陳鳳德,林椿濤,楊麗婭

(福州大學 數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350116)

一方不能獨立生存的離散偏利合作模型研究

陳鳳德,林椿濤,楊麗婭

(福州大學 數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350116)

首次提出了一類一方不能獨立生存的離散偏利合作模型,探討了系統(tǒng)的持久性、絕滅性和穩(wěn)定性等.研究表明,在合作效益較小時,某一種群將絕滅,而在合作效益足夠大后,兩個種群都能持久生存.

偏利合作系統(tǒng); 絕滅性; 持久性; 全局吸引性

本文采用如下記號:

已經有很多學者對合作種群模型的動力學行為展開了研究[1-5],然而,至今為止,有關偏利合作種群模型的研究工作還很少.祝占法等提出了如下一方不能獨立生存的兩種群偏利合作模型[5]:

(1)

借助向量場分析的方法研究了系統(tǒng)(1) 的各個平衡點的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的軌線走向問題,隨后進一步考慮了環(huán)境毒素對種群的影響,得到了所研究模型種群弱平均持續(xù)生存和絕滅的充分性條件.式中,x≥0,y≥0,a1<0,a2>0,b1<0,c2<0,c1>0均為常數(shù).最近,楊麗婭等[6]認為實際的生態(tài)環(huán)境都是隨著時間的變化而變化的,因此,考慮非自治的一方不能獨立生存的偏利合作系統(tǒng)更為符合實際,他們提出了如下模型:

(2)

研究表明,在合作效益較小時,種群將仍然絕滅,而在合作效益足夠大后,兩個種群都能持久生存,隨后進一步探討了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.式中,ai(t),bi(t)(i=1,2),c1(t)均為正的有上下界的連續(xù)函數(shù);x1(t)是第一個種群在t時刻的生長密度,x2(t)是第二個種群在t時刻的生長密度.

近年來,學者們已經認識到,對生命短、世代不重疊的種群,或者雖然是生命長、世代重疊的種群,但在其數(shù)量比較少時,用差分方程(或者說離散動力模型)來表示更為合理.

本文研究如下與系統(tǒng)(2)相對應的離散偏利合作模型:

(3)

式中,ai(k),bi(k),c1(k)均為正的有上下界的序列;x1(k)是第一個種群第k代的種群密度,x2(k)是第二個種群第k代的種群密度.顯然,在沒有第二個種群的幫助下,第一個種群滿足方程x1(k+1)=x1(k)exp{-a1(k)-b1(k)x1(k)},由此容易看出其最終走向絕滅.本文的目的旨在探討第二個種群如何影響第一個種群的動力學行為,探討系統(tǒng)的持久性、絕滅性和全局吸引性.主要結果如下.

引理1[7]假設{x(k)}>0,a(k),b(k)是有正的上下界的非負序列,對k∈N,有

則

引理2[7]假設x(N0)>0,a(k),b(k)是有正的上下界的非負序列,{x(k)}滿足

引理3[8]假設{x(k)}>0,a(k),b(k)是有正的上下界的非負序列,對k∈N,有

則

其中

引理4系統(tǒng)(3)的第二個種群恒為持久的.

證明 由系統(tǒng)(3)的第二個方程x2(k+1)=x2(k)exp{a2(k)-b2(k)x2(k)}和引理3有

(4)

式中,

(5)

證明 第二個種群的持久性已經由引理4證得,下面探討第一個種群的絕滅性.

(6)

由系統(tǒng)(3)的第一個方程以及式(4)和式(5)可知,當k>K1時,有

(7)

也就是有

(8)

由式(4) 知,對上述ε>0,存在K2,當k>K2時,有

(9)

由式(9)并結合系統(tǒng)(3) 的第一個方程可知,當k>K2時,有

由引理1有

令ε→0,有

(10)

此外,由式(9)并結合系統(tǒng)(3) 的第一個方程可知,當k>K2時,有

由引理2有

令ε→0,有

(11)

下面探討系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性.

定理3假設定理2的條件成立,此外,進一步假設

(12)

則有

(13)

另一方面,直接由x1(k)滿足系統(tǒng)(3)的第一個方程也可得到

其中

整理可得

(14)

類似于上述整理,由系統(tǒng)(3)的第二個方程也可得到

(15)

借助于中值定理,由式(14)和式(15)有

(16)

(17)

由定理2知,對上述ε>0,存在K3,當k>K3時,有

從而由式(16)易得

注意到λ<1,可得

由式(12)易得

注:本文提出并研究了一類離散的一方不能獨立生存的偏利合作系統(tǒng).由定理1可知,種間合作效益比較小、第一個種群的死亡率比較大時,原來不能獨立生存的一方仍然最終絕滅,而另外一個種群是恒持久的;種間合作效益比較大、第一個種群的死亡率比較小時,由定理2知兩個種群可以長久共存,這說明兩種群間的合作強度直接決定第一個種群的持久生存或者絕滅.

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【責任編輯: 李 艷】

On a Discrete Obligate Lotka-Volterra Model with One Party can not Survive Independently

ChenFengde,LinChuntao,YangLiya

(College of Mathematics and Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)

A discrete obligate Lotka-Volterra model was proposed,the permanence,extinction and global attractivity of the system are investigated.The study shows that,when cooperation benefits are small,one population maybe driven to extinct; while if the cooperation benefits are large enough,the two populations can persistence.

obligate Lotka-Volterra model; extinction; permanence; global attractivity

2015-01-14

國家自然科學基金資助項目(11201075,11361068); 福建省自然科學基金資助項目(2013J01010).

陳鳳德(1974-),男,福建屏南人,福州大學教授.

2095-5456(2015)04-0336-04

O 175.14

A