邵長福
[摘要]探討幾種常見的圓錐曲線離心率的求解方法,以培養(yǎng)學生的解題能力.
[關鍵詞]圓錐曲線離心率解法
[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058(2015)140041
離心率是圓錐曲線的重要性質,也是圓錐曲線的重要幾何特征,它考查學生的綜合能力,因此在高考中頻繁出現(xiàn),它的解法靈活多變,下面例析幾種常見的解法.
一、直接求出a,c
已知圓錐曲線的標準方程,直接求出a,c的值,再利用離心率公式e=ca,求其離心率.
【例1】 (2014年高考江西卷文第14題)設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)
的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,過F2作x軸的垂線與C交于 A,B兩點,F(xiàn)1B與y軸交于點D,若AD⊥F1B,則橢圓C的離心率等于.
分析:∵OD∥F2B,O為F1F2的中點,∴D為F1B的中點,又AD⊥F1B,∴|AF1|=|AB|=2|AF2|.設|AF2|=m,則|AF1|=2m,|F1F2|=33.
因此e=ca=|F1F2||AF1|+|AF2|
=3m2m+m=
33.
評注:利用橢圓的幾何性質及橢圓的定義來求解,這就要求考生熟練地掌握橢圓的幾何性質.
【例2】(2005年全國高考江蘇卷)點P(-3,1)在橢圓x2a2+
y2b2=1(a>b>0)
的左準線上,過點P且方向為a=(2,-5)的光線,經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為().
A.33B.13C.22D.12
分析:由題意知,入射光線為y-1=-52(x+3),關于y=-2的反射光線(對稱關系)為5x-2y+5=0,∵P(-3,1)在左準線上,左焦點在反射光線上,有
a2c=3
-5c+5=0
,
解得a=3,c=1,知e=ca=33
.故選A.
評注:利用對稱性先求反射光線所在的直線的方程,然后再求出a,c,問題即可迎刃而解.
二、構造a,b或a,c的齊次式,通過方程解出離心率e
根據(jù)題設條件,借助a,b,c之間的關系,尋找a、c的關系式(特別是齊二次式),進而轉化為關于e的一元二次方程,從而解方程,求出離心率e.
【例3】(2014年高考重慶卷文第8題)設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得(|PF|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線的離心率為( ).
A.2 B.15C.4D.17
分析:由雙曲線的定義知:||PF1|-|PF2||=2a,
又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,∴4a2=b2-3ab,
(ba) 2-3(ba)-4=0,解得ba=-1(舍去)或ba=4.∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+(ba)2=17,e=17.
【例4】 (2014年高考江蘇卷第17題)如右圖,在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)
的左、右焦點,頂點B的坐標是(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連接F1C.
(1)若點C的坐標為(43,13),且BF2=2,求橢圓的方程;(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
分析:
(1)由題意知,F(xiàn)2(c,0),B(0,b),|BF2|=b2+c2=a=2.
又C(43,13),∴(43)22+(13)2b2=1,得b=1,
∴橢圓方程為x22+y2=1.
(2)直線BF2的方程為xc+yb=1,解得A點的坐標為(2a2ca2+c2,-b3a2+c2).
則點C的坐標為(2a2ca2+c2,b3a2+c2),
kF1C=
b3a2+c2
2a2ca2+c2+c
=
b33a2c+c3
,
又F1C⊥AB,kAB=-bc,
∴b33a2c+c3·(-bc)=-1,
即b4=3a2c2+c4,
∴(a2-c2)2=3a2c2+c4,解得c2a2=15,故
e=ca=55.
評注:以上兩個例題都是運用方程的思想求離心率.另外,牢記一些常用結論,有助于快速解題,如焦半徑公式、通徑、焦點三角形面積公式、定值結論等.
三、尋找a與c的關系式
由于離心率是a與c的比值,故不能分別求出a,c時,可尋找a與c的關系式,即用c來表示a或用a來表示c即可解決.
【例5】(2005年全國高考卷)設橢圓的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是().
A.22B.2-12C.2-2D.2-1
分析: 由題意得|PF1|=2|PF2|=2|F1F2|=22c,,又由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,
即22c+2c=2a,則a=(2+1)c,得e=ca=2-1,故選D.
【例5】 (2014高考安徽卷文第21題)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)
的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,|AF1|=3|BF1|.
(1) 若|AB|=4,△ABF2的周長為16,求|AF2|;
(2)若cos∠AF2B=35,求橢圓E的離心率.
分析:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1,又∵△ABF2的周長為16,∴4a=16,a=4.
|AF1|+|AF2|=2a=8,∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)設|F1B|=k(k>0),|AF1|=3k,|AB|=4k,由橢圓的定義得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,
在△ABF2中,由余弦定理得:(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-2×(2a-3k)(2a-k)×35,
化簡得:(a+k)(a-3k)=0,∵a+k>0,∴a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,故|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,
故F1A⊥F2A,
所以△AF1F2為等腰直角三角形,從而c=22a,所以橢圓E的離心率e=ca=22.
評注:以上例題涉及橢圓的第一定義,故常用到余弦定理及式子a2=b2+c2來求解.
四、求離心率e的取值范圍
這類題型的難度較大,解決這類題目主要的思路是去尋找一個關于a,b,c的齊次不等式,轉化為解關于e的不等式,求出e后,要注意圓錐曲線離心率的取值范圍:橢圓的離心率0
【例6】(2008年高考福建卷理第11題)雙曲線
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為( ).
A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)
分析:依題意,設P在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義|PF1|-|PF2|=2a及|PF1|=2|PF2|得,|PF1|=4a,
|PF2|=2a.
設P(x0,y0),由焦半徑公式得|PF2|=ex0-a=2ax0=3ae,∵點P在雙曲線的右支上,
∴x0≥0,即3ae≥a,解得e≤3,又∵e>1,∴1 評注:利用雙曲線的幾何性質去尋找與有關的不等式,從而求出e的取值范圍. (責任編輯鐘偉芳)