袁柳芳 胡立萬

摘要]APOS理論是美國學(xué)者杜賓斯基（E.Dubinsky）提出的針對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的一種建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論.在對傳統(tǒng)的函數(shù)概念教學(xué)進行反思的基礎(chǔ)上，探討運用APOS理論四階段模式進行函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)設(shè)計，形成一個具有扎實理論基礎(chǔ)的教學(xué)方案，為函數(shù)概念課堂教學(xué)提供一個極具操作性的范式.

[關(guān)鍵詞]APOS理論函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)設(shè)計

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）140012

一、APOS理論簡述

APOS理論是美國學(xué)者杜賓斯基等人針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程研究的一種建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論[1]，他們認為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷四個階段的心理建構(gòu)：操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme），取這四個階段英文單詞的首字母，定名為APOS理論[2].這種理論不但說明了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是建構(gòu)的，而且表明了建構(gòu)的各個層次.

操作階段是讓學(xué)生通過親身操作去感受問題的直觀背景和概念間的聯(lián)系，是學(xué)生理解概念的重要條件;過程階段是學(xué)生對操作活動進行思考、概括的過程.經(jīng)歷思維的內(nèi)化，抽象出概念的性質(zhì)特征;對象階段是通過前面的抽象認識到了概念的本質(zhì)，對其進行壓縮并賦予形式化的定義及符號，使其成為思維中具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進行新的活動;圖式階段是通過長時間的學(xué)習(xí)進一步完善之后形成的，最初的圖式包括特例、定義及符號、抽象過程，經(jīng)過學(xué)習(xí)之后建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式[3].

APOS理論的概念學(xué)習(xí)四階段，表明了數(shù)學(xué)概念從具體的操作行為到抽象的心理結(jié)構(gòu)的過程，是概念在頭腦中建構(gòu)的一個連貫順序，是循序漸進螺旋上升的.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計可以以此為基礎(chǔ)，循序漸進，層層深入.下面以高中函數(shù)的第一個性質(zhì)——單調(diào)性概念課為例進行教學(xué)設(shè)計.

二、基于APOS理論的函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)設(shè)計說明

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)章節(jié)中重要的性質(zhì)之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點和重點.單調(diào)性定義比較枯燥、冗長、難懂，對于學(xué)生來說，是很費解的一個抽象概念.對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認知困難主要有：（1）用數(shù)學(xué)的符號語言代替函數(shù)圖像的上升與下降，這種由直觀到抽象的轉(zhuǎn)變過程對于學(xué)生來說是很難把握的;（2）此時函數(shù)單調(diào)性的證明需要用到單調(diào)性的定義，對定義的把握不到位直接導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的證明過程出現(xiàn)各種問題.

（二）函數(shù)單調(diào)性教學(xué)過程設(shè)計

1.操作階段——創(chuàng)設(shè)問題情境，在活動中思考問題

活動操作：圖1是深圳市某天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.

圖1

引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考.

比如：（1）當天的最高溫度、最低溫度以及達到最高和最低溫度分別是哪個時間？

（2）在某個時間的溫度能看出來嗎？

（3）在哪些時間段溫度越來越高，在哪些時間段溫度是越來越低？

[設(shè)計意圖]通過這個氣溫變化圖直觀地體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的性質(zhì)，溫度越來越高對應(yīng)著單調(diào)性定義里的y隨著x增大而增大，溫度越來越低對應(yīng)著y隨著x增大而減小.

2.過程階段——體驗探究函數(shù)單調(diào)性的過程

過程1：分別作出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的圖像，如圖2、圖3、圖4、圖5，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律？

[基金項目]

龍崗區(qū)教育均衡化、優(yōu)質(zhì)化、現(xiàn)代化發(fā)展行動研究科研項目資助課題.

在指導(dǎo)學(xué)生進行四個圖像遞增與遞減的描述時，要特別強調(diào)是在某區(qū)間上面的，讓學(xué)生理解到單調(diào)性是函

數(shù)的局部性質(zhì)，不能脫離了區(qū)間單調(diào)性.

過程2：用自己的話來說一說什么叫做增函數(shù)、減函數(shù).

[設(shè)計意圖]這是通過觀察四個函數(shù)的圖像直觀得到的單調(diào)性的印象，僅僅是一種描述性的認知.

過程3：由直觀到抽象——用數(shù)學(xué)符號語言得出函數(shù)單調(diào)性定義.

怎么精確地認識到f（x）=x2在[0，∞）上為增函數(shù)？

（1） 在[0，∞）上取兩個數(shù)，如2和3，因為2<3，所以f（x）=x2在[0，∞）上為增函數(shù).

（2） 同（1），選取若干組具體數(shù)值進行驗證，發(fā)現(xiàn)都滿足條件，所以f（x）=x2在[0，∞）為增函數(shù).

（3） 任意選取x1，x2∈[0，∞），且x1

此時發(fā)問：如何用精準的數(shù)學(xué)符號語言來定義函數(shù)的單調(diào)性？

師生共同探討，得出增函數(shù)準確定義，減函數(shù)的定義可以同理得出.

[設(shè)計意圖]必須強調(diào)清楚自變量在區(qū)間中選取的任意性，要讓學(xué)生理解，有限的幾組數(shù)值滿足要求并不能說明該函數(shù)為單調(diào)函數(shù).同時，可以細細品味數(shù)學(xué)符號語言的準確性.

3. 對象階段——對函數(shù)單調(diào)性定義的進一步理解與鞏固

對象1：請判斷以下命題的真假.

（1）已知f（x）=1x，因為f（-1）

（2）若函數(shù)f（x）滿足f（2）

，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù).

（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]和（2，8）上均為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，8）上為增函數(shù).

（4）因為函數(shù)f（x）=1x在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，所以f（x）=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù).

[設(shè)計意圖]以反例的形式深入理解函數(shù)單調(diào)性的定義域問題.

4. 圖式階段——通過實例構(gòu)建綜合心理圖式

圖式1：證明函數(shù)f（x）=x+2x在（2，+∞）上是增函數(shù).

[設(shè)計意圖]歸納出函數(shù)單調(diào)性證明題的五個步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.

圖式2：除了用定義外，如果證得對任意的x1，x2∈（a，b），且x1≠x2有f（x2）-f（x1）x2-x1>0，能認為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是單調(diào)遞增嗎？

[設(shè)計意圖]找出與單調(diào)性定義等價的命題，通過層層

誘導(dǎo)，進一步加深學(xué)生對單調(diào)性的理解，掌握單調(diào)性的本質(zhì).

圖式3 ：知識回顧與總結(jié).

我們一起來回味以下幾個問題：

（1） 你能用數(shù)學(xué)語言符號準確說出函數(shù)單調(diào)性定義嗎？

（2）本節(jié)課的教學(xué)過程中，我們用了哪些數(shù)學(xué)思想？

（3） 你能歸納出證明函數(shù)單調(diào)性的幾個步驟嗎？

[設(shè)計意圖]以上三個問題與教學(xué)過程中的問題前后呼應(yīng)，進一步鞏固我們的教學(xué)成果，加深我們對單調(diào)性的理解.

（三）教后反思

通過學(xué)生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知欲.在形成概念的過程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語句，通過學(xué)生的主體參與，正確地形成單調(diào)性的概念.

三、需要注意的問題

操作階段：創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在活動中思考問題. 以感性材料為基礎(chǔ)，以啟發(fā)思考為目的，尤其注意問題是否適度、典型和有效.

過程階段：運用問題鏈引導(dǎo)思維深入.學(xué)生在過程階段進行抽象概括，教師用層級遞進的問題，具有針對性地引導(dǎo)學(xué)生進行“對象”的升華，不斷修正思維的方向.教師可以從“是什么” “怎么樣”“為什么”這幾方面進行提問，在教學(xué)概念時必須留出“過程”的時間給學(xué)生.

對象階段：合理化概念表象，深入理解概念本質(zhì)特征.學(xué)生在過程階段會在心理上將自己的操作過程中獲得的概念特征進行抽象化，形成心理表象.并且學(xué)生會隨著認識加深修正原有的表象使之適用性更廣泛.在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生建立合理的心理表象，例如案例中利用變式、反例等引起學(xué)生認知上的沖突，從而主動對原有表象進行加工、調(diào)整，從而不斷合理化.

圖式階段：通過豐富多樣的操作活動進一步完善概念.用多樣、多次新的“操作”促使學(xué)生對概念的認識從“對象”上升到“圖式”層次，使概念的實質(zhì)含義不斷清晰化.可以舉反例、作概念圖表，用開放的、情境的問題等多種方式，幫助學(xué)生理解“對象”，使認識上升到圖式階段.

[參考文獻]

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[2]徐立英，張麗娜. APOS理論對函數(shù)概念教學(xué)的啟示和應(yīng)用[J]. 高等教育研究， 2007（3）：73-74.

[3]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（2）：48-50.

[4]史寧中.中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的函數(shù)及其思想——數(shù)學(xué)教育熱點問題系列訪談錄之三[J].課程·教材·教法， 2007（4）：36-40.