王躍華,孫曉靚

(1.沈陽大學(xué) 師范學(xué)院,遼寧 沈陽 110041; 2.遼寧水利職業(yè)學(xué)院,遼寧 沈陽 110122)

狀態(tài)依賴下不確定切換線性系統(tǒng)有限時間有界性分析

王躍華1,孫曉靚2

(1.沈陽大學(xué) 師范學(xué)院,遼寧 沈陽 110041; 2.遼寧水利職業(yè)學(xué)院,遼寧 沈陽 110122)

根據(jù)凸組合方法,依據(jù)狀態(tài)依賴切換策略設(shè)計切換信號和Lyapunov類函數(shù)的方法,解決了一類帶有不確定項的切換線性系統(tǒng)在外部干擾存在前提下的有限時間有界性問題,并且分析了滑膜現(xiàn)象產(chǎn)生的情況.

存在干擾; 不確定項; 狀態(tài)依賴切換策略; 有限時間有界

有限時間穩(wěn)定研究的是在沒有外部干擾的情況下系統(tǒng)在較短的時間間隔里的具體行為表現(xiàn),而當(dāng)外部干擾存在時就變成了有限時間有界的問題.近年來,關(guān)于有限時間穩(wěn)定問題的結(jié)果有很多.文獻(xiàn)[1]研究的是帶有不定項以及干擾的線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和有限時間有界性問題.文獻(xiàn)[2]考慮的是脈沖動力系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題,文獻(xiàn)[3]給出了設(shè)計一個動力反饋輸出控制器的過程.文獻(xiàn)[4]研究了關(guān)于帶有時變時滯的切換系統(tǒng)基于H∞有限時間控制的觀測器的問題.文獻(xiàn)[5]中研究了一系列具有外部干擾的時變切換線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定以及有界問題,給出了當(dāng)切換系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的前提時的一組狀態(tài)依賴切換信號,并且這里的狀態(tài)依賴切換信號是根據(jù)單Lyapunov類函數(shù)設(shè)計的.

對于有限時間穩(wěn)定以及有界問題的解決方法,目前大多數(shù)依據(jù)的是時間依賴切換策略.但有時當(dāng)切換間隔沒有事先給出時,就需要給出基于當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)的切換策略.文獻(xiàn)[6]研究了基于狀態(tài)切換策略下的切換線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定、有限時間有界問題,而文獻(xiàn)[7]同樣在狀態(tài)切換策略下研究了切換線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定、有限時間有界問題,并給出了帶有滑膜情況的結(jié)論.本文在文獻(xiàn)[6-7]的基礎(chǔ)上,同樣在解決帶有不確定項的切換線性系統(tǒng)的有限時間的有界問題上,得到了可以依據(jù)狀態(tài)依賴切換策略(滑膜情況考慮在內(nèi))的結(jié)論.

1 系統(tǒng)描述與相應(yīng)問題的說明

對于一組如下形式的切換線性控制系統(tǒng)

(1)

(2)

對于系統(tǒng)(1),選擇狀態(tài)反饋控制器

(3)

將式(3)代入切換線性系統(tǒng)(1),則可以得到如下閉環(huán)系統(tǒng)

2 系統(tǒng)假設(shè)與相關(guān)引理

假設(shè)1x(t)的曲線是處處連續(xù)的,也就是在切換的瞬間切換線性系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)是不會發(fā)生跳躍的.

為了找到切換線性系統(tǒng)的每一個子系統(tǒng)的李雅普諾夫類函數(shù),分割整個狀態(tài)空間Rn成若干個子空間,記作Ωi.為了達(dá)到這個目的,需將整個狀態(tài)空間被這些Ωi區(qū)間覆蓋,即滿足如下的覆蓋條件即可

(4)

要實現(xiàn)將問題簡化的目的,假設(shè)每個子空間Ωi都可以表示成以下二次形式

(5)

式中,Qi∈Rn×n為對稱矩陣.

如下引理即可幫助實現(xiàn)覆蓋條件.

引理1[8](覆蓋條件) 如果對于每一個狀態(tài)x∈Rn,都有

(6)

成立,那么Ω1∪Ω2∪…∪Ωm=Rn.其中,θi≥0,i=1,2,…,m.

3 有限時間有界的定義

4 有限時間有界的充分條件及證明

將系統(tǒng)(1)選擇切換狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kσ(t)x(t),將它代入切換線性系統(tǒng)(1),即可得到如下形式的閉環(huán)系統(tǒng)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

切換策略為

(12)

證明 令V(x)=Vi(x)=xTPix,對每一個子系統(tǒng)的能量測量,選用李雅普諾夫備選函數(shù).不妨設(shè)i=1,2,j=1,2.對于i,j為其他值的一般情況也是明顯的.

(13)

即:

(14)

對式(14)由tk到t積分可得

(15)

(16)

由式(15)和式(16),可得

(17)

(18)

(19)

由定義以及式(17)～式(19),可以得到

(20)

根據(jù)定義可知,連續(xù)時間切換線性系統(tǒng)(1)是有限時間有界的.

第二種情況:當(dāng)產(chǎn)生滑膜現(xiàn)象時.此時,狀態(tài)滿足

即滑膜現(xiàn)象產(chǎn)生于子系統(tǒng)間發(fā)生轉(zhuǎn)換之時.滑膜現(xiàn)象可能出現(xiàn)的區(qū)域為Ωi,j處,此時滿足如下關(guān)系式:xTQix=xTQjx≥0.滑膜現(xiàn)象會導(dǎo)致切換表面穩(wěn)定或不穩(wěn)定的情況發(fā)生,因此,需要研究的是在滑膜現(xiàn)象發(fā)生時定理中給定的條件能否保證系統(tǒng)仍然是有限時間有界的.當(dāng)滑膜現(xiàn)象在Ωi,j處發(fā)生時,即意味著如下關(guān)系式成立

其中,i=1,2,…,m,j=1,2,…,m.即

(21)

(22)

在滑膜表面的系統(tǒng)可以表示成

(23)

式中,ρ∈[0,1].由式(8)以及前面的條件可得:

由此可得:

(24)

(25)

式(24)和式(25)相加可得

(26)

同時可得到:

(27)

(28)

式(27)和式(28)相加可以得到

(29)

由此可得:

(30)

(31)

因此,在滑膜表面的系統(tǒng)中,上述條件同樣適用.證明過程的其他部分和第一種情況是相同的.

5 結(jié) 語

依據(jù)狀態(tài)依賴切換策略,在外部干擾存在的前提下,主要研究了帶有不確定項的切換系統(tǒng)的有限時間有界性問題.相對于運用時間依賴切換策略來說,狀態(tài)依賴切換策略更顯復(fù)雜,鑒于切換常數(shù)一般不會事先給出,狀態(tài)依賴切換策略就更具實用性.

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[9] 王躍華,孫曉靚.狀態(tài)依賴下不確定切換線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性分析[J].沈陽大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,26(6):514-517.

(WangYuehua,SunXiaoliang.FiniteTimeStabilityofUncertainSwitchedLinearSystemsunderState-DependentSwitching[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience,2014,26(6):514-517.)

【責(zé)任編輯: 李 艷】

Finite Time Boundedness of Uncertain Switched Linear Systems under State-Dependent Switching

WangYuehua1,SunXiaoliang2

(1.Normal School,Shenyang University,Shenyang 110041,China; 2.Liaoning Water Conservancy Vocational College,Shenyang 110122,China)

The problem of finite time stability of uncertain switched linear systems under state-dependent switching was studied,using the method of covex combinations and state-dependent strategy.Some sufficient conditions have been given for FTB of switched linear systems based on the method of multiple Lyapunov-like functions,and it also suits for sliding motion behaviors.

interference; uncertain item; state-dependent swithching strategy; finite time boundedness

2015-03-06

王躍華(1962-),男,天津人,沈陽大學(xué)副教授.

2095-5456(2015)04-0313-05

TP 13; TP 73

A