張敏　易正俊

【摘要】本文將Matlab軟件動畫程序設(shè)計引入高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的輔助教學(xué)，構(gòu)建了形象生動的教學(xué)動畫系統(tǒng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、空間想象能力和自主學(xué)習(xí)能力。為學(xué)生學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)、重積分和線面積分、以及其它相關(guān)后續(xù)課程奠定了基礎(chǔ)，提高在實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的應(yīng)用能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何；教學(xué)動畫系統(tǒng)；Matlab；多元函數(shù)微分學(xué)；重積分和線面積分

1 引 言

長期以來數(shù)學(xué)都是一門以抽象、枯燥、深奧、邏輯性強(qiáng)、難以理解而聞名的學(xué)科，尤其是空間解析幾何是一門綜合運(yùn)用知識性很強(qiáng)的學(xué)科，它要求學(xué)生具備一定的邏輯思維能力，空間想象能力以及解決實(shí)際問題的能力，特別是空間想象能力?？臻g解析幾何部分知識是高等數(shù)學(xué)下冊的多元函數(shù)微分學(xué)、重積分、線面積分等的基礎(chǔ)，這部分的知識沒有學(xué)好，幾乎不可能深刻地理解高等數(shù)學(xué)下冊的內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)是工科學(xué)生的必修基礎(chǔ)課程，關(guān)系到學(xué)生大學(xué)四年的學(xué)習(xí)質(zhì)量；空間想象能力是工科學(xué)生必備的基本能力，關(guān)系到后續(xù)很多專業(yè)課程的學(xué)習(xí)效果，如機(jī)械類學(xué)生的機(jī)械制圖課程、土木類及建筑類專業(yè)的各種設(shè)計課程等。

空間解析幾何的特點(diǎn)是從想象圖形的空間形狀和位置關(guān)系，到想象動點(diǎn)如何描述；另一個方面，從一個抽象的方程想象出一個圖形再到想象出它的特點(diǎn)?；谏鲜鎏攸c(diǎn)，在傳統(tǒng)的解析幾何的教學(xué)過程中偏重于知識的講授，教師在黑板上邊板書邊講解邊繪圖，聲行并茂，教師還可根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)調(diào)整講解速度，這樣可以使學(xué)生跟著老師的思想，一步一步地接受和理解老師所講解的內(nèi)容，彰顯了教師的親和力和感染力。但是教師在黑板上即興繪制復(fù)雜的空間幾何曲面，往往需要花費(fèi)大量的課堂時間，即使如此，在黑板上隨手畫的圖形也不規(guī)則、不標(biāo)準(zhǔn)，使學(xué)生難以理解，達(dá)不到理想的教學(xué)效果。因此，筆者作為數(shù)學(xué)教師一直在探索一種高效、有效、直觀、能彌補(bǔ)少數(shù)空間想象能力差的學(xué)生的不足的教學(xué)方法。

多媒體技術(shù)的發(fā)展，為空間解析幾何的教學(xué)提供了新的方法和手段。國內(nèi)外的一些教師把多媒體技術(shù)引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中[1]，常見的是 Powerpoint、幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）和Flash動畫，這些方法的應(yīng)用僅僅是解決了授課時的作圖問題，提高了工作效力。

2 Matlab動畫技術(shù)

Matlab是由美國Mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中。具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，可以將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來，且可以對圖形進(jìn)行標(biāo)注和打印。新版的Matlab軟件增加了高層次的作圖功能，包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和函數(shù)作圖[9]。可用于高等數(shù)學(xué)空間解析幾何的輔助教學(xué)。

在空間解析幾何教學(xué)中，Matlab不僅能將復(fù)雜的空間曲面方程以精準(zhǔn)、直觀地用三維圖形表現(xiàn)出來，還能以動畫的形式將空間復(fù)雜曲面任意旋轉(zhuǎn)，使學(xué)生能直觀地、全方位地觀察、理解空間曲面方程所表示的曲面形狀、特征和性質(zhì)，從而增強(qiáng)了學(xué)生的空間想象能力，為學(xué)生在后續(xù)內(nèi)容重積分和線面積分的學(xué)習(xí)奠定良好的必要基礎(chǔ)，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。Matlab的動態(tài)輸出功能可將Matlab制作的動畫以Gif格式文件存盤，可直接拷貝到多媒體教室里給學(xué)生進(jìn)行演示，不必在公共計算機(jī)上安裝Matlab專業(yè)軟件。

但是多媒體技術(shù)只是一種知識的載體，是一種工具，教學(xué)重點(diǎn)則是在知識內(nèi)容的選取上和表現(xiàn)形式的研究上，明確該課程教什么和怎么教的問題以及知識的展現(xiàn)形式。作者結(jié)合Matlab技術(shù)的功能和學(xué)生的心理特點(diǎn)，力求從學(xué)生的頭腦中去建立概念，從概念中產(chǎn)生方法，最終形成一個完整的空間解析幾何教學(xué)體系。

作者在對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法作了充分研究的基礎(chǔ)上，開發(fā)了基于Matlab的教學(xué)動畫系統(tǒng)，用Matlab技術(shù)制作空間曲面的動畫，并增加截痕，讓空間曲面旋轉(zhuǎn)起來，讓學(xué)生更加直觀地、全方位地理解空間曲面的方程所代表的幾何形狀，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于一種不疲倦的狀態(tài)，在規(guī)定的時間內(nèi)更加深刻理解空間解析幾何的知識，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。

3 基于Matlab的教學(xué)動畫系統(tǒng)的構(gòu)建

（1）基于Matlab的動畫輔助教學(xué)設(shè)計

為了探索有效的空間解析幾何教學(xué)方法，筆者探索把Matlab 動畫技術(shù)與高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的傳統(tǒng)教學(xué)法進(jìn)行有機(jī)的融合，教師首先采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法講授教材中出現(xiàn)的空間曲面方程的代數(shù)性質(zhì)及采用相應(yīng)的截痕法去了解方程代表的幾何曲面的大致形狀，再用Matlab動畫技術(shù)制作空間曲面的動畫給學(xué)生演示，讓學(xué)生了解空間曲面形成的過程和對整個空間曲面的形狀形成一個完整的印象，強(qiáng)化學(xué)生的空間想象能力。把這種以任課教師講解為主、適時插入Matlab制作的旋轉(zhuǎn)動畫進(jìn)行輔助教學(xué)的教學(xué)方法稱之為Matlab動畫輔助教學(xué)。

（2）教學(xué)動畫系統(tǒng)的構(gòu)建

應(yīng)用Matlab 動畫技術(shù)，構(gòu)建了高等數(shù)學(xué)空間解析幾何教學(xué)動畫系統(tǒng)，涵蓋了教學(xué)內(nèi)容涉及的一系列典型動畫。

4 典型動畫案例

以Matlab軟件為開發(fā)平臺，根據(jù)空間解析幾何的教學(xué)特點(diǎn)，編寫了空間解析幾何教材中所有空間曲面旋轉(zhuǎn)的動畫制作通用程序，需要制作不同空間曲面的演示動畫時，只需要輸入該空間曲面方程、并對該方程所包含的參數(shù)賦值后運(yùn)行該程序，就可以得到該空間曲面方程的圖形繞軸3600旋轉(zhuǎn)的演示動畫。下面列舉雙曲拋物面（馬鞍面）和橢圓拋物面的動畫演示效果。

（1）雙曲拋物面（馬鞍面）的動畫制作及效果

雙曲拋物面（馬鞍面）的方程為

（ 同號）， （1）

在Matlab軟件編寫的演示動畫通用程序中輸入雙曲拋物面（馬鞍面）方程式（1），參數(shù)取值 ， ，運(yùn)行動畫程序得到雙曲拋物面（馬鞍面）的三維動畫效果，可將該動畫以gif格式輸出，其三維動畫的部分截圖如圖1所示。

（2）橢圓拋物面的動畫制作及效果

橢圓拋物面的方程為 （ 同號） （2）

同樣，在Matlab軟件編寫的演示動畫通用程序中輸入橢圓拋物面方程式（2），參數(shù)取值 ， 時，運(yùn)行動畫程序可得到橢圓拋物面的三維動畫效果，同時將該動畫以gif格式輸出，其三維動畫的部分截圖如圖2所示。

教師在課堂上采用傳統(tǒng)的截痕法給學(xué)生介紹高等數(shù)學(xué)中所涵蓋的空間曲面的大致形狀基礎(chǔ)上，再用Matlab軟件制作空間曲面的動畫效果進(jìn)行演示，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性得到極大的提高，課堂氣氛非?；钴S，大部分學(xué)生還有興趣想自己編寫源程序，達(dá)到了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)。

5 教學(xué)應(yīng)用效果檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)Matlab動畫技術(shù)在空間解析幾何教學(xué)中輔助教學(xué)的效果，選擇筆者所在高校2010級同一個專業(yè)的兩個本科教學(xué)班（每班150人左右，且在高等數(shù)學(xué)上冊的期終考試成績幾乎無差異）進(jìn)行對比教學(xué)實(shí)驗(yàn)，其中一個班采用傳統(tǒng)教學(xué)法，教師分別對不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解方程的特點(diǎn)，同時用PPT投影該曲面方程的圖形，無空間動畫演示，這個班在下文的敘述中稱為普通班（簡稱A班）；另一個班是傳統(tǒng)教學(xué)法與Matlab動畫技術(shù)輔助教學(xué)相融合，教師分別對不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解曲面方程的特點(diǎn)，同時用PPT投影該曲面方程的圖形，讓學(xué)生對空間曲面形狀有一個基本認(rèn)識后，再播放一段事先制作好的該曲面方程對應(yīng)的圖形的三維動畫視頻，加深學(xué)生對此曲面方程和它的圖形形狀的理解。播放完曲面方程的三維動畫視頻之后，對前面的講解和觀看視屏后的直觀感受進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對空間圖形的理解力和空間想象能力。這個班稱為實(shí)驗(yàn)班（簡稱B班）。

經(jīng)過一段時間的教學(xué)后，分別在兩個班對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了座談，A班的大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為很難想象出空間曲面的形態(tài)，對空間曲面方程難以理解，聽起課來感覺比較枯燥，學(xué)習(xí)興趣不濃厚，導(dǎo)致該班學(xué)生普遍對空間曲面的理解也不透徹，對后續(xù)有關(guān)知識的學(xué)習(xí)有不良影響。B班的大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為在傳統(tǒng)的教學(xué)法的基礎(chǔ)上增加了曲面的三維旋轉(zhuǎn)動畫演示，學(xué)生能直接觀看空間曲面的形態(tài)，加上老師的講解使學(xué)生全面理解該曲面方程的特性。由于三維旋轉(zhuǎn)動畫的視覺沖擊，使學(xué)生的大腦產(chǎn)生興奮感從而增加學(xué)生的記憶力。學(xué)生普遍感覺在空間解析幾何教學(xué)中增加空間曲面的三維動畫演示輔助教學(xué)環(huán)節(jié)能調(diào)節(jié)教學(xué)氣氛，加深對空間曲面方程的理解與運(yùn)用能力，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定了很好的基礎(chǔ)。

任課教師普遍反映空間解析幾何教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，在教學(xué)過程中往往費(fèi)事費(fèi)力、反復(fù)講解，教學(xué)效果還是不明顯，學(xué)生們還是反映難以理解曲面方程的圖形的空間形態(tài)與特征，嚴(yán)重影響高等數(shù)學(xué)后續(xù)有關(guān)章節(jié)的學(xué)習(xí)。通過一學(xué)期的試驗(yàn)教學(xué)，我們深切感受到采用空間曲面的三維動畫演示輔助教學(xué)環(huán)節(jié)能很好地彌補(bǔ)學(xué)生初學(xué)空間解析幾何時對空間想象力差的不足，通過直觀的動畫演示，使學(xué)生一目了然，增強(qiáng)學(xué)生對復(fù)雜空間曲面的認(rèn)識，提高學(xué)生分析問題的能力，同時還可以減少教師的講解工作量，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。在后續(xù)有關(guān)三重積分和線面積分等內(nèi)容的教學(xué)中也反映出A班的理解能力和接受能力不如B班的情況。為了檢驗(yàn)A、B兩個班的教學(xué)效果，筆者針對與空間解析幾何有關(guān)的內(nèi)容，將多元函數(shù)微分學(xué)（空間曲線的切線和法平面，空間曲面的的切平面及法線，條件極值），三重積分和線面積分等內(nèi)容單獨(dú)命了一套單元測試試卷（百分制），考試成績分布如表2和圖3所示：

從上表的數(shù)據(jù)可以看出：

① B班的優(yōu)良成績?nèi)藬?shù)比A班高出25人。

② B班的平均成績比A班高出9.5分。

從以上學(xué)生考分統(tǒng)計表可以看出，采用Matlab動畫技術(shù)輔助教學(xué)的B班測驗(yàn)成績明顯優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)的A班。從測驗(yàn)試卷分析發(fā)現(xiàn)，A班學(xué)生的失分主要集中在不能正確理解曲面方程所表達(dá)的空間圖形的形狀，無法正確地確定出各變量的積分限所致。而B班學(xué)生具備良好的空間想象力，能正確認(rèn)識各種曲面方程的圖形的形態(tài)，能正確地確定出各變量的積分限，從而在測驗(yàn)成績單上反應(yīng)出較好的成績。

該學(xué)期期末考試也反應(yīng)出這兩個班學(xué)生考試成績的差異。期末考試題中涉及與曲面方程有關(guān)的三重積分、曲面積分和空間曲線積分考題，總分?jǐn)?shù)22分。該兩個班學(xué)生針對這三道題的得分情況如表3所示。

從期末考試中相關(guān)成績的分布表3也可以看出：在與曲面方程有關(guān)試題的考試成績也是 B班成績明顯優(yōu)于A班。從卷面分析來看，A班學(xué)生主要失分在三重積分考題：計算 ，其中 是由曲面 與平面 所圍成的閉區(qū)域。A班大多數(shù)學(xué)生因不能想象出該函數(shù)所表達(dá)的空間圖形的形狀，無法正確地確定出此題各變量的積分限，從而導(dǎo)致了在該題上失分，影響了考試成績。而B班在該題上失分的比例很小。

6 結(jié)束語

構(gòu)建的高等數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)動畫系統(tǒng)，作為輔助教學(xué)資源，有利于增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力和形象思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)質(zhì)量得到顯著提升。

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