強(qiáng)振宇 強(qiáng)震球

【摘要】在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生盡可能地通過(guò)圖畫(huà)（表）直觀表征抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為學(xué)生分析、解決問(wèn)題提供“拐杖”，幫助學(xué)生理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法，從錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系中直觀、清晰地展示數(shù)量關(guān)系、呈現(xiàn)思維，能夠取得較好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】直觀表征;問(wèn)題解決;思維可視化

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2015）17-0038-02

【作者簡(jiǎn)介】1.強(qiáng)振宇，江蘇省江陰市璜塘實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇江陰，214407），高級(jí)教師，無(wú)錫市學(xué)科帶頭人。2.強(qiáng)震球，江蘇省江陰市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇江陰，214400），高級(jí)教師，江陰市名教師。

小學(xué)生的思維水平處于從具體形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)具體事物的支持。在教學(xué)中，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合，將數(shù)學(xué)問(wèn)題、看不見(jiàn)的思維過(guò)程和方法清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)，培養(yǎng)直觀意識(shí)與能力，提升直觀素養(yǎng)。

一、動(dòng)態(tài)表征：“靜動(dòng)轉(zhuǎn)換”現(xiàn)思維

對(duì)于動(dòng)作思維和具體形象思維占優(yōu)勢(shì)的小學(xué)生，在教學(xué)中，應(yīng)力求把抽象、靜態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)成有形的活動(dòng)，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)換過(guò)程中感受具體、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，彰顯思維。

例如：教學(xué)蘇教版三上《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》，有一類(lèi)“拼圖形求周長(zhǎng)”的實(shí)際問(wèn)題，其中“用相同的長(zhǎng)方形拼并求周長(zhǎng)”的情況比較復(fù)雜，學(xué)生遇到“拼成的圖形的周長(zhǎng)最多是多少”這樣的問(wèn)題更是束手無(wú)策。因此，在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生讓枯燥的文字動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)中感受、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、思考并解決問(wèn)題。（1）拼一拼。用兩張同樣的長(zhǎng)方形紙拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，自然生成兩種拼法——兩長(zhǎng)相連、兩寬相連。（2）描一描。描出拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，兩長(zhǎng)相連周長(zhǎng)是：2長(zhǎng)4寬，拼掉2長(zhǎng);兩寬相連周長(zhǎng)是：4長(zhǎng)2寬，拼掉2寬。（3）計(jì)算周長(zhǎng)，比較小結(jié)：兩寬相連拼成的圖形的周長(zhǎng)長(zhǎng)。（4）優(yōu)化提升方法：拼成的圖形的周長(zhǎng)=原來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)×2-拼掉的長(zhǎng)或?qū)?。這一拼、一描、一算的動(dòng)態(tài)操作盡顯學(xué)生深刻的思維。

二、圖形表征：“圖形語(yǔ)言”現(xiàn)本質(zhì)

數(shù)學(xué)本質(zhì)，從宏觀上講就是數(shù)學(xué)觀問(wèn)題，即“什么是數(shù)學(xué)”，在微觀上是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。某個(gè)具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性，更表現(xiàn)為蘊(yùn)含在具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能中的數(shù)學(xué)思想方法。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，不能為解題而解題，應(yīng)該講清楚題目背后的東西、知識(shí)的來(lái)龍去脈以及實(shí)際問(wèn)題所體現(xiàn)的思想方法……這是能夠讓學(xué)生終身受益的。

“連桶稱油”（如：一桶油，連桶稱共30千克，倒出一半的油，連桶稱還有16千克。原來(lái)桶里的油有多少千克？桶重多少千克？）是一種常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，很多學(xué)生難以找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，個(gè)別學(xué)生只是“跟著感覺(jué)”對(duì)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行拼湊，而說(shuō)不清數(shù)量之間的關(guān)系，更不能從“連桶稱油”前后的質(zhì)量變化中體會(huì)到桶質(zhì)量的不變。因此，解決問(wèn)題時(shí)，可以讓學(xué)生用圖形表征“連桶稱油”前后的情況。在畫(huà)圖過(guò)程中，學(xué)生能直觀感覺(jué)到：桶和油的質(zhì)量從原來(lái)30千克變成16千克，少的一半質(zhì)量就是油的質(zhì)量，兩次稱重桶的質(zhì)量不變。

在上述啟示之下，還有的學(xué)生這樣計(jì)算：16×2=32（千克），32-30=2（千克），30-2=28（千克）?？吹竭@樣意外的解答，許多學(xué)生一下就蒙了，最不理解的是“16×2=32（千克）”。學(xué)生用圖形和假設(shè)的思路敘述自己的想法：倒出一半油，連桶稱16千克，也就是說(shuō)半桶油與1只桶的質(zhì)量一共是16千克，那么1桶油與2只桶的質(zhì)量就是16×2=32（千克），因?yàn)?桶油與1只桶的質(zhì)量是30千克，1只桶的質(zhì)量就是32-30=2（千克），1桶油的質(zhì)量就是30-2=28（千克）。大家頓時(shí)豁然開(kāi)朗了。學(xué)生很好地借助直觀圖形尋求到了解決問(wèn)題的方法——在圖中解釋，在圖中理解。最關(guān)鍵的，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生運(yùn)用直觀圖形合情推理，感悟到的是轉(zhuǎn)化與不變的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅局限于形式化的表達(dá)，更重要的是通過(guò)表達(dá)能正確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立人對(duì)自身體驗(yàn)與事物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、自主表征：“圖形說(shuō)話”現(xiàn)方法

格式塔心理學(xué)認(rèn)為，通過(guò)頓悟問(wèn)題情境的內(nèi)在性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，可以避免與這一問(wèn)題情境不相干的大量隨機(jī)的、盲目的行動(dòng)，而且有利于把學(xué)習(xí)所得遷移到新的問(wèn)題情境中去。頓悟?qū)W習(xí)的核心是把握事物的本質(zhì)，而不是無(wú)關(guān)的細(xì)節(jié)。三年級(jí)學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)的兩步計(jì)算實(shí)際問(wèn)題，大多數(shù)是數(shù)量關(guān)系較直接、簡(jiǎn)單的問(wèn)題情境，學(xué)生通常能主動(dòng)尋找、選擇有用的信息來(lái)分析解答。然而，當(dāng)遇到信息較多、條件相對(duì)隱蔽、有點(diǎn)說(shuō)不清道不明的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生解題時(shí)就會(huì)胡亂找數(shù)量之間的關(guān)系。為了避免這種盲目的舉動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱蔽信息的意識(shí)和能力，教學(xué)時(shí)應(yīng)經(jīng)常鼓勵(lì)、指導(dǎo)學(xué)生面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)用自己理解的圖形來(lái)表征題意，啟迪學(xué)生思考，自覺(jué)建構(gòu)解題過(guò)程。

例如：蘇教版三上“解決兩步計(jì)算實(shí)際問(wèn)題”練習(xí)中有一道買(mǎi)面包的問(wèn)題：小麗買(mǎi)了8個(gè)面包，小華買(mǎi)了6個(gè)面包，小明買(mǎi)了7個(gè)面包，小麗比小華多用14元錢(qián)，小明花了多少錢(qián)？很多學(xué)生無(wú)從下筆，原因是求不出每個(gè)面包的價(jià)格。有的學(xué)生就通過(guò)畫(huà)圖找到了問(wèn)題解決的突破口，思維過(guò)程清晰可見(jiàn)：小麗比小華多買(mǎi)的2個(gè)面包，就是14元，算出每個(gè)面包的價(jià)錢(qián)，用單價(jià)乘數(shù)量就是小明花的錢(qián)。用畫(huà)一畫(huà)的方法，把內(nèi)隱的“多用14元”與“多2個(gè)面包”之間的數(shù)量關(guān)系變得直觀，問(wèn)題便迎刃而解了。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說(shuō)：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上?！鄙朴趶闹庇^特征研究問(wèn)題往往能頓悟問(wèn)題的解決方法，并能在學(xué)生記憶中保持較長(zhǎng)的時(shí)間。

四、數(shù)形結(jié)合：“直覺(jué)觀念”現(xiàn)理性

數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門(mén)學(xué)科結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美?！币虼耍跀?shù)學(xué)化的過(guò)程中把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生感悟直觀，建立直覺(jué)觀念，是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解和運(yùn)用的有效手段。

“籬笆圍苗圃的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算”是三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“周長(zhǎng)”時(shí)常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題。“靠墻圍”計(jì)算周長(zhǎng)最小值是學(xué)生掌握的難點(diǎn)。“靠墻”“至少”等關(guān)鍵性詞語(yǔ)對(duì)學(xué)生而言有與沒(méi)有無(wú)關(guān)緊要：不經(jīng)意中學(xué)生就會(huì)用兩長(zhǎng)加兩寬的方法來(lái)計(jì)算。如果學(xué)生真正理解了題意——靠墻的長(zhǎng)方形苗圃怎么圍，那么，在兩種情況的對(duì)比中，“至少”的問(wèn)題也就能迎刃而解了。（1）動(dòng)手靠一靠：讓學(xué)生用直尺當(dāng)墻，把長(zhǎng)方形紙當(dāng)苗圃，直觀得出兩種方法（長(zhǎng)邊靠、寬邊靠）。（2）指一指籬笆所在的邊。讓學(xué)生指出籬笆的幾條邊時(shí)，有學(xué)生很快回答“2寬1長(zhǎng)圍用的籬笆最少”。（3）“果真如此嗎？”接下來(lái)分組進(jìn)行討論，用已有知識(shí)來(lái)證明“長(zhǎng)邊靠墻圍用的籬笆最少”。這樣，直覺(jué)的任務(wù)已完成，留下來(lái)的是形象思維和邏輯思維的任務(wù)：分別算出兩種不同圍法所用籬笆的長(zhǎng)度，對(duì)比答案作解釋。還有學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的特征，結(jié)合周長(zhǎng)的意義作出了合情推理：長(zhǎng)邊靠墻圍籬笆要1長(zhǎng)2寬，寬邊靠墻圍籬笆要2長(zhǎng)1寬，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)，顯然長(zhǎng)邊靠墻圍籬笆最少。直覺(jué)使學(xué)生直接深入問(wèn)題的核心，很快作出了判斷。學(xué)生主動(dòng)直接在紙上畫(huà)出兩種圍法，借助圖形思考，更加簡(jiǎn)潔快速地獲得了答案，很好地展示了直觀的理性思維。

把學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)看不見(jiàn)的思維過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，教師據(jù)此了解學(xué)情，及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)摸得到的數(shù)學(xué)，有利于讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效能。