金雪

【摘要】數(shù)學(xué)思維是人腦與數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng).在公式、定理、性質(zhì)的教學(xué)過程中，教師精心編制一系列由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的變式訓(xùn)練題，組織學(xué)生進(jìn)行嘗試練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、探索、推導(dǎo)過程，可以提高思維的探究水平，更可以掌握具有廣泛性的思維方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；變式訓(xùn)練

一、問題提出的背景

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平一般分為三個(gè)層次：記憶模仿型、說明性理解型與探究性理解型.為了培養(yǎng)與提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生向探究性理解型發(fā)展，教師在課堂教學(xué)中，要敢于和善于給學(xué)生提供一定的獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問題的條件和機(jī)會(huì).適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式訓(xùn)練、一題多解、一法多用，可以讓學(xué)生形成富于聯(lián)想的思維習(xí)慣.數(shù)學(xué)公式作為解題的工具，深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)公式是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一關(guān).數(shù)學(xué)公式應(yīng)用廣泛，推導(dǎo)方法具有代表性，所以人們把它比喻為“數(shù)量關(guān)系的精髓”.在一般的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通常是推導(dǎo)公式，首先教師講解例題進(jìn)行示范，然后學(xué)生模仿反復(fù)練習(xí).一兩堂課下來(lái)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課的印象就是推導(dǎo)公式、代公式解題，純粹把數(shù)學(xué)課看成做題目的枯燥無(wú)味的課，長(zhǎng)此以往，對(duì)數(shù)學(xué)課就越來(lái)越?jīng)]興趣.如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生真正地參與課堂，在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)老師一直思考的問題.

二、案例再現(xiàn)

以五年制高等師范數(shù)學(xué)教材中的“二倍角的三角函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容為例，老師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出公式后，對(duì)公式進(jìn)行變形研究，使學(xué)生能夠找到它的一些其他形式并進(jìn)行相應(yīng)的應(yīng)用.這樣既能深刻理解公式，又可靈活應(yīng)用于解題，課堂氣氛熱烈，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高.

公式的導(dǎo)出部分老師讓學(xué)生利用學(xué)過的正弦、余弦和正切的和角公式，化歸為二倍角公式，讓學(xué)生理解“二倍角” 與 “兩角和” 的內(nèi)在聯(lián)系.

在公式的運(yùn)用應(yīng)用部分，老師是這樣設(shè)計(jì)的：

提問：二倍角公式結(jié)構(gòu)特征有哪些？

師生互動(dòng)：教師在黑板上板書且同時(shí)啟發(fā)學(xué)生注意公式結(jié)構(gòu)中等號(hào)兩邊角度倍數(shù)的對(duì)比、系數(shù)的對(duì)比、冪次數(shù)的對(duì)比，學(xué)生思考并回答問題以達(dá)到熟練公式結(jié)構(gòu)的目的.學(xué)生通過觀察比較，能很快地歸納出二倍角公式的結(jié)構(gòu)特征.為了能很好地鞏固和理解公式中“二倍角”含義，也為下面靈活應(yīng)用公式化解和求值做準(zhǔn)備，教師設(shè)置了以下練習(xí)：梯度一 （讓學(xué)生理解倍角的相對(duì)性）

在以上問題中主要突出的是倍角的相對(duì)性，以及公式左右兩邊的角的變化.為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)公式與更深入熟練地掌握公式變形，特意由淺入深設(shè)計(jì)以下課堂練習(xí)以達(dá)到相關(guān)目的.學(xué)生對(duì)比二倍角公式的形式特點(diǎn)，基本能準(zhǔn)確地填出結(jié)論，并且在給出結(jié)論的同時(shí)也真正理解了“二倍”的含義.二倍角的正弦公式、余弦公式是三角恒等變換中的重要公式，在理解和掌握公式的基礎(chǔ)上，若能對(duì)公式作一些變形，并在解題中予以靈活運(yùn)用，則可激活思維，化繁為簡(jiǎn)，使得解題過程更加簡(jiǎn)潔明快.教師在學(xué)生理解梯度一的基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)了以下兩組變式訓(xùn)練：梯度二：（熟練公式結(jié)構(gòu)并會(huì)用公式的逆用）

經(jīng)過三個(gè)梯度的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)公式的結(jié)構(gòu)與公式的應(yīng)用達(dá)到基本熟練之后，下一步就可以提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生利用倍角公式進(jìn)行求值運(yùn)算、以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算、分析和邏輯推理能力，可以很好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一與難點(diǎn)之一.

三、案例教學(xué)反思

上課班級(jí)的學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)較好，特別是男生，如果純粹是講公式后讓學(xué)生模仿做題目，學(xué)生沒有獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，沒有親自體驗(yàn)公式和概念的形成過程，只能是做題目的機(jī)器，對(duì)知識(shí)一知半解，更不用說學(xué)以致用了.學(xué)生也會(huì)覺得沒有挑戰(zhàn)性，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏積極性.學(xué)生只有在親自實(shí)踐中才能獲取新知識(shí)的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力.老師在教學(xué)中對(duì)二倍角公式的深化變式，讓學(xué)生積極思維，既提高了學(xué)習(xí)的積極性，又加強(qiáng)了對(duì)公式的理解和應(yīng)用.

數(shù)學(xué)的公式有很多的變式，這些變式為學(xué)生提供了廣闊的天地，同時(shí)在公式的變式過程中可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化功能，從而有利于學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)公式的本質(zhì).通過探求公式的變式的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學(xué)生直覺思維、快速解題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維等，形成良好的思維品質(zhì).

（一）公式的變式應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的直覺思維能力和解題能力

直覺思維是導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，教師在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生猜想，形成朦朧的直覺.讓學(xué)生猜想，不僅激發(fā)了他們努力解題，還教會(huì)了他們一種應(yīng)用的思維方式.二倍角公式的熟練應(yīng)用對(duì)于學(xué)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)起著很重要的作用.如學(xué)習(xí)y=sin2x的圖像及性質(zhì).再如梯度三中的練習(xí)sinπ16cosπ16cosπ8，學(xué)生看到相同的角，會(huì)聯(lián)想到正弦的二倍角公式，猜想填個(gè)系數(shù)即可，學(xué)生在掌握了二倍角公式的逆向變形特點(diǎn)后，就能很快的與公式進(jìn)行對(duì)比，從而找到系數(shù)上的差別，并相應(yīng)的進(jìn)行增添，就可以很方便得出答案.（sinα-cosα）2和cos4β-sin4β的解題學(xué)生根據(jù)做題目的直覺經(jīng)驗(yàn)，自然會(huì)想到先用完全平方和平方差公式展開求解，教師再有意識(shí)地引導(dǎo)他們向縱深方向考慮，幫助理清來(lái)龍去脈，總結(jié)出方法和結(jié)論，學(xué)生的解題能力也會(huì)逐步提高.在教學(xué)過程中，有時(shí)設(shè)置一些順理成章的“陷阱”也是有益的，可以引導(dǎo)學(xué)生積極思維，在猜想、探究、修改的過程中加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

（二）公式的變式應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法.其實(shí)，對(duì)于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來(lái)思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會(huì)使問題簡(jiǎn)單化.數(shù)學(xué)教學(xué)中可表現(xiàn)為某些數(shù)學(xué)公式、法則等逆用來(lái)解決有關(guān)問題.如二倍角這節(jié)課中，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)課本中的公式很熟練，但對(duì)它們的逆向運(yùn)用卻往往忽視.因此，老師在二倍角公式教學(xué)中，貫穿雙向思維訓(xùn)練，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還注意引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過來(lái)思考，從而加深對(duì)概念的理解與拓展.如梯度一和梯度二的設(shè)計(jì)，這樣正向和逆向敘述相結(jié)合，使學(xué)生對(duì)公式的理解更加深刻，知識(shí)掌握得更加靈活，對(duì)數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練也起著重要的作用.

（三）公式的變式應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

贊可夫說過：“凡是沒有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”.在課堂教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)給學(xué)生提供獨(dú)立思考問題、自己提問題的條件與機(jī)會(huì)為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部的環(huán)境.老師在教學(xué)過程給出（sinα-cosα）2 和cos4β-sin4β題目給出后，沒有直接板書講解，而是讓學(xué)生討論，給學(xué)生提供探索嘗試的機(jī)會(huì).學(xué)生們躍躍欲試，積極動(dòng)腦，一部分學(xué)生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出結(jié)論，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)去解決新問題，并進(jìn)行多種嘗試，學(xué)生的解題思維得到拓展，學(xué)習(xí)積極性提高.如果老師怕學(xué)生在課堂上聽不懂、吃不飽，總是在課堂上講個(gè)不停，即使提出問題也是匆匆而過，學(xué)生沒有進(jìn)行充分思考問題的時(shí)間，這樣培養(yǎng)的學(xué)生也不可能具有探究性思考的習(xí)慣與能力，當(dāng)然談不上培養(yǎng)發(fā)散思維了.

數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中展現(xiàn)思維活動(dòng)，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該精心設(shè)計(jì)，給學(xué)生充分思考問題的機(jī)會(huì)和時(shí)間，讓學(xué)生親自參與思維活動(dòng)，不僅體現(xiàn)了這種教學(xué)思想，而且有利于提高學(xué)生的思維的探究水平，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.