC,此題就容易解決.

因為

x+y+z=xyz,

所以

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

從而

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

即

亦即

tan(A+B)=tan(-C),

得A+B=kπ-C,即

A+B+C=kπ(其中k∈Z),

故

2A+2B+2C=2kπ(其中k∈Z)，

于是tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C,

7 類比聯(lián)想

例11 設(shè)x,y,z∈R+,x+y+z=1,求證:

證明 由x+y+z=1聯(lián)想到在△ABC中,

故待證式等價于

事實上，在△ABC中，由琴生不等式可知

故待證式成立.

8 類比聯(lián)想tanθcotθ=1

例12 若a>1,b>1,ab-(a+b)=1，求a+b的最小值.

解 由ab-(a+b)=1,可得

(a-1)(b-1)=2,

9 類比聯(lián)想萬能公式

解 注意到

通過以上解答和分析,我們發(fā)現(xiàn):充分關(guān)注條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，展開類比聯(lián)想，探索溝通條件與結(jié)論間的聯(lián)系，采用恰當(dāng)?shù)膿Q元法，就能左右逢源，迅速找到問題解決的突破口.這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，開發(fā)了學(xué)生的智力，而且還提高了學(xué)生解決問題的能力.