關紅鈞,聶 穎

(沈陽大學 師范學院,遼寧 沈陽 110044)

四維不定空間中的一類曲面

關紅鈞,聶 穎

(沈陽大學 師范學院,遼寧 沈陽 110044)

研究了四維偽雙曲空間中的一類Marginally Trapped洛倫茲曲面,對具有平行平均曲率向量的這類曲面進行了分類,一共得到了6類曲面,為黑洞理論的研究提供了一定的理論支持.

洛倫茲曲面; Marginally Trapped 曲面; 平均曲率

具有平行平均曲率向量的子流形在微分幾何、調和映射以及物理學中具有重要的作用.早在20世紀70年代,Chen分類了歐氏空間中具有平行平均曲率向量的曲面[1].在文獻[2-3]中,偽歐氏空間中具有平行平均曲率向量的類空曲面被完全分類.由于洛倫茲曲面的度量是不定的,對其進行研究更復雜一些.偽歐氏空間中具有平行平均曲率向量的洛倫茲曲面已經被完全分類了,見文獻[4-5].

1 預備知識

1.1 基本公式

(1)

(2)

式中,h,A和D分別為第二基本形式、形狀算子以及法聯(lián)絡.第二基本形式h和形狀算子A具有如下關系:

(3)

平均曲率為

Gauss方程和Codazzi方程分別為

(4)

記RD為法曲率張量:

則Ricci方程為

1.2 光 錐

1.3 活動標架

(5)

(6)

(7)

令ω(e1)=ω1,ω(e2)=ω2.類似地,存在一形式φ,使得:

(8)

1.4 引 理

g=-m2(x,y)(dx?dy+dy?dx).

其中,m(x,y)為正函數(shù),且曲面的Levi-Civita聯(lián)絡為:

(9)

曲面的高斯曲率為

(1) φ=0,這意味著RD=0;

(2) 〈H,H〉是常數(shù).

2 主要定理及其證明

(2) 曲率為-1的洛倫茲曲面,定義為

其中,p(y)是位于光錐LC中的曲線,q(y)是滿足

的零曲線.

(3) 曲率為-1的洛倫茲曲面且位于

中,定義為

其中:

(6) 平坦的洛倫茲曲面,定義為

由于M具有平行平均曲率向量H,由引理2知

(10)

(11)

其中,α,β,γ,δ是實值函數(shù),則:

(12)

由方程(11)和方程(12) ,得到

(13)

情況Ⅰ:K≠-1.

此時,α,β,δ,γ≠0.由式(7)和式(11)知Codazzi方程退化為

(14)

由式(14) 和αδ=βγ知

則存在一個非零實數(shù)c,滿足:

(15)

由式(7)和式(14)知

則存在一個坐標系{x,y},使得

且

(16)

(17)

此外,由式(11)、式(12)、式(15)和式(16),得:

(18)

(19)

(20)

此方程組的可積性條件滿足Poisson方程:

(21)

另外,若令

則:

且

(22)

所以

從而

如果M是非平坦的,那么可以得到定理中的(5).

(23)

(24)

解微分方程(24)得

L=c1sin(2u)+c2cos(2u)+c3υ+c4υ2+c5,

情況Ⅱ:K=-1.

由式(13)知αδ=βγ=0,且M是曲率為-1的洛倫茲曲面.由引理1,在曲面M上選取坐標系{x,y},則M的度量張量為

(25)

曲面M的Levi-Civita聯(lián)絡為

(26)

且式(18)為

(27)

由式(26)和式(27)知

且滿足:

(28)

(29)

(30)

因此,存在函數(shù)p(x)和q(y),使得α=p(x)×(x-y)2,γ=q(y)(x-y)2,則式(28)和式(30)為

(31)

解方程組(31)得

其中

由式(29)知c2-c3-2e3=0.重新選擇適當?shù)某跏紬l件,可以得到定理中的(1).

2)δ=γ=0.在這種情況下,式(30) 成為

解方程,得到

(32)

知:

即得到定理中的(2).

3)α=β=0.交換x和y,也能得到定理中的(2).

另外,式(28)～式(30) 的可積性條件為:

(33)

所以,存在函數(shù)c1(x)和c2(y),使得

(34)

則式(28)和式(30)變成

(35)

解方程組(35)得

(36)

式中,f(x,y)是位于光錐LC(c0)中的函數(shù),且滿足

(37)

則式(37)表明

(38)

因此,式(36)和式(38)表明

(39)

這就是定理中的(3).

3 結 語

[1] Chen B Y.Surfaces with Parallel Mean Curvature Vector[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1972,78(5):709-710.

[2]ChenBY.ClassificationofSpatialSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinPseudo-EuclideanSpacesofArbitraryDimension[J].JournalofMathematicalPhysics,2009,50(4):1-14.

[3]ChenBY.CompleteClassificationofSpatialSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinArbitraryNon-flatPseudo-RiemannianSpaceForms[J].CentralEuropeanJournalofChemistry,2009,7(3):400-428.

[4]ChenBY.CompleteClassificationofLorentzSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinArbitraryPseudo-EuclideanSpace[J].KyushuJournalofMathematics,2010,64(2):261-279.

[5]FuY,HouZH.ClassificationofLorentzianSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinPseudo-EuclideanSpaces[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2010,371(1):25-40.

[6] 張秀玲,臧佳音,樊紅敏,等.改進的萬有引力搜索算法[J].沈陽大學學報:自然科學版,2014,26(6):468-472.

(ZhangXiuling,ZangJiayin,FanHongmin,etal.ImprovedGravitationalSearchAlgorithm[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience,2014,26(6):468-472.)

[7]ChenBY.DependenceoftheGauss-CodazziEquationsandtheRicciEquationofLorentzSurface[J].PublicationesMathematicaeDebrecen,2009,74(3/4):341-349.

【責任編輯: 李 艷】

A Kind of Surface in 4-Dimensional Indefinite Space Form

GuanHongjun,NieYing

(Normal School,Shenyang University,Shenyang 110044,China)

A kind of Marginally Trapped Lorentz surfaces in 4-dimensional pse-hyperbolic space is studied.The surface with parallel mean curvature vector is classified,six kinds of surfaces are got,which could provide a theoretical support for the study of black hole theory.

Lorentz surface; Marginally Trapped surface; mean curvature

2015-01-28

遼寧省教育廳一般項目(L201482).

關紅鈞(1968-),女,遼寧沈陽人,沈陽大學副教授.

2095-5456(2015)04-0340-05

O 186

A