劉彥軍

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一.抽象性較強，靈活性大，解抽象函數(shù)重要的一點要抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學思想方法（如化歸法、數(shù)形結(jié)合法等），這樣就能突破“抽象”帶來的困難，做到胸有成竹。另外還要通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導我們解決抽象函數(shù)問題的方法。

一、定義域問題

多為簡單函數(shù)與復合函數(shù)的定義域互求。分兩大類：

1.已知的定義域，求的定義域

其解法是：若的定義域為，則在中，，從中解得的取值范圍即為的定義域。

2.已知的定義域，求的定義域

其解法是：若的定義域為，則由確定的的范圍即為的定義域，也就是說的值域就是的定義域。

例1. 已知函數(shù)的定義域為，求的定義域.

分析：該函數(shù)是由和構(gòu)成的復合函數(shù)，其中是自變量，是中間變量，由于與是同一個函數(shù)，因此這里是已知，即，求的取值范圍.

解：的定義域為，，.

故函數(shù)的定義域為.

例2.若的定義域為，求的定義域.

解：由的定義域為，則必有解得.

所以函數(shù)的定義域為.

二、解析式問題

一般使用替代法。如果把x和-x分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，使一個變量在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。

例3. 已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=，

求f（x），g（x）的表達式.

三、單調(diào)性問題

一般采用賦值法，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，進一步解決不等式問題。

例4. 設(shè)f（x）定義于實數(shù)集上，當時，，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。

證明：在中取，得

若，令，則，與矛盾

所以，即有

當時，;當時，

而

所以

又當時，

所以對任意，恒有

設(shè)，則

所以

所以在R上為增函數(shù)。

四、奇偶性問題

抽象函數(shù)的奇偶性的判斷需利用函數(shù)奇偶性的定義，找準方向，巧妙賦值，合理，靈活地變形配湊，找出與的關(guān)系。

例5. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取則，即

因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。

五、周期性問題

判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù);一是根據(jù)定義，二是記住一些重要的結(jié)論：如果函數(shù)對定義域中任意滿足或等，則是周期函數(shù)，是一個周期等等，根據(jù)這些條件可以快速獲得周期。

例6. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=- f（x），給出下列四個結(jié)論：

①f（2）=0;

②f（x）是以4為周期的函數(shù);

③f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱;

④f（x+2）=f（- x）

其中所有正確命題的序號是___________。

解析1：（1）因為y= f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，所以f（-x）=- f（x）

令x=0，得f（-0）=-f（0）

所以f（0）=0

又已知f（x-2）=- f（x）

令x=2，得f（0）=- f（2）

所以f（2）=- f（0）=0

故①成立。

（2）因為f（x-2）=- f（x），所以

由x-（x-4）=4（兩自變量相減得常數(shù)）

所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)。

故②成立。

（3）由f（x+2）= f（-x）得：（x+2）+（-x）=2（兩自變量相加得常數(shù)）

所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱。而不是關(guān)于直線x=2對稱。

故③是錯誤的。

（4）由（2）知，f（x）應滿足f（x+2）= f（x-2）

而f（x-2）=-f（x）

所以f（x+2）= -f（x）= f（-x）

故④成立。

綜上所述，應填①②④。