王 喆,孟 蕓

(華東理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系,上海 200237)

聯(lián)合核主成分分析

王 喆,孟 蕓

(華東理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系,上海 200237)

提出了KPCA的一種稱(chēng)為聯(lián)合核主成分分析(Joint Kernel Principle Component Analysis,JKPCA)的變型,能夠從輸入和輸出空間引出先驗(yàn)信息用于特征提取.首次將聯(lián)合核映射應(yīng)用于特征提取領(lǐng)域,而且在圖像數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,JKPCA是可行并有效的.

核主成分分析(KPCA); 聯(lián)合核映射; 特征提取; 核方法

特征提取是模式識(shí)別中一個(gè)重要的研究方向.一個(gè)模式識(shí)別系統(tǒng)的成敗,首先取決于所利用的特征是否較好地反映了將要研究的分類(lèi)問(wèn)題.對(duì)于已獲得的特征,一方面,有很多與分類(lèi)問(wèn)題不相關(guān),在分類(lèi)器設(shè)計(jì)中會(huì)影響分類(lèi)器的性能;另一方面,特征過(guò)多會(huì)帶來(lái)計(jì)算量大和推廣能力差等問(wèn)題[1].因此,人們希望在保證分類(lèi)效果的前提下使用盡可能少的特征,特征提取就是一種被廣泛采用的方法.

在特征提取中,主成分分析(PCA)[2-3]是一種經(jīng)典的用于從原始數(shù)據(jù)中提取緊密結(jié)構(gòu)的特征提取方法.選擇較少的主成分來(lái)表示數(shù)據(jù),不但可以用作特征的降維,還可以用來(lái)消除數(shù)據(jù)中的噪聲.但是主成分分析并不總是對(duì)分類(lèi)有好處,如果相比于類(lèi)別之間的差別來(lái)說(shuō)噪聲很大,那么主成分分析將找到噪聲的主方向而不是人們所期望的信號(hào)的主方向[1].因此,對(duì)特征提取方法的改進(jìn)是十分必要的,它直接影響到后續(xù)分類(lèi)器的設(shè)計(jì)和模式識(shí)別系統(tǒng)的總體性能.

基于以上描述,本文首次將聯(lián)合核映射(JKM)應(yīng)用于特征提取領(lǐng)域,提出了一種新型的基于核的特征提取方法,稱(chēng)作聯(lián)合核主成分分析(JKPCA).由于方法中采用的JKM是基于輸入和輸出空間的聯(lián)合數(shù)據(jù)表示,JKPCA相比其他方法能夠引入更多的先驗(yàn)信息.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,JKPCA在由圖像表示的輸出數(shù)據(jù)上不僅其分類(lèi)性能優(yōu)于兩個(gè)典型特征提取方法,即基于核的主成分分析(KPCA)和核Fisher判別分析(KFDA)[4],而且和對(duì)比算法相比,計(jì)算復(fù)雜度相當(dāng).

1 相關(guān)工作

主成分分析(PCA)投射原始數(shù)據(jù)至可以用特征值問(wèn)題解決的主成分,即使用規(guī)模很小的主成分,也足夠表達(dá)原始數(shù)據(jù)的主要結(jié)構(gòu).PCA是一種數(shù)學(xué)變換方法,把給定的一組相關(guān)變量通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量,在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變,使具有最大方差的第一變量為第一主成分,第二變量的方差次大,并且和第一變量不相關(guān)為第二主成分,依此類(lèi)推[5].因?yàn)镻CA是一種線性方法,而且只能用于原始數(shù)據(jù)空間,所以Sch?lkopf等將PCA推廣到非線性形式的核主成分分析(KPCA).實(shí)驗(yàn)證明,因?yàn)镵PCA能夠通過(guò)選擇不同的核函數(shù)處理特征空間中的任意維度,它比PCA更有效且有更好的適應(yīng)性[6-7].核方法之所以性能優(yōu)異是因?yàn)椴捎昧撕撕瘮?shù),核函數(shù)即在特征空間F上的內(nèi)積,它能夠?qū)⒃驾斎肟臻g的x∈F映射到特征空間,有Φ(x)∈F:

(1)

所以,k(xi,xj)=[φ(xi)·φ(xj)],其中,核函數(shù)k能夠從原始輸入空間引入先驗(yàn)信息.在一些文獻(xiàn)中提到只有具有0-1損失函數(shù)形式的映射可以從輸入空間為輸出空間Y提供足夠的信息[8-10].但同時(shí)Y可以由很多復(fù)雜的結(jié)構(gòu)如圖像、字符串、樹(shù)或者序列等表示,只在輸入空間定義核函數(shù)k會(huì)導(dǎo)致輸出空間的信息不能得到有效利用而不能很有效地解決問(wèn)題.為了能夠處理以上提到的復(fù)雜輸出,有些文獻(xiàn)提出新型的核映射,稱(chēng)作聯(lián)合核映射(JKM)[11-14].

假設(shè)輸入空間中x∈F以及任意獨(dú)立的輸出空間y∈Y,JKM的形式如下:

(2)

式中,Ψ表示輸入和輸出空間中一些特征表示組合之間的映射.更進(jìn)一步地,利用聯(lián)合特征表示的內(nèi)積,一個(gè)聯(lián)合核函數(shù)可以如下定義:

(3)

JKM已經(jīng)被證明能夠很好地處理由多個(gè)獨(dú)立變量構(gòu)成的輸出.

KPCA采用了式(1)中表示的常規(guī)核映射,因此,KPCA繼承了式(1)中在處理復(fù)雜輸出方面的缺點(diǎn).為了克服這個(gè)缺點(diǎn),本文將類(lèi)似于式(2)中的JKM應(yīng)用到KPCA,提出了基于核的特征提取方法,稱(chēng)作聯(lián)合核主成分分析(JKPCA).

2 聯(lián)合核主成分分析

2.1 特征提取

給定一組訓(xùn)練集(x1,y1),…,(xN,yN)∈X×Y,其中,輸入空間X和輸出空間Y都可以用向量、圖像或者樹(shù)型結(jié)構(gòu)來(lái)表示.通過(guò)式(2)描述的JKM,能夠映射輸入和輸出空間的聯(lián)合表示(x,y)至φ(x,y)∈F,其中,φ(x,y)是一個(gè)向量且屬于生成的聯(lián)合特征空間F.因此,在聯(lián)合特征空間F中,試圖找到一個(gè)線性變換向量ω∈F,使得投影φ(x,y)在ω有

(4)

為了找到一個(gè)較好的轉(zhuǎn)換向量ω,使投影范圍r能夠在ω方向上表示φ(x,y)的主要結(jié)構(gòu),本文引入投影樣本的總散度來(lái)衡量ω,其準(zhǔn)則函數(shù)是:

(5)

函數(shù)(5)中提到的S表示投影樣本的協(xié)方差矩陣,其中,tr(S)是S的跡.準(zhǔn)則函數(shù)(5)可以保證投影r能夠保持原始樣本φ(x,y)在轉(zhuǎn)換向量ω方向上的主要結(jié)構(gòu).投影樣本的協(xié)方差矩陣S可以由訓(xùn)練樣本直接計(jì)算得到:

(6)

定義樣本協(xié)方差矩陣C有如下式所示的形式:

(7)

把式(7)代入式(5)可以得到:

(8)

進(jìn)一步地,最大化式(8)相當(dāng)于解決了如下特征值問(wèn)題:

(9)

(10)

所以,針對(duì)所有的訓(xùn)練樣本φ(xk,yk)(k=1,…,N),式(9)能夠變換為

(11)

把式(7)和式(10)代入式(11)可以得到

(12)

定義一個(gè)聯(lián)合核矩陣K[11-12]:

(13)

則式(12)可以寫(xiě)成

(14)

式中,αvec是一個(gè)列向量,αvec=[α1,…,αN]T.求解式(14)又相當(dāng)于求解如下特征值問(wèn)題:

(15)

(16)

假設(shè)一組測(cè)試數(shù)據(jù)(z,y)能夠映射到聯(lián)合特征空間F的φ(z,y),按如下方式將φ(z,y)投影到第k個(gè)轉(zhuǎn)換方向ωk:

(17)

利用W=[ω1,…,ωp],則從φ(z,y)提取的特征可以表示為

(18)

2.2 分類(lèi)算法

通常情況下,測(cè)試數(shù)據(jù)(z,y)中的輸出值y是未知的,但是在特征提取式(18)的過(guò)程中,對(duì)給定樣本z對(duì)應(yīng)的y的估計(jì)是十分必要的.本文通過(guò)如下式子得到z的輸出y:

(19)

式中,Y為訓(xùn)練集輸出(y1,…,yN)的集合.進(jìn)一步地,假設(shè)對(duì)于(xi,yi)和(xj,yj),如果存在yi=yj,那么φ(xi,yi)和φ(xj,yj)投影之間的距離也是很小的;否則它們之間的距離會(huì)很大.另外要注意的是,在使用JKPCA投影的過(guò)程中,對(duì)于一個(gè)給定的測(cè)試樣本,它的輸出y也是可以得到的.

JKPCA的算法設(shè)計(jì)總結(jié)如下:

(1) 通過(guò)式(13)計(jì)算矩陣K;

(2) 計(jì)算式(15)的特征值;

(3) 通過(guò)式(16)正規(guī)化步驟(2)得到的特征值;

(4) 通過(guò)式(18)從測(cè)試數(shù)據(jù)(z,y)提取特征,同時(shí),通過(guò)式(19)從z里獲取輸出y.

2.3 非集中型樣本

上節(jié)中認(rèn)為訓(xùn)練樣本(x1,y1),…,(xN,yN)在聯(lián)合特征空間F中是集中的,本節(jié)討論一般情況即不集中的樣本.假設(shè)一個(gè)訓(xùn)練樣本集(x1,y1),…,(xN,yN)∈X×Y能夠用式(2)表示的JKM映射到一個(gè)聯(lián)合特征空間F,將樣本依據(jù)下式進(jìn)行集中:

(20)

(21)

(22)

(23)

2.4 JKPCA、KPCA和KFDA的聯(lián)系

下面從理論上討論JKPCA、KPCA和KFDA三者之間的關(guān)系.若式(15)中的K采用常規(guī)映射(1),則很容易發(fā)現(xiàn)KPCA是JKPCA 的一個(gè)特例.對(duì)于給定的訓(xùn)練樣本,假設(shè)有l(wèi)個(gè)類(lèi)別,第k類(lèi)有nk個(gè)樣本,并且設(shè)定1=[1,…,1]T∈Rnk,定義如下矩陣:

這樣,KFDA面向的是如下廣義特征值問(wèn)題:

(24)

代入定義的矩陣,式(24)可以轉(zhuǎn)化成

(25)

若使式(15)中的JKPCA的K為K-TD-1CK,則JKPCA就會(huì)退化成KFDA.所以不難看出,KPCA和KFDA都是JKPCA的特例.

3 實(shí) 驗(yàn)

與文獻(xiàn)[12-13,16]的工作類(lèi)似,本文中JKPCA中的聯(lián)合核定義為兩個(gè)核映射的張量積,并設(shè)定兩個(gè)核函數(shù)為同一形式以方便計(jì)算,即J((xi,yi),(xj,yj))=[φ(xi,xj)][φ(yi,yj)].根據(jù)核函數(shù)的性質(zhì)有φ(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj),則JKM有如下形式:[φ(xi,yi)·φ(xj,yj)]=[φ(xi)·φ(xj)][φ(yi)·φ(yj)].

因此,式(13)中聯(lián)合核矩陣具有如下形式:

Kij=[φ(xi)·φ(xj)][φ(yi)·φ(yj)]=KxijKyij.

(26)

式中,Kxij=φ(xi)·φ(xj),Kyij=φ(yi)·φ(yj),并分別把線性核、RBF核和多項(xiàng)式核用于Kxij和Kyij.

3.1 在ORL上的實(shí)驗(yàn)

ORL數(shù)據(jù)集總共是來(lái)自40個(gè)人的圖像,每個(gè)人有10張不同的姿勢(shì)和不同的表情變化且尺寸為28×23的圖像.圖1展示了ORL數(shù)據(jù)集中來(lái)自同一個(gè)人的十張圖像.針對(duì)ORL數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)設(shè)置中,使用每個(gè)人也就是每一類(lèi)別中的前5張圖作訓(xùn)練,其余的作測(cè)試.KPCA和KFDA使用離散的類(lèi)標(biāo)號(hào){0,1,2,…}來(lái)表示輸出空間,很明顯,這兩個(gè)算法關(guān)于輸出空間的這一設(shè)定并不能反映出輸出空間的實(shí)際結(jié)構(gòu).而相反地,JKPCA能夠在特征提取的過(guò)程中考慮到輸出空間的結(jié)構(gòu),因此它比KPCA 和KFDA 得到了更多的先驗(yàn)信息.

圖1 ORL數(shù)據(jù)集示例一個(gè)人的10張圖像Fig.1 Ten images of one person on ORL data set

在本文的實(shí)驗(yàn)中,所有的輸入數(shù)據(jù)xi都來(lái)自同一類(lèi)別,它們有相同的輸出y.更具體地,ORL中每個(gè)人的第一張圖像用作相應(yīng)的輸出.以圖1中的人像為例,第一行的5張圖用來(lái)訓(xùn)練,第二行的用作測(cè)試.所有這10張圖有共同的輸出y,即第一行最左邊的圖,這樣做是因?yàn)橥ǔＣ總€(gè)圖像數(shù)據(jù)集每一類(lèi)都會(huì)有1或2張標(biāo)準(zhǔn)圖像.圖2展示了KPCA,KFDA和JKPCA在ORL數(shù)據(jù)集上變化提取特征維度時(shí)的分類(lèi)正確率.這里要說(shuō)明的是,基于使用的核不同,共給出了JKPCA的兩種形式.圖2中,“JKPCA” 表示的是使用了相同的Kxij和Kyij,另一個(gè)“JKPCA2”則表示使用了不同的Kxij和Kyij.由圖2可以觀察到:①JKPCA2在提取特征維度從1到12變化過(guò)程中一直保持著比其他算法更高的分類(lèi)正確率;②JKPCA與KPCA和KFDA相比沒(méi)有明顯的優(yōu)勢(shì),尤其是在低維度上的分類(lèi)正確率甚至低于二者,與預(yù)估不符,出現(xiàn)這種現(xiàn)象可能是由于JKPCA使用相同的Kxij和Kyij造成的.輸入空間和輸出空間在通常情況下是很不相同的,所以它們對(duì)應(yīng)的映射也不盡相同.而JKPCA2則對(duì)輸入和輸出空間使用了不同的核以與前面描述的情況一致,所以展現(xiàn)出了很好的分類(lèi)性能.

圖2 KPCA,KFDA和JKPCA在ORL數(shù)據(jù)集上變化提取特征維度時(shí)的分類(lèi)正確率

3.2 在Coil-20上的實(shí)驗(yàn)

Coil-20是一個(gè)從哥倫比亞大學(xué)物體圖像數(shù)據(jù)庫(kù)獲取到的實(shí)體圖像數(shù)據(jù)集,它包含來(lái)自20個(gè)實(shí)體大小為32×32共1 440張圖像.環(huán)繞每個(gè)實(shí)體每5°獲取一張圖像,共得到72張.圖3展示了Coil-20中呈現(xiàn)不同形態(tài)的一個(gè)實(shí)體的圖像.針對(duì)Coil-20數(shù)據(jù)集,本文共設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn).第一個(gè)實(shí)驗(yàn)是在相同訓(xùn)練集規(guī)模下提取不同維度的特征,

其中每個(gè)實(shí)體選取12張圖用來(lái)訓(xùn)練,其余的用作測(cè)試.第二個(gè)實(shí)驗(yàn)是從不同規(guī)模的訓(xùn)練集中提取固定數(shù)目的特征,其中,每個(gè)實(shí)體用作訓(xùn)練的數(shù)量分別是{12,24,36,48,60}.圖4給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.由圖4可以觀察到以下兩點(diǎn):①兩種情況即不同特征維度和不同訓(xùn)練集規(guī)模下,JKPCA2總是比KPCA,KFDA和JKPCA的分類(lèi)正確率高;②JKPCA2和JKPCA相比于KPCA和KFDA都需要較少或至多相當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間.實(shí)驗(yàn)證明了提出的JKPCA不僅提高了分類(lèi)正確率,并在一定程度上減少了分類(lèi)器的訓(xùn)練時(shí)間,是一種可行的且值得推廣的算法.

圖3 Coil-20數(shù)據(jù)集示例一個(gè)實(shí)體的10張圖像Fig.3 Ten images of one object on Coil-20 data set

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experimental result

3.3 在AR上的實(shí)驗(yàn)

AR人臉數(shù)據(jù)集[15]包含126個(gè)人超過(guò)3 200張的正臉圖像.本文使用的是AR的一個(gè)子集,包含100個(gè)人,每個(gè)人20張圖,共計(jì)2 000張人臉圖像.每張圖像的尺寸是66×48,分別涉及時(shí)間、表情、穿著和光照變化.圖5顯示了AR數(shù)據(jù)集中一個(gè)人的20張圖像,具體的圖像細(xì)節(jié)是:第一行從左數(shù)依次為自然表情,微笑,生氣,尖叫,戴墨鏡,戴墨鏡且左側(cè)有光照,戴墨鏡且右側(cè)有光照,戴圍巾,戴圍巾且左側(cè)有光照,戴圍巾且右側(cè)有光照.第二行的圖像和第一行的情景狀況一樣,區(qū)別是獲取圖像的時(shí)間不同.

圖5 AR數(shù)據(jù)集示例一個(gè)人的20張圖像Fig.5 Twenty images of one person on AR data set

針對(duì)AR數(shù)據(jù)集,本文總共設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)驗(yàn).第一個(gè)實(shí)驗(yàn)針對(duì)面部表情的變化,以每個(gè)人的第一張圖像(如圖5中的(a)(k)所示)作訓(xùn)練,其余涉及面部表情的作測(cè)試(如圖5中的(b)(c)(d)(l)(m)(n)所示).第二個(gè)實(shí)驗(yàn)針對(duì)不同的穿戴,以每個(gè)人的第一張圖像(如圖5中的(a)(k)所示)作訓(xùn)練,有墨鏡和圍巾的圖像(如圖5中的(e)(h)(o)(r)所示)作測(cè)試.第三個(gè)實(shí)驗(yàn)針對(duì)不同的光照,以每個(gè)人的第一張圖像(如圖5中的(a)(k)所示)作訓(xùn)練,涉及光照的圖像(如圖5中的(e)(j)(o)(t)所示)作測(cè)試.對(duì)所有的實(shí)驗(yàn),選擇每個(gè)人的第一張圖像(如圖5a所示)表示輸出空間y.圖6給出了KPCA,KFDA,JKPCA和JKPCA2在變換面部表情、穿著和光照三種訓(xùn)練測(cè)試集時(shí)不同特征維度下的分類(lèi)正確率.由圖6可以看出,JKPCA和JKPCA2相較于KPCA和KFDA并沒(méi)有展現(xiàn)出一個(gè)很明顯的優(yōu)勢(shì),在高維情況下保持了與KPCA,KFDA相當(dāng)?shù)姆诸?lèi)正確率,但同時(shí)它提供了一個(gè)可以在特征提取過(guò)程中同時(shí)引入輸入和輸出空間的新概念.

圖6 KPCA,KFDA,JKPCA和JKPCA2在變換面部表情、穿著和光照三種訓(xùn)練測(cè)試集時(shí)不同特征維度下的分類(lèi)正確率Fig.6 Classification accuracy of KPCA,KFDA,JKPCA and JKPCA2 with varying dimension of the extracted feature vectors on the variation of facial expressions,cover,and both cover and light

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種新型的基于核的特征提取方法JKPCA,也是第一次將JKM應(yīng)用在特征提取過(guò)程中.通過(guò)與傳統(tǒng)的基于核的特征提取方法KPCA和KFDA對(duì)比,JKPCA從輸入和輸出空間引入了更多先驗(yàn)信息.在圖像數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)證明,JKPCA是一種可行有效的方法,它比KPCA和KFDA有更優(yōu)或者至少相當(dāng)?shù)姆诸?lèi)性能,同時(shí),計(jì)算代價(jià)也是相當(dāng)?shù)?今后應(yīng)進(jìn)一步探索JKPCA在更復(fù)雜輸出空間如相互依賴(lài)的變量上的有效性.

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【責(zé)任編輯: 李 艷】

Joint Kernel Principle Component Analysis

WangZhe,MengYun

(Department of Computer Science and Engineering,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

A variant of KPCA called joint kernel principal component analysis (JKPCA) is proposed,which is able to obtain the prior information from both the input and output spaces for the feature extraction processing.Moreover,the joint kernel mapping is applied into feature extraction for the first time.The experimental results validate the feasibility and effectiveness of the proposed JKPCA on image datasets.

kernel principal component analysis (KPCA); joint kernel mapping; feature extraction; kernel-based method

2015-01-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61272198).

王 喆(1981-),男,江蘇淮安人,華東理工大學(xué)副教授,博士.

2095-5456(2015)04-0306-07

TP 181

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