晏玉香

數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們既要尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又要尊重知識本身的生長規(guī)律，要在知識呈現(xiàn)的過程中，讓學(xué)生體會知識的生長點(diǎn)，體會知識的相關(guān)性，幫助學(xué)生以逐漸生成的方式內(nèi)化為自己的認(rèn)知;在解決問題的過程中讓學(xué)生體會解讀條件的必要性，解決問題的方法往往就隱藏在條件背后. 初三“三角形”的復(fù)習(xí)給我們提供了一次教學(xué)生分析問題，幫助學(xué)生形成良好思維品質(zhì)的機(jī)會.

一、從整理知識結(jié)構(gòu)說起

復(fù)習(xí)課難上，難在學(xué)生都學(xué)過這部分內(nèi)容，已經(jīng)沒有新鮮感，尤其是這些數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)、判定、推論，但是這些知識點(diǎn)又是解決綜合題必備的知識基礎(chǔ)，那么怎么樣讓學(xué)生既復(fù)習(xí)好這部分知識，又不枯燥無味呢？

我在設(shè)計(jì)時，先在黑板上畫一個三角形，讓大家回憶一下與這部分相關(guān)的知識點(diǎn)，學(xué)生很快就會說出：內(nèi)角和180°，勾股定理，高線，中線，角平分線，特殊的等腰三角形，直角三角形，兩邊之和大于第三邊.

學(xué)生很快地喚醒了這部分記憶，只是這是很零散的知識點(diǎn)，下面讓學(xué)生試著歸類，提高學(xué)生知識的整合能力，也是讓學(xué)生自主地在腦海中構(gòu)建知識體系. 在教師的引導(dǎo)和學(xué)生的努力下，不難一起整理出三角形這一部分的知識結(jié)構(gòu)圖.

概念及性質(zhì)（由三條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形，三角形具有穩(wěn)定性）

圖形元素（三個頂點(diǎn)，三條邊，三個內(nèi)角，六個外角）

分類

三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

內(nèi)外角關(guān)系：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角;三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

邊角關(guān)系：三角函數(shù)，勾股定理.

重要線段：高線、中線、角平分線.

二、從具體的知識點(diǎn)聯(lián)想其各種應(yīng)用

三角形的角平分線是一條非常重要的線段，那么角平分線究竟有哪些常見的應(yīng)用類型呢？筆者沒有像傳統(tǒng)的課堂一樣，直接呈現(xiàn)三角形幾種常見應(yīng)用的例題，這樣直接“喂食”的方式?jīng)]有新意，而且很難被學(xué)生真正接受，因此筆者也是讓學(xué)生先回憶與角平分線相關(guān)的常見的應(yīng)用. 這時學(xué)生會積極思考從腦海中快速搜索，比如三角形角平分線的性質(zhì)，角平分線與等腰三角形、平行線結(jié)合的知二求一，由角平分線軸對稱變換構(gòu)造等腰三角形，這時在教師的提示下，也可以總結(jié)出根據(jù)角平分線截長補(bǔ)短構(gòu)造軸對稱型全等，下面再展示如下幾個例題，在總結(jié)完三角形的應(yīng)用的基礎(chǔ)上看這些例題，也會更加有針對性.

1. 角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

在四邊形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD為∠ABC的角平分線. 求證： ∠A + ∠C = 180 °

分析 ? 可以過點(diǎn)D分別作AB和BC的垂線段，證明兩直角三角形全等，當(dāng)然此題也可以用截長補(bǔ)短構(gòu)造軸對稱型全等.

2. 平行線、等腰三角形、角平分線的知二求一.

如圖所示，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E ，若DE長15 cm，求線段BD + CE的長.

分析 ? 由題目已知，角平分線和平行線的結(jié)合出現(xiàn)了兩個等腰三角形，因此把BD和CE分別轉(zhuǎn)移到DF和EF.

3. 根據(jù)角平分線截長補(bǔ)短構(gòu)造軸對稱型的全等三角形.

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶ ∠C的值.

分析 ? 由題目已知中的AB + BD = AC，這是線段和差關(guān)系，很容易想到截長補(bǔ)短的輔助線，而且還有角平分線，因此為構(gòu)造軸對稱型全等提供了條件，此題可以在AC上截取AE使得AE = AB（截長），或者延長AB至F，使得AF = AC（補(bǔ)短）.

4. 由角平分線軸對稱變換構(gòu)造等腰三角形.

已知：等腰直角三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠B的平分線交AC于D， 過C引 BD的垂線交BD的延長線于E.

求證：BD = 2CE.

分析 ? 等腰直角三角形是一類非常重要的三角形，為旋轉(zhuǎn)提供便利條件，同時題中也給出了角平分線以及CE與BE垂直的條件，因此此題延長CE與BA的延長線相交于F，這樣出現(xiàn)了一組軸對稱的直角三角形，從而得到一個等腰三角形.

三、由具體的問題分析其背后隱藏的知識點(diǎn)

剛才是由一個知識點(diǎn)聯(lián)想其各種應(yīng)用，下面反過來，從一個具體的應(yīng)用挖掘其背后隱藏的知識點(diǎn).

問題 ? 已知：如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于E，DF交AC于F，問：BE + FC與EF的關(guān)系？

挖掘題目背后的知識點(diǎn)：

1. 由DE⊥DF可想到：

（1）直角三角形的所有性質(zhì)及相關(guān)結(jié)論;

（2）直角三角形可以經(jīng)過軸對稱變換得等腰三角形.

2. 中點(diǎn)聯(lián)想到的知識點(diǎn)有：

（1）中點(diǎn)定義.

（2）倍長中線（即構(gòu)造中心對稱型全等）.

（3）中位線定理.

（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

（5）三角形的一條中線將三角形的面積分成相等的兩部分.

（6）和等腰三角形結(jié)合的三線合一.

3. 直角頂點(diǎn)恰好是一條線段的中點(diǎn)可以聯(lián)想到“半角模型”：兩次翻折構(gòu)造全等.

大家都知道，初中階段學(xué)過的幾個全等變換是平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)，而這個問題也可以同時用這個方法證明.

解決這個問題的方法如下：

方法一：（軸對稱）兩種方法

方法二：（旋轉(zhuǎn)，中心對稱）

方法三：（平移BE至CH，需注意要證明E，D，H三點(diǎn)共線）

方法四：由直角三角形斜邊中點(diǎn)和中位線想到

當(dāng)然，復(fù)習(xí)階段要提升學(xué)生的能力，也可以繼續(xù)探究這個問題.

探究1：若增加條件∠B + ∠C = 90°，這三條線段原有的關(guān)系變嗎？它們還有其他關(guān)系嗎？你還能得到哪些結(jié)論？

探究2：若增加條件∠B = ∠C = 45°，這三條線段原有的關(guān)系變嗎？它們還有其他關(guān)系嗎？你還能得到哪些結(jié)論？

探究3：若去掉“△ABC中”，如下圖增加條件∠B + ∠C = 90°，這三條線段原有的關(guān)系變嗎？它們還有其他關(guān)系嗎？你還能得到哪些結(jié)論？

題目的條件決定了結(jié)論，也給我們提供了解決問題的方法，這個問題意在讓學(xué)生體會挖掘題目條件的必要性以及幾何問題的分析方法，同時對條件的不同關(guān)注可以讓我們找到解決問題的不同方法——一題多解. 這道題雖然不難，但對于提升學(xué)生的知識使用能力而言，卻不失為一道好題，它具有基礎(chǔ)性、代表性、生長性，既可以進(jìn)行知識間的縱橫聯(lián)系，又能進(jìn)行一題多解、一題多變，使學(xué)生對知識的相關(guān)性有了深入的體會.

初三復(fù)習(xí)時間緊張有限，作為老師，我們應(yīng)該怎樣改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式？怎樣尊重知識的生成過程？如何在有限的時間讓我們的學(xué)生收獲更多？這是我一直思考的問題.其實(shí)我們只需要站在學(xué)生的角度，做到每節(jié)課設(shè)計(jì)的問題既不能脫離學(xué)生實(shí)際，又不能脫離知識本質(zhì);既要關(guān)注問題的深刻性，又不能忽視學(xué)生的可接受性;既要順應(yīng)知識的生長規(guī)律，又要關(guān)注學(xué)生的思維成長規(guī)律. 我們要通過幫助學(xué)生整理知識、分析問題，教學(xué)生怎樣使用條件，培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性，不斷揭示基本知識的生成性，使我們的課堂更生動，使我們的教學(xué)更有價值.

本文僅是自己的一點(diǎn)思考，不到之處懇請批評指正.