劉 英 英

(沈陽大學 信息工程學院,遼寧 沈陽 110044)

時變時延離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

劉 英 英

(沈陽大學 信息工程學院,遼寧 沈陽 110044)

研究了時變時延離散網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.采用一個充分利用系統(tǒng)狀態(tài)相關變量的Lyapunov泛函,應用牛頓-萊布尼茨公式并引入了松散變量技術,獲得了新的基于線性矩陣不等式(LMI)的穩(wěn)定性條件.此穩(wěn)定性條件描述了網(wǎng)絡狀態(tài)相關變量之間的聯(lián)系,且具有較小的保守性.仿真算例表明了所提出的方法的有效性.

時變時延; 離散網(wǎng)絡系統(tǒng); LMI

通過實時網(wǎng)絡形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)稱為網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,簡記為NCSs).隨著計算機應用技術、網(wǎng)絡技術和控制技術的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡控制系統(tǒng)受到了廣泛的關注,并成為國際控制領域的一個研究熱點.與傳統(tǒng)的點對點結構的控制系統(tǒng)相比,NCSs具有成本低、安裝與維護簡便、可實現(xiàn)資源共享、易于擴展、高可靠性等優(yōu)點[1].

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)雖然有如此多的優(yōu)點,但是網(wǎng)絡的引入也會給系統(tǒng)分析與綜合帶來新的挑戰(zhàn),如網(wǎng)絡誘導時延、數(shù)據(jù)包丟失、數(shù)據(jù)包時序錯亂、時變采樣間隔、信號量化、寬帶約束等.這些問題引起了許多學者的關注,然而如何對現(xiàn)有的方法進行改進或者提出新的研究方法來分析網(wǎng)絡控制系統(tǒng)一直需要深入地探討和研究[2].

網(wǎng)絡中數(shù)據(jù)傳輸?shù)倪^程中可能會產生一系列的問題,如網(wǎng)絡誘導時延和數(shù)據(jù)丟包[3].網(wǎng)絡誘導時延發(fā)生在網(wǎng)絡中的傳感器、執(zhí)行器、控制器之間.在網(wǎng)絡中存在時延的情況下,當控制參數(shù)改變時,被控量需要延遲一段時間之后才開始改變,使得被控量不能及時地響應控制信號的作用;由于時延的存在,控制信號不能立即抑制干擾.控制力的不同步實施,不僅降低了控制系統(tǒng)的性能,甚至會使系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此,穩(wěn)定性問題是時延網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的主要研究內容之一[4-5].

當前,利用時滯系統(tǒng)方法研究具有時延的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)引起了許多學者的關注.在過去的幾十年里,很多研究都集中到了連續(xù)網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、控制器設計以及穩(wěn)定化問題上[6-8].而對帶時延的離散時間網(wǎng)絡控制系統(tǒng),雖然其有著很強的工程背景,但卻沒有得到足夠的重視.

1 問題描述

考慮如下系統(tǒng)

(1)

(2)

式中:x(k)∈Rn是狀態(tài);A,B是已知的具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣;U(k)是控制輸入;K為狀態(tài)反饋增益.

圖1為一般的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的結構.一個網(wǎng)絡的閉環(huán)里,包括控制器、傳感器、執(zhí)行器,它們通過通信介質進行連接.控制器節(jié)點采用事件驅動,傳感器節(jié)點和執(zhí)行器節(jié)點采用時間驅動.傳感器和執(zhí)行器是同步的.設k1h為傳感器側的采樣時刻,此時的狀態(tài)為x(k1h).它經(jīng)過d1(k)到達控制器,到達控制器的時刻為k2h.控制器輸入信號經(jīng)過d2(k)到達執(zhí)行器,到達執(zhí)行器的時刻為kh,則有

式中,k1,k2和d(k)都是整數(shù);d1(k),d2(k)分別為傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的網(wǎng)絡誘導時延.

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的結構Fig.1 Structure of the network control system

假設網(wǎng)絡誘導時延是時變的,且有界,滿足如下條件

(3)

式中,dm和dM都是常數(shù),分別表示時變時滯d(k)的下界和上界.

為了簡單起見,下面用k1,k2,k分別替代k1h,k2h,kh.通過前面的分析,可以得到U(k)=Kx[k-d(k)].因此,在考慮網(wǎng)絡誘導時延作用的情況下,閉環(huán)網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)和(2)可以表示為

(4)

記Ad=BK,則系統(tǒng)(4)可以寫成如下形式

(5)

下面采用Lyapunov泛函方法,引入松散變量技術,并應用牛頓-萊布尼茨公式,給出系統(tǒng)(5)的新的穩(wěn)定性條件.

2 主要結果

(6)

那么系統(tǒng)(5)在d(k)滿足式(3)的條件下是漸近穩(wěn)定的.式中

其中

證明 定義η(k)=x(k+1)-x(k),并如下構建李雅普諾夫泛函

(7)

式中:

V1(k)=xT(k)Px(k),

定義ΔV(k)=V(k+1)-V(k),則有:

進一步可得

于是有

其中

基于李雅普諾夫泛函方法,結合線性矩陣不等式方法和引入松散變量技術,獲得了時變時延閉環(huán)網(wǎng)絡系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性條件,這里沒有進行模型變化和使用有界方法.從定理的證明過程可以看出,所采用的的李雅普諾夫泛函沒有忽略任何項,充分地利用了時滯的上界和下界的信息.

注:從定理的證明過程可以看出,矩陣變量Mi,Vi,Ni,Ti(i=1,…,4)分別用來表示x(k),x(k-dm),x(k-dM)和x(k+1)-x(k)這四項之間的關系.這些矩陣變量的引入可以使條件(5)變得更松散,這意味著在使用牛頓—萊布尼茨公式過程中引入這些變量是可以降低保守性的.下面的仿真算例也說明了這一結論.

3 仿真算例

下面通過仿真算例來說明本文所給出的方法要比現(xiàn)存的結果保守性要小.

例1[9]考慮如下系統(tǒng)模型:

(8)

式中,d(k)是時變的時延.當時延下界dm給定時,需要尋找最大的時滯上界dM,使得系統(tǒng)(1)和(2)保持漸近穩(wěn)定.使用不同的穩(wěn)定性判據(jù)得到的計算結果分列在表1中.從表1可以看出,定理的保守性比文獻[2,9-11]的主要結果都要小.

表1 當dm不同時對應的時延上界Table1 The upper bound of delay correspondingto different dm

例2[12]考慮如下系統(tǒng):

(9)

表2 在給定的控制器K的作用下獲得的時延上界Table 2 The upper bound of delay obtained in the action of given controller K

從表2可以看出,本文的方法獲得了更大的時延上界,這說明定理的保守性比文獻[12]要小.圖2表明了網(wǎng)絡系統(tǒng)(1)和(2)在給定控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程.

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線

Fig.2 Response curve of system state

4 結 語

本文研究了時變時延離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,通過李雅普諾夫泛函方法,引入松散變量技術和應用牛頓-萊布尼茨公式方法,給出了基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性條件.仿真算例也表明了所提出的方法相對于現(xiàn)有方法的有效性.

[1] Sun J D,Jiang J P.Delay and Data Packet Dropout Separately Related Stability and State Feedback Stabilisation of Networked Control Systems[J].IET Control Theory & Applications,2013,7(3):333-342.

[2] Sun L K,Wu J G.Schedule and Control Co-design for Networked Control Systems with Bandwidth Constraints[J].Journal of the Franklin Institute,2014,351(2):1042-1056.

[3] 苑旭東,張爍,井元偉.基于馬爾科夫過程的單路由網(wǎng)絡建模[J].沈陽大學學報:自然科學版,2012,24(4):45-48.

(Yuan Xudong,Zhang Shuo,Jing Yuanwei.Modeling of Single-Route Network Systems Based on Markov Processes[J].Journal of Shenyang University: Natural Science,2012,24(4):45-48.)

[4] Liu K,Fridman E,Hetel L.Stability andL2-gain Analysis of Networked Control Systems under Round-Robin Scheduling: A Time-delay Approach[J].Systems & Control Letters,2012,61(5):666-675.

[5] Peng C,Yang T C.Event-Triggered Commun-ication andH∞Control Co-Design for Networked Control Systems[J].Automatica,2013,49(5):1326-1332.

[6] Sun S L,Ma J.Linear Estimation for Networked Control Systems with Random Transmission Delays and Packet Dropouts[J].Information Sciences,2014,269:349-365.

[7] Hui G T,Zhang H G,Wu Z N,et al.Control Synthesis Problem for Networked Linear Sampled-Data Control Systems with Band-Limited Channels[J].Information Sciences,2014,275:385-399.

[8] Zhang X M,Han Q L.Event-Triggered Dynamic Output Feedback Control for Networked Control Systems[J].IET Control Theory & Applications,2014,8(4):226-234.

[9] Gao H J,Chen T W.New Results on Stability of Discrete-time Systems with Time-Varying State Delay[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2007,52(2):328-334.

[10] Zhang B Y,Xu S Y,Zou Y.Improved Stability Criterion and its Applications in Delayed Controller Design for Discrete-Time Systems[J].Automatica,2008,44(11):2963-2967.

[11] Zhu X L,Yang G H.Jensen Inequality Approach to Stability Analysis of Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay[C]∥Proceedings of 2008 American Control Conference.Washington,2008:1644-1649.

[12] Tian E G,Yue D,Zhao X.RobustH∞Control for Discrete-Time Network-Based Control Systems[C]∥Proceedings of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation.Dalian,2006: 344-348.

【責任編輯: 李 艷】

Stability Analysis for Discrete-Time Networked Control Systems with Time-Varying Delay

LiuYingying

(School of Information Engineering,Shenyang University,Shenyang 110044,China)

The problem of stability for discrete-time networked control systems with time-varying delay was studied.By using Lyapunov functional approach,which take full advantages of state related variables,applying Newton-Leibniz formula and introducing loose variables technology,the sufficient conditions for stability analysis in term of linear matrix inequalities (LMI) were given.The results of stability analysis for the systems descript the relationship of system state related variables and it is less conservative than the existing results.A numerical example was also presented to illustrate the effectiveness of the developed method.

time-varying delay; discrete-time networked control system; linear matrix inequalities (LMI)

2015-01-13

國家自然科學基金資助項目(61104106); 遼寧省教育廳資助項目(L2014480).

劉英英(1980-),女,遼寧葫蘆島人,沈陽大學講師,博士.

2095-5456(2015)04-0301-05

TP 273.5

A