趙登虎

【摘要】本文概括了數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象性、思想辯證性、語言符號(hào)性、推理嚴(yán)密性和應(yīng)用廣泛性五個(gè)特點(diǎn)，通過研究數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有助于我們更好了解數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】抽象性;辯證性;符號(hào)性;嚴(yán)密性;廣泛性

聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的七大基礎(chǔ)學(xué)科之首是數(shù)學(xué)，克勞塞維茨在《戰(zhàn)爭(zhēng)論》一書中指出戰(zhàn)爭(zhēng)的五大要素中數(shù)學(xué)就是其一，說明數(shù)學(xué)的重要性！數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系或空間形式的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具.數(shù)學(xué)有何特點(diǎn)呢？通過研究數(shù)學(xué)的特點(diǎn)有助于我們更好了解應(yīng)用數(shù)學(xué).

一、數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性

唯物辯證法認(rèn)為，客觀世界的任何事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體.數(shù)學(xué)也不例外，她是為了從純粹的數(shù)量關(guān)系或空間形式去研究、反映客觀世界，就不得不把事物具體的內(nèi)容暫時(shí)拋開，僅僅保留“數(shù)”和“形”及其聯(lián)系，這就決定了其內(nèi)容具有高度抽象性特點(diǎn).恩格斯指出的，數(shù)學(xué)“為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)重要的東西放在一邊”，而“以極度抽象的形式出現(xiàn)”.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的原理、概念越來越概括，結(jié)構(gòu)越來越嚴(yán)密，體系越來越濃縮，從而使它越來越抽象.例如，在數(shù)的概念的擴(kuò)充中，引入負(fù)數(shù)建立有理數(shù)概念，引入無理數(shù)建立實(shí)數(shù)概念，引入虛數(shù)建立復(fù)數(shù)概念等.

二、數(shù)學(xué)思想的辯證性

恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”，“變數(shù)的數(shù)學(xué)……本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”.這就是說，在數(shù)學(xué)中辯證法表現(xiàn)的比較充分、豐富，比較典型、深刻.首先，在數(shù)學(xué)中，矛盾的辯證法是極其豐富的.馬克思主義哲學(xué)告訴我們，對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，即矛盾辯證法是辯證法的實(shí)質(zhì)和核心.用這個(gè)觀點(diǎn)觀察數(shù)學(xué)就容易發(fā)現(xiàn)，整個(gè)數(shù)學(xué)，處處都有典型的、深刻的矛盾辯證法.例如，在我們要學(xué)習(xí)的微積分中，除了自始至終貫穿著微分與積分的矛盾外，還有常數(shù)與變數(shù)的矛盾等等.可見，沒有矛盾就沒有數(shù)學(xué);否認(rèn)了矛盾，也就否認(rèn)了數(shù)學(xué).其次，數(shù)學(xué)體現(xiàn)辯證法的特點(diǎn)比較典型.恩格斯所說，辯證法是“關(guān)于普遍聯(lián)系的科學(xué)”，數(shù)學(xué)則非常典型的體現(xiàn)辯證法這個(gè)重要的特征.學(xué)數(shù)學(xué)，前面的內(nèi)容不學(xué)，后面的內(nèi)容就無法學(xué).用公理方法建立的數(shù)學(xué)體系，猶如積木，它一級(jí)一級(jí)，逐級(jí)往上;它一層一層，層次清楚;它一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)扣的很緊;它的每一個(gè)概念、原理和命題，都是一個(gè)有機(jī)體中不可缺少的組成部分;我們無論抓住那一個(gè)環(huán)節(jié)，就可以順藤摸瓜，往前，能追溯到它的出發(fā)點(diǎn)，往后，能推導(dǎo)出整個(gè)體系.

三、數(shù)學(xué)語言的符號(hào)性

全面而又系統(tǒng)地使用符號(hào)，是數(shù)學(xué)又一顯著特點(diǎn).數(shù)學(xué)不僅有數(shù)字符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)，而且有一系列的關(guān)系符號(hào);不僅有許許多多的專用符號(hào)，而且有許多輔助符號(hào).伽利略說：“宇宙這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的.除非你首先學(xué)懂了它的語言，否則這本書是無法讀懂的”.愛因斯坦說：“牛頓第一個(gè)成功地找到了一個(gè)用公式清楚表述的基礎(chǔ)，從這個(gè)基礎(chǔ)啟發(fā)他用數(shù)學(xué)的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現(xiàn)象并且同經(jīng)驗(yàn)相符號(hào)”.數(shù)學(xué)語言之所以需要符號(hào)，是因?yàn)椋?一是計(jì)算的要求，數(shù)學(xué)雖然不等于計(jì)算，但是數(shù)學(xué)有相當(dāng)一部分內(nèi)容離不開計(jì)算，要計(jì)算，不僅需要計(jì)算的工具，而且得有計(jì)算的符號(hào).二是邏輯推理的需要，因?yàn)閿?shù)學(xué)除了作計(jì)算以外，還作邏輯推理.要對(duì)抽象的概念、命題和關(guān)系作由此及彼的推理，就不得不用符號(hào)去表示他們，否則邏輯推理無法生行，從而不可能有數(shù)學(xué)理論.三是數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)化的最好途徑.數(shù)學(xué)作為工具，當(dāng)然越簡(jiǎn)單明了，越能使人容易掌握越好.

四、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性

列寧指出：“任何科學(xué)都是應(yīng)用邏輯”.如果說任何一門科學(xué)都離不開邏輯，那末數(shù)學(xué)則更是使用邏輯的典型.清數(shù)學(xué)家李善蘭：數(shù)學(xué)是“由易而難，若階級(jí)之漸升”.我們知道，一個(gè)數(shù)學(xué)命題，它在數(shù)學(xué)中能否成立，并不是取決于實(shí)驗(yàn)證明，而是取決于邏輯推理.但作為數(shù)學(xué)中的命題，必須是用邏輯論證方式嚴(yán)格地證明了的時(shí)候，才能在數(shù)學(xué)中成立.因?yàn)椋阂皇菙?shù)學(xué)高度抽象的原故;二是數(shù)學(xué)中不少命題的提出，只能用邏輯論證的方法證明它們成立，則成為數(shù)學(xué)中的定理;三是嚴(yán)格的邏輯論證，也是保證數(shù)學(xué)命題正確的方法;四是嚴(yán)格的邏輯論證，常常可以獲得一些在實(shí)踐中尚未提出的問題，使數(shù)學(xué)走在實(shí)踐的前面，為實(shí)踐開辟道路.這是數(shù)學(xué)發(fā)展不可缺少的手段.

數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯論證結(jié)果，使它的結(jié)論極為確定，主要表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)由證明（包括計(jì)算）得出的結(jié)論總是確定的;凡是數(shù)學(xué)中的定理，全是靠得住的，令人非常信服的，數(shù)學(xué)中的一切結(jié)論，并不因數(shù)學(xué)的發(fā)展而過時(shí).

五、數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性

數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性是它的第一個(gè)特點(diǎn)高度的抽象性的邏輯結(jié)果.越是抽象的東西，應(yīng)用越廣泛.拿破侖 ：“數(shù)學(xué)的發(fā)展與至善和國(guó)家的繁榮昌盛密切相關(guān).”愛因斯坦說：“只有微分定律的形式才能完全滿足近代物理學(xué)家對(duì)因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛頓最偉大的理智成就之一”.數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍僅僅次于哲學(xué).根據(jù)馬克思的思想，任何“一門科學(xué)，只有當(dāng)它達(dá)到了能運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候，才算真正的發(fā)展了.”所以用數(shù)學(xué)去武裝各門自然科學(xué)和各種技術(shù)科學(xué)，是這些科學(xué)向更高階段發(fā)展所必需的.在科學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)是由實(shí)驗(yàn)科學(xué)進(jìn)入理論科學(xué)所必須的工具，比如，牛頓把他的微積分方法應(yīng)用于研究力學(xué)，使力學(xué)面貌為之一新.今天高度發(fā)展的數(shù)學(xué)已經(jīng)開始深入到各門科學(xué)領(lǐng)域，開始了科學(xué)數(shù)學(xué)化的新時(shí)代.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙樹嫄.微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.