【摘要】20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系就成了數(shù)學(xué)教育的研究領(lǐng)域。在小學(xué)階段，能用于數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史素材可以按照其作用來(lái)分類;學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解過(guò)程和數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程有一定的相似性;教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式主要有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;教育取向;歷史相似性;運(yùn)用方式

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2015）17-0008-04

【作者簡(jiǎn)介】汪曉勤，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系（上海，200241）教授，博士生導(dǎo)師，中國(guó)科學(xué)院科學(xué)技術(shù)史博士，全國(guó)數(shù)學(xué)教育研究會(huì)副理事長(zhǎng)，全國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》副主編。

奧地利著名物理學(xué)家和哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)?！边@一觀點(diǎn)同樣適用于數(shù)學(xué)教育。也許有人會(huì)說(shuō)：“我對(duì)數(shù)學(xué)史一無(wú)所知，不也把數(shù)學(xué)教得很好嗎？”誠(chéng)然，在我們今天這個(gè)以分?jǐn)?shù)論英雄的時(shí)代，這句話或許并沒(méi)有錯(cuò)。但是，如何解決“分?jǐn)?shù)可觀、情感消極”“解題無(wú)數(shù)、理解缺失”等矛盾？如何在課堂上營(yíng)造“知識(shí)之諧”、展示“方法之美”、實(shí)現(xiàn)“情感之悅”，從而讓學(xué)生接受更美好的數(shù)學(xué)教育呢？把數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，是值得我們探索的一條理想途徑。

實(shí)際上，早在20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM）就已經(jīng)成了數(shù)學(xué)教育的一個(gè)研究領(lǐng)域。走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)的世界，我們赫然發(fā)現(xiàn)，有關(guān)HPM研究的主題竟如此豐富多彩、引人入勝。限于篇幅，本文只討論其中的三個(gè)主題。

一、教育取向的數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)史是一座巨大的寶藏，其中包含大量的教學(xué)素材。數(shù)學(xué)史之所以有著“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的境遇，原因固然有很多種，但數(shù)學(xué)教師手頭缺乏實(shí)用的數(shù)學(xué)史素材，是最主要的原因之一。另一方面，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中許多問(wèn)題的探討，如小數(shù)和分?jǐn)?shù)孰先孰后、簡(jiǎn)易方程的必要性等，都需要以數(shù)學(xué)史作為參照。因此，教育取向的數(shù)學(xué)史研究是HPM領(lǐng)域不可或缺的基礎(chǔ)性工作。教育取向的數(shù)學(xué)史料浩如煙海，大致可以按照其作用來(lái)分類，下面舉兩類例子。

1.“情感”取向的歷史素材。

比利時(shí)科學(xué)史家薩頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在科學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是科學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個(gè)時(shí)代的主要文化需要?！睋?jù)此，我們同樣可以說(shuō)：“在數(shù)學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是數(shù)學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)教育的需要?！毙W(xué)數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)和技能的同時(shí)，還應(yīng)該傳遞數(shù)學(xué)背后的人文精神，為塑造學(xué)生的人格品質(zhì)提供正能量。數(shù)學(xué)是人類的文化活動(dòng)，不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出過(guò)貢獻(xiàn)，他們的勤奮、執(zhí)著、堅(jiān)韌、擔(dān)當(dāng)，他們對(duì)真、善、美的不懈追求，無(wú)不是我們寶貴的精神財(cái)富。

古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯勤于天文觀測(cè)，堅(jiān)持不懈，風(fēng)雨無(wú)阻，有一次竟不慎掉入水溝，他通過(guò)拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理。中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅（祖沖之之子）在思考問(wèn)題時(shí)專心致志，天打響雷都聽(tīng)不見(jiàn)，走路時(shí)竟撞上仆射徐勉，徐勉叫喚后才醒悟過(guò)來(lái)，他最終解決了球體積的難題。17世紀(jì)英國(guó)哲學(xué)家霍布斯40歲開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最終成為數(shù)學(xué)家。19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里司逆境成才，從一名書籍裝幀的學(xué)徒工到愛(ài)丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授，譜寫了人生的傳奇。

溝通數(shù)學(xué)與人文，能更全面地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。但是，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上太缺乏數(shù)學(xué)故事了，需要我們不斷從數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)中去發(fā)掘、整理和加工。

2.“方法”取向的歷史素材。

每一個(gè)公式和法則都有它的歷史，無(wú)論是它背后的思想方法，還是它從不完善到完善的演進(jìn)過(guò)程，都能為教學(xué)提供借鑒。以“分?jǐn)?shù)除法”為例，成書于1世紀(jì)的《九章算術(shù)》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（7世紀(jì)）和婆什迦羅（12世紀(jì)）采用我們熟悉的顛倒除數(shù)分子分母法：■÷■=■×■=■;這種方法在15—16世紀(jì)的歐洲卻鮮為人知。歐洲人除了采用《九章算術(shù)》中的通分法，還采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。直到17世紀(jì)，顛倒除數(shù)分子分母法才逐漸被人們廣泛采用。

從教材中我們可能只能看見(jiàn)一棵樹(shù)，從歷史中我們卻可能會(huì)看到一片森林。

二、歷史相似性

所謂歷史相似性，是指人對(duì)數(shù)學(xué)的理解過(guò)程與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的平行性，這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)。但是，學(xué)生對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解是否真的存在歷史相似性，需要我們做深入細(xì)致的實(shí)證研究。如果歷史相似性得到印證，那么，數(shù)學(xué)史就成了一面鏡子，通過(guò)這面鏡子，教師可以預(yù)測(cè)學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)可能會(huì)產(chǎn)生的認(rèn)知困難，從而制訂合理的教學(xué)策略。

例如學(xué)生對(duì)“除以零”的理解。數(shù)學(xué)上為什么要做出這樣的規(guī)定？其實(shí)，歷史上數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題也多有困惑。婆羅摩笈多認(rèn)為0÷0=0;摩訶毗羅認(rèn)為a÷0=a（a≠0）;釋律帕提認(rèn)為a÷0=0（a≠0）;而婆什迦羅雖然用相當(dāng)于我們今天的專有名詞來(lái)表示a÷0的結(jié)果，但他認(rèn)為（a×0）÷0=a。

Reys和Grouws對(duì)中學(xué)生進(jìn)行訪談[2]，一位八年級(jí)學(xué)生認(rèn)為0÷0=0，并解釋說(shuō)：“一無(wú)所有除以一無(wú)所有，什么都得不到?！盬heeler和Feghali對(duì)52名職前小學(xué)教師的研究發(fā)現(xiàn)[3]：職前小學(xué)教師在“除以零”的理解上存在困難，67%的職前教師認(rèn)為0÷0=0。Ball對(duì)19名職前中小學(xué)教師進(jìn)行訪談[4]，發(fā)現(xiàn)很少有人能合理解釋為什么0不能作為除數(shù)。Even和Tirosh對(duì)33名以色列中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)很多教師對(duì)于“為何4÷0無(wú)意義”的解釋是“一種規(guī)定”[5]。Crespo和Nicol在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)[6]：小學(xué)生和職前小學(xué)教師普遍認(rèn)為5÷0=0。上述研究表明，今天學(xué)生對(duì)于“除以零”的困惑或誤解確實(shí)具有歷史相似性。

三、教學(xué)實(shí)踐

要讓小學(xué)數(shù)學(xué)教師充分認(rèn)識(shí)和普遍接受HPM，首先要讓他們看到成功的教學(xué)案例。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不能生硬地為歷史而歷史，必須兼顧知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式也并不是單一的，有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式，視課堂需求而定。

附加式是指在課堂上講述數(shù)學(xué)故事、人物生平、歷史背景等。例如：在引入“大數(shù)”時(shí)，講述古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德數(shù)沙的故事;在講授“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，講述法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡少年時(shí)代通過(guò)折紙證明三角形內(nèi)角和定理的故事;在講授“用字母表示數(shù)”時(shí)，講述“未知數(shù)為什么用x來(lái)表示”的故事;在引入“眾數(shù)”時(shí)，講述古希臘伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)中普拉提亞人數(shù)城墻磚塊的故事;等等。

復(fù)制式是指在教學(xué)中直接使用歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，人教版六上“數(shù)學(xué)廣角”單元即含有兩個(gè)古代數(shù)學(xué)名題：一是《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”問(wèn)題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”一是《算法統(tǒng)宗》中的“僧分饅頭”問(wèn)題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)。小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾?。俊惫糯鷶?shù)學(xué)名題猶如陳年佳釀，必能在課堂上散發(fā)醇香。

順應(yīng)式是指將數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行改編，或利用數(shù)學(xué)史材料編制數(shù)學(xué)問(wèn)題，以順應(yīng)當(dāng)前教學(xué)的需要。例如，歐幾里得《幾何原本》第1卷命題37為：“同底且位于相同的兩條平行線之間的三角形（面積）相等?！盵8]利用該命題，可編制如下問(wèn)題（人教版五上）：圖1中有幾對(duì)面積相等的三角形？（陰影部分的一對(duì)三角形被稱為“歐幾里得蝴蝶”）利用中國(guó)古代的七巧板，可編制如下分?jǐn)?shù)問(wèn)題（人教版五下）：圖2中每個(gè)圖形的面積占整個(gè)正方形面積的幾分之幾？圖形7和4共占幾分之幾？圖形3、4、5共占幾分之幾？

很多概念如果直接按照歷史進(jìn)行教學(xué)，可能并不自然，因而需要對(duì)歷史進(jìn)行重構(gòu)。以“負(fù)數(shù)”為例，我們知道，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家因?yàn)榻夥匠痰男枰氏仁褂秘?fù)數(shù)。漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》方程章第3題所解的三元一次方程組問(wèn)題是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三個(gè)方程兩邊乘2，與第一個(gè)方程相減，出現(xiàn)了正數(shù)不夠用的情形：y的系數(shù)等于0-1。《九章算術(shù)》中不僅有正負(fù)數(shù)，還建立了正負(fù)數(shù)加減法則，即“正負(fù)術(shù)”。加法法則為：“異名相除，同名相益;正無(wú)人正之，負(fù)無(wú)人負(fù)之?！奔串愄?hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相減;同號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相加;0加正數(shù)為正，0加負(fù)數(shù)為負(fù)。類似地，減法法則為：“同名相除，異名相益;正無(wú)人負(fù)之，負(fù)無(wú)人正之?！蔽簳x時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在注釋“正負(fù)術(shù)”時(shí)說(shuō)：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”在西方，13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契認(rèn)為：方程x+36=33沒(méi)有根，除非第一個(gè)人（x）欠債3個(gè)錢幣。16世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾指出：零減去一個(gè)大于零的數(shù)所得結(jié)果“小于一無(wú)所有”，是“荒謬的數(shù)”。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡則認(rèn)為：0減去4純屬無(wú)稽之談。18世紀(jì)，仍有數(shù)學(xué)家感到困惑：世界上還有什么東西會(huì)“小于一無(wú)所有”？直到19世紀(jì)，還有數(shù)學(xué)家不接受負(fù)數(shù)。顯然，我們不能直接通過(guò)一元一次方程或二元一次方程組來(lái)引入負(fù)數(shù);而歷史又告訴我們，學(xué)生對(duì)于“直接從零中減去一個(gè)正數(shù)”這樣的運(yùn)算會(huì)感到困惑，所以也不能用它來(lái)引入負(fù)數(shù)，因此，只能通過(guò)重構(gòu)式了。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)史有助于營(yíng)造“知識(shí)之諧”，展現(xiàn)“方法之美”，成就“情感之悅”，實(shí)為數(shù)學(xué)教育所不可或缺。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系博大精深，足以成為小學(xué)數(shù)學(xué)教育中一個(gè)前景無(wú)限廣闊的研究領(lǐng)域。然而，無(wú)論是文獻(xiàn)研究還是實(shí)證研究，目前我們所見(jiàn)到的有價(jià)值的成果還是很有限的。雖然蔡宏圣老師和他的團(tuán)隊(duì)篳路藍(lán)縷，取得了引人注目的成績(jī)，但一個(gè)“小學(xué)HPM學(xué)術(shù)共同體”還有待建立。我們熱切期待有更多的小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究者和一線教師關(guān)注HPM、走進(jìn)HPM、研究HPM、實(shí)踐HPM?！?/p>

【參考文獻(xiàn)】

[1]Smith，D.E.（1925）.History of Mathematics（Vol.2）.Boston：Ginn & Company，1925.226-227.

[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.（1975）.Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75（7）：593-605.

[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.（1983）.Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14（3）：147-155.

[4]Ball，D.L.（1990）. Prospective elementary and secondary teachers understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education，21：132-144.

[5]Even，R.，& Tirosh，D.（1995）. Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.

[6]Crespo，S.，Nicol，C.（2006）.Challenging preservice teachers mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106（2）：84-97.

[7]Keiser，J.M.（2004）.Struggles with developing the concept of angle：comparing sixth-grade students discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning，6（3）：285-306.

[8]Heath，T.L.（1968）.The Thirteen Books of Euclids Elements（Vol.1）.Cambridge：The University Press.332.