唐昊天

【摘要】本文依據(jù)三角形“五心”的幾何性質(zhì)在解析幾何中的簡(jiǎn)潔表述，探討一些復(fù)雜的平面幾何問題在解析幾何當(dāng)中的解決方法.

【關(guān)鍵詞】三角形“五心”；坐標(biāo)表示；歐拉線

三角形的內(nèi)心，外心，中心，垂心，旁心稱為三角形的“五心”.在三角形的“五心”中，如果知道A、B、C的坐標(biāo)，則重心G的坐標(biāo)公式可由定比分點(diǎn)公式求得.鑒于線段的中垂線和點(diǎn)到直線的垂線方程在解析幾何當(dāng)中非常容易求出，外心和垂心的坐標(biāo)計(jì)算可以合理建立坐標(biāo)系而得到簡(jiǎn)化，因此不需要用一個(gè)冗長(zhǎng)的公式去描述，下面的例題（歐拉線）體現(xiàn)了利用解析法解決關(guān)于重心、外心、垂心的問題的思路.

圖 1例1 已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H.求證：O，G，H三點(diǎn)共線，并且HG=2OG.

證明 如圖1，以BC所在直線為x軸，A 到BC的垂線所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)A（0，a），B（b，0），C（c，0）.

則Gb+c3，a3，xH=0，xO=b+c2.

顯然，B到AC的垂線點(diǎn)斜式方程為

y=ca（x-b）H0，-bca ；

AB的垂直平分線方程為y-a2=bax-b2Ob+c2，bc+a22a.

要證明O，G，H三點(diǎn)共線，只需證

b+c3a310-bca1b+c2bc+a22a1=0，

即證-bcab+c31b+c21-b+c3a3b+c2bc+a22a=0，

即bc（b+c）6a-[（b+c）（bc+a2）6a-a2（b+c）6a]=0.

此式顯然成立，故O、G、H三點(diǎn)共線.

用兩點(diǎn)間距離公式平方得

OG2=b+c62+3bc+a26a2，

HG2=b+c32+a3+bca2=4b+c62+43bc+a26a2.

∴HG=2OG.

關(guān)于三角形的內(nèi)心和旁心，我們先證明一個(gè)引理，然后利用向量的性質(zhì)可以得到它們輪換對(duì)稱的坐標(biāo)表示.

引理1 在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c.則I 是△ABC的內(nèi)心的充要條件是aIA+bIB+cIC=0→.

證明：先證充分性.

∵IB=IA+AB，IC=IA+AC，IA+bIB+cIC=0→，

∴（a+b+c）IA+bAB+cAC=0→，

∴AI=ba+b+cAB+ca+b+cAC，

∴AI=bca+b+cABAB+ACAC.

亦即I在∠A 平分線上，同理可證I在∠B和∠C平分線上.

再證必要性.

IB=IA+AB，IC=IA+ACaIA+bIB+cIC=（a+b+c）IA+bAB+cAC.

不妨假設(shè)∠A 平分線交BC于D，則AB=DB-DA，AC=DC-DA.

bAB+cAC=-（b+c）DA.而DAIA=a+b+cb+cbAB+cAC=-（a+b+c）IA.

于是aIA+bIB+cIC=0.

假設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由引理及向量的坐標(biāo)表示易得Iax1+bx2+cx3a+b+c，ay1+by2+cy3a+b+c.類似地，對(duì)于旁心有以下結(jié)論：IA 是△ABC的旁心 （定義BC=a，AC=b，AB=c.而且IA在∠A的內(nèi)角平分線上.）的充要條件是aIA-bIB-cIC=0.

因此IAax1-bx2-cx3a-b-c，ay1-by2-cy3a-b-c，

同理有IBbx2-ax1-cx3b-a-c，by2-ay1-cy3b-a-c，

ICcx3-bx2-ax1c-b-a，cy3-by2-ay1c-b-a.

下面的例題體現(xiàn)了三角形內(nèi)心和旁心坐標(biāo)公式的應(yīng)用.

圖 2例2 如圖2，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.I，G分別是△ABC的內(nèi)心和重心，而且AB+AC=3BC，求證IG⊥BC.

證明：由橢圓的定義，A在以B，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為3BC的橢圓M上，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B（-t，0），C（t，0），橢圓M的方程為x29t2+y28t2=1.

設(shè)A（x1，y1）Gx13，y13

而xI=2tx1-tb+tc2t+c+b.

注意到c-b=2ex1，c+b=6txI=8t÷38t=13x1=xG，又因?yàn)锽C所在直線為x軸，故IG⊥BC.

引理2 如圖3，已知在△ABC中，設(shè)AB>AC，過A作△ABC的外接圓的切線L.又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB 于D；交直線L于E，F(xiàn).則DF過△ABC的旁心IA.

說明：引理2為2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第一題.

圖 3例3 如圖3，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.設(shè)AB>AC，過A作△ABC的外接圓的切線L.又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB 于D；交直線L于E，F(xiàn).過點(diǎn)C作DF平行線交L于P，求證：AP=ab-b2c.

證明：由引理，IA∈lDF.

以A為原點(diǎn)，EF為x軸，EF中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

并設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），E（b，0），F(xiàn)（-b，0）.

∴l(xiāng)DF：y=y1x1+c（x+b），IAbx1+cx2b+c-a，by1+cy2b+c-a.

IA∈lDFy1x1+cbx1+cx2+b（b+c-a）b+c-a=by1+cy2b+c-a.y1x1+c（bx1+bc+cx2+b2-ab）=by1+cy2.y2=y1x1+cx2-ab-b2c.

注意到，這個(gè)結(jié)論等價(jià)于過（x2，y2） 且以y1x1+c 為斜率的直線橫截距為ab-b2c，而∵lCP//lDF，∴klCP=y1x1+c.

∵C（x2，y2）∈lCP，

∴AP=ab-b2c.