陳善

【摘要】提出初等數(shù)學(xué)的價(jià)值觀.通過(guò)對(duì)初等數(shù)學(xué)形式邏輯的討論啟發(fā)認(rèn)識(shí).感悟初等數(shù)學(xué)創(chuàng)新的思考方法對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.把數(shù)學(xué)推向?qū)嵱?，把形式邏輯推向辯證邏輯，從而提升初等數(shù)學(xué)創(chuàng)新的思考方法對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的普遍價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】初等;數(shù)學(xué);價(jià)值;辯證

一、數(shù)學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)是用形式邏輯來(lái)研究空間變化的.數(shù)學(xué)家從定義，公理出發(fā)，通過(guò)形式邏輯建立數(shù)學(xué)理論.由于形式邏輯很抽象，尤其是復(fù)雜數(shù)學(xué)的形式邏輯，看不出巧妙的思考方法，所以要運(yùn)用數(shù)學(xué)理論創(chuàng)造現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)價(jià)值是很困難的.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)價(jià)值通常是靠競(jìng)技表現(xiàn)的.優(yōu)勝者可以獲得競(jìng)技獎(jiǎng)勵(lì).國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽，如果中國(guó)的學(xué)生成為冠軍，那就可以獲得國(guó)際獎(jiǎng)勵(lì).國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)家研究某個(gè)世界難題，如果國(guó)內(nèi)的學(xué)者證明這個(gè)難題，那就可以獲得國(guó)家獎(jiǎng)勵(lì).這就是數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)價(jià)值.如果不靠數(shù)學(xué)競(jìng)技獲得獎(jiǎng)勵(lì)，那是很難從另外的途徑獲得現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)價(jià)值的.

我發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)有很多學(xué)者宣稱用初等巧妙方法證明了數(shù)學(xué)難題.同時(shí)又抱怨不能得到承認(rèn)，不能獲得獎(jiǎng)勵(lì).我對(duì)這些初等數(shù)學(xué)方法有興趣，尤其是初等數(shù)學(xué)原創(chuàng).通過(guò)初等數(shù)學(xué)原創(chuàng)感悟巧妙的方法.阿基米德說(shuō)：給我一個(gè)支點(diǎn)就可以橇動(dòng)地球.這個(gè)支點(diǎn)就是巧妙方法.如果沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)支點(diǎn)，那用很大的力量都是不管用的.

我所說(shuō)的初等數(shù)學(xué)的價(jià)值，就是巧妙方法的價(jià)值，也就是創(chuàng)新思想的價(jià)值，并不是得到獎(jiǎng)賞.如果能用巧妙的初等方法證明數(shù)學(xué)難題，那么也可以啟發(fā)用低級(jí)巧妙方法創(chuàng)造巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.這就是我所說(shuō)的初等數(shù)學(xué)的價(jià)值觀.

二、轉(zhuǎn)變調(diào)皮學(xué)生惡行

偶然的機(jī)遇，我發(fā)現(xiàn)初等數(shù)學(xué)的好處.文革時(shí)期，我到外地?zé)o證售貨拘留3天.貴人相助，我從拘留所放出來(lái).后來(lái)又遇到一位貴人相助，推薦教書(shū).那時(shí)教員的待遇很糟糕，調(diào)皮學(xué)生向老師背后扔水饅頭，也就是用水泡過(guò)的饅頭.我用初等數(shù)學(xué)巧妙的轉(zhuǎn)移了調(diào)皮學(xué)生的惡劣行為.

我對(duì)調(diào)皮的學(xué)生說(shuō)：看得出來(lái)，你很有數(shù)學(xué)天賦.調(diào)皮學(xué)生很是得意.我就提出三等分角的問(wèn)題.我說(shuō)，作出三等分角可以獎(jiǎng)勵(lì)10萬(wàn)元.這名學(xué)生說(shuō)：我作出來(lái)啦！那名學(xué)生也說(shuō)：我也作出來(lái)來(lái)啦！我總是說(shuō)：你很有數(shù)學(xué)天賦.其實(shí)都是錯(cuò)誤的.

后來(lái)，我發(fā)現(xiàn)，操場(chǎng)壩的地上都有三等分角的痕跡.那些調(diào)皮的學(xué)生干得歡.學(xué)生的破壞型熱情，轉(zhuǎn)變?yōu)榻ㄔO(shè)型熱情.這就是初等數(shù)學(xué)的好處.我以為，如果學(xué)校出現(xiàn)一個(gè)壞學(xué)生，不都是學(xué)生的問(wèn)題.老師有責(zé)任啟發(fā)認(rèn)識(shí)，把學(xué)生的破壞型熱情，轉(zhuǎn)變?yōu)榻ㄔO(shè)型熱情.

三、數(shù)學(xué)創(chuàng)新啟迪生意

現(xiàn)在很多人樂(lè)于生意的創(chuàng)新，卻不喜歡數(shù)學(xué)的創(chuàng)新.認(rèn)為數(shù)學(xué)創(chuàng)新對(duì)于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)沒(méi)有什么價(jià)值.總不能把數(shù)學(xué)定理拿到市場(chǎng)上賣吧.不能這么說(shuō).我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新，可以啟迪生意創(chuàng)新.數(shù)學(xué)講邏輯.生意也講邏輯.

你不喜歡吃虧，你就要吃虧.你喜歡吃虧，你就不吃虧.還有推論：大家都不喜歡吃虧，大家都吃虧.大家都喜歡吃虧，大家都不吃虧.松下電器公司總裁就喜歡吃虧.在創(chuàng)業(yè)初期，東京有個(gè)電器公司拍賣200萬(wàn)，松下幸之助給300萬(wàn).這個(gè)事情傳播開(kāi)以后，客戶都覺(jué)得購(gòu)買松下公司的電器是不會(huì)吃虧的.松下公司的生意就好做啦！國(guó)內(nèi)有個(gè)企業(yè)家叫馬云.是《福布斯》雜志創(chuàng)辦50多年來(lái)成為封面人物的首位大陸企業(yè)家.馬云以195億美元成為中國(guó)內(nèi)地新首富.馬云從小就是一個(gè)喜歡吃虧的傻娃.小時(shí)候愛(ài)打架，打了無(wú)數(shù)次的架，沒(méi)有一次為自己，都是為了朋友義氣打架.挨很多打，縫過(guò)13針，受過(guò)處分.所以，大家都覺(jué)得與馬云結(jié)盟肯定是靠得住的.馬云的生意肯定好做啦！

四、數(shù)學(xué)的理論與實(shí)用

1982年，馬云第一次考大學(xué)落榜.1983年，馬云再次落榜.1984年，勉強(qiáng)被杭州師范學(xué)院以專科生錄取.馬云考大學(xué)數(shù)學(xué)第一次考了1分.這說(shuō)明什么問(wèn)題呢？說(shuō)明數(shù)學(xué)考試難.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)考試可能淘汰像馬云那樣優(yōu)秀的實(shí)干人才，而且讓學(xué)生誤認(rèn)為不需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也能創(chuàng)造巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值而讓許多人淡漠對(duì)數(shù)學(xué)的熱情.越來(lái)越多的學(xué)生就覺(jué)得數(shù)學(xué)沒(méi)有價(jià)值是個(gè)累贅而不感興趣.如果這個(gè)趨勢(shì)不能得到改善，數(shù)學(xué)就有可能成為科學(xué)世外桃源奢侈品而降低其對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)應(yīng)有的價(jià)值.

怎么辦呢？那就是改變數(shù)學(xué)復(fù)雜深?yuàn)W的現(xiàn)狀，讓數(shù)學(xué)淺顯初等，讓大家都喜歡數(shù)學(xué).如果像馬云那樣的學(xué)生都對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，那么創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)價(jià)值可能還要大得多.淺顯初等的數(shù)學(xué)才能普及到民眾，才能最廣泛的把數(shù)學(xué)推向?qū)嵱?，從而最大限度?chuàng)造經(jīng)濟(jì)價(jià)值.在此，不妨引用臺(tái)灣中央研究院數(shù)學(xué)所黃武雄先生的“數(shù)學(xué)的理論與實(shí)用”里的部分論述：

近幾年來(lái)，“數(shù)學(xué)邁向?qū)嵱谩钡暮袈暣似鸨寺?且正激烈在沖擊有關(guān)數(shù)學(xué)圈的每一個(gè)角落;從國(guó)科會(huì)到研究室，從研究室到課堂，從課堂到考場(chǎng)，甚至于在餐廳冷飲的閑聊場(chǎng)所，我們看到，每年數(shù)學(xué)研究費(fèi)的申請(qǐng)都積極在鼓勵(lì)與經(jīng)建配合的研究方向，每學(xué)期數(shù)學(xué)系學(xué)生的選課單都一窩蜂填滿形形色色應(yīng)用數(shù)學(xué)的課程，每次數(shù)學(xué)教學(xué)課程大綱在會(huì)議桌上一被提了出來(lái)，必然要再三強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的實(shí)用性.“數(shù)學(xué)實(shí)用化”浩蕩聲勢(shì)，正以排山倒海而來(lái)，任何個(gè)人都無(wú)法抗拒.數(shù)學(xué)圈閉門造車“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的時(shí)代要改變了.我們不禁會(huì)想：數(shù)學(xué)發(fā)展有這么久時(shí)日了，“數(shù)學(xué)邁向?qū)嵱谩笔墙裉觳庞械闹饕?？究竟是幾千年?lái)大家都視而不見(jiàn)，一直喊不出這番口號(hào)？抑或廿世紀(jì)的七十年代有著什么特殊的背景，使我們覺(jué)醒，開(kāi)始認(rèn)清如此一個(gè)簡(jiǎn)單易明的事理：“數(shù)學(xué)要實(shí)用”？雅典時(shí)期的競(jìng)智數(shù)學(xué)，不刺激數(shù)學(xué)實(shí)用的發(fā)展，三等分角懸決千年的緣故，是因?yàn)樗恢匾?，因?yàn)樗皇怯虚e階級(jí)的主觀產(chǎn)物，因?yàn)樗浅鲇诎乩瓐D學(xué)派作繭自縛，硬要限制標(biāo)尺作圖的競(jìng)智心理（柏拉圖卻美其名為 “上帝作圖法”）.三等分角自提出到解決，間隔兩千多年.扮演兩千多年游戲人間的無(wú)聊角色.正當(dāng)多少人耽迷于數(shù)學(xué)文字游戲的時(shí)候，始終仍有一些明智之士不斷在喚醒數(shù)學(xué)理論取諸自然還諸自然的正確里程.1965年以后，投入越戰(zhàn)的巨大消費(fèi)結(jié)束美國(guó)戰(zhàn)后的黃金文明，“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的風(fēng)尚為情勢(shì)所迫，才逐漸沒(méi)落.1962年有一篇轟動(dòng)一時(shí)的退休講演，題為《偏窄的數(shù)學(xué)家》在糾正當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)教育偏狹的弊端，并且指出“我們鼓勵(lì)將教材重新組成易于理解的數(shù)學(xué)構(gòu)造，并從事于數(shù)學(xué)應(yīng)用的現(xiàn)代化，已獲得相當(dāng)程度的成果.我們不能否認(rèn)在數(shù)學(xué)實(shí)用的方向上，某些特殊時(shí)代曾出現(xiàn)過(guò)偏差，某些數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)不清而在“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的象牙塔里迷失.我們不能贊同某些數(shù)學(xué)家為要持續(xù)自己的迷失，所叫出的托詞：“今天這些數(shù)學(xué)理論，誰(shuí)能擔(dān)保那天不會(huì)變成有用？曾有一位塑膠制品的廠商來(lái)找過(guò)我，提起他要外銷塑膠花球的問(wèn)題.這是一個(gè)實(shí)用問(wèn)題，但問(wèn)題的解決方法早在幾個(gè)世紀(jì)前就寫(xiě)在一般理論數(shù)學(xué)的書(shū)上.換句話說(shuō)，他所要的答案，今天已寫(xiě)在高中數(shù)學(xué)的教科書(shū)上.他大學(xué)畢業(yè).在大學(xué)教書(shū)，我接觸很多各系的學(xué)生，也常發(fā)覺(jué)一些讀過(guò)很多高深應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的學(xué)生甚或研究生，碰到一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題，束手無(wú)措.追究他的困難，竟然只因他對(duì)于早已學(xué)過(guò)的高中數(shù)學(xué)的方法，未窺其義.

可以想見(jiàn)，我們“設(shè)計(jì)”再多的實(shí)際問(wèn)題，寫(xiě)在黑板，仍無(wú)法概括一名學(xué)生以后可能面臨的實(shí)際問(wèn)題，除非我們深入地教導(dǎo)學(xué)生前人遺留下來(lái)的基本思考方法.

黃武雄先生說(shuō)到數(shù)學(xué)實(shí)用的關(guān)鍵問(wèn)題：基本思考方法.也就是數(shù)學(xué)家初期的思考方法.這是在形式邏輯和結(jié)論之外的思考方法.很多人只看重形式邏輯和結(jié)論，卻忽視數(shù)學(xué)家初期的思考方法.正如很多人只看重公司運(yùn)作和鈔票，卻忽視企業(yè)家初期的思想策略.數(shù)學(xué)家初期的思考方法，其實(shí)就是創(chuàng)新的思考方法.這是書(shū)本上沒(méi)有的，也不是預(yù)期的.是在數(shù)學(xué)實(shí)踐中偶然感悟的.正如企業(yè)家初期的思想策略是在市場(chǎng)闖蕩中偶然發(fā)現(xiàn)的.都不是預(yù)期的.而且都是很淺顯的.說(shuō)出來(lái)都能懂.然而，就是不說(shuō).為什么不說(shuō)呢？因?yàn)閷?shí)踐很辛苦，得來(lái)卻偶然，是很珍貴的.數(shù)學(xué)家都不喜歡顯露初期的思考方法.不但是因?yàn)槌跗诘乃伎挤椒ㄕ滟F，而且是不成熟的.等到初期的思考方法成熟以后發(fā)表出來(lái)，卻已不是初期的思考方法.事實(shí)上，數(shù)學(xué)家初期的思考方法是隱藏的.通常所看到的只是形式邏輯和結(jié)論.即便形式邏輯和結(jié)論也有隱藏.

五、創(chuàng)新思考

我們討論數(shù)學(xué)課本里的一個(gè)問(wèn)題.設(shè)x趨于0，我們有極限：limsinx/x=1，這是大家熟悉的.很多學(xué)生似乎都能接受.也有的愚笨學(xué)生不能接受：x=8，sin8/8≈0.017，怎么不接近1呢？因?yàn)閤應(yīng)該用“弧度”來(lái)計(jì)算：

x=8，弧度x=8×π/180≈0.13962634，sin8/0.13962634≈1，

x≈0.13962634，sin x 是 sin 0.13962634，為什么是 sin8呢？

因?yàn)?sin x，其中 x 應(yīng)該用“角度”來(lái)計(jì)算：弧度 x≈0.13962634，角度 x≈0.13962634×180/π，sin（0.13962634×180/π）≈sin8，同一個(gè)變量x隱藏兩個(gè)含義.x是弧度，卻又隱藏“角度”計(jì)算.好在這個(gè)問(wèn)題不復(fù)雜.稍微復(fù)雜的問(wèn)題：弧度 x，函數(shù)f （x），sin f （x） 怎么計(jì)算呢？看來(lái)，即便是把書(shū)本的形式邏輯和結(jié)論隱藏的問(wèn)題對(duì)學(xué)生講清楚都不輕松.何況數(shù)學(xué)家有所隱藏的初期思考方法.

數(shù)學(xué)家初期思考方法的價(jià)值就在于：創(chuàng)新的思考方法.我們要問(wèn)：為什么“讀過(guò)很多高深應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的學(xué)生甚或研究生，碰到一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題”卻沒(méi)有辦法呢？因?yàn)檫@些學(xué)生只是讀過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，卻沒(méi)有創(chuàng)新的思考方法.書(shū)本里的課程是公開(kāi)的，自己懂，大家也懂，市場(chǎng)價(jià)值是很局限的.創(chuàng)新的思考方法，自己懂，大家不懂，市場(chǎng)價(jià)值是很大的.我們雖然難以探得數(shù)學(xué)家創(chuàng)新的思考方法，但是，我們可以創(chuàng)新自己的思考方法.創(chuàng)新就是辯證.創(chuàng)新的思考方法，就是辯證的思考方法.也就是辯證邏輯.世界就是時(shí)間與空間辯證邏輯.天體世界和人類社會(huì)有辯證邏輯.政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、科學(xué)、藝術(shù)、宗教、生活、工作等都有辯證邏輯.數(shù)學(xué)就是研究空間形式邏輯.從普遍的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)推向?qū)嵱茫褪切问竭壿嬐葡蜣q證邏輯.

六、勾股定理辯證邏輯

設(shè) 三角形的各邊為 a， b， c， 其中 a與 b 的夾角 90 度，有勾股定理：c² = a²+ b²，

人類發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律已有幾千年.事實(shí)上，在幾百億年前早已存在這個(gè)規(guī)律.不是由于發(fā)現(xiàn)勾股定理，所以才存在這個(gè)規(guī)律.是由于存在這個(gè)規(guī)律，所以才能發(fā)現(xiàn)勾股定理.不管人發(fā)現(xiàn)，還是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，勾股定理都存在，從前，現(xiàn)在，未來(lái)都是永恒的.

我們用對(duì)話的形式討論勾股定理辯證邏輯.

甲：勾股定理是怎么創(chuàng)造的呢？乙：是通過(guò)人的思考創(chuàng)造的.對(duì)吧.

甲：不對(duì).因?yàn)樵趲装賰|年前早已存在勾股定理，那時(shí)還沒(méi)有地球.所以不能說(shuō)是通過(guò)人的思考創(chuàng)造的.乙：勾股定理是幾百億年前天然形成的么？

甲：不是.天然能夠形成鉆石，卻不能創(chuàng)造勾股定理.乙：為什么天然不能創(chuàng)造勾股定理呢？

甲：因?yàn)樘烊粵](méi)有思維.勾股定理的創(chuàng)造必然伴隨思維.乙：什么道理呢？

甲：因?yàn)楣垂啥ɡ硎撬季S形態(tài).所以勾股定理的創(chuàng)造必然伴隨思維.乙：鉆石和勾股定理有什么不同呢？

甲：鉆石是可以摧毀.勾股定理是不能摧毀的，用核武器也不能摧毀.這說(shuō)明勾股定理不是天然創(chuàng)造的，是通過(guò)思維創(chuàng)造的.即便是提出一個(gè)學(xué)說(shuō)，也要通過(guò)人的思維，何況是永恒的勾股定理吶！乙：既然勾股定理是通過(guò)思維創(chuàng)造的，在幾百億年前早已存在勾股定理，那么是否意味著在幾百億年前早已存在思維呢？

甲：?jiǎn)柕煤?！乙：這個(gè)思維在哪里呢？

甲：人和天然之外.乙：能用邏輯推理來(lái)證明么？

甲：勾股定理是通過(guò)人的思維發(fā)現(xiàn)的，也必然是通過(guò)思維創(chuàng)造的.因?yàn)樘烊粵](méi)有思維，所以，勾股定理不是天然創(chuàng)造的.雖然人有思維，但是人又不能創(chuàng)造勾股定理，那么勾股定理只能是人和天然之外有思維的形態(tài)創(chuàng)造的.乙：這就是邏輯.

甲：這和證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)是相同的邏輯.如果一個(gè)合數(shù)不能被有限素?cái)?shù)序列整除，那么在有限素?cái)?shù)序列之外，必有素?cái)?shù).乙：如果人和天然不能創(chuàng)造勾股定理，那么在人和天然之外，必有思維.

我們也可以用辯證邏輯證明哲學(xué)的難題.限于篇幅，這里不作討論.