☉江蘇省青山高級(jí)中學(xué) 吳建明☉江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué) 顧雪

空間角求解策略的比較研究

☉江蘇省青山高級(jí)中學(xué) 吳建明☉江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué) 顧雪

在高中階段代數(shù)和幾何是其主體內(nèi)容，而立體幾何是高中幾何知識(shí)的重要組成部分，在立體幾何有限的考查的知識(shí)點(diǎn)中，有關(guān)空間角的計(jì)算是一個(gè)高考出現(xiàn)頻率非常高的內(nèi)容.按照求解過(guò)程所依據(jù)的理論的不同，可以將空間角的求解策略分成兩類：一類以立幾的相關(guān)定理和公理為依據(jù)的傳統(tǒng)幾何法；一類是依據(jù)空間向量理論而求解的向量法.每類方法有各自不同的特點(diǎn)和缺陷，因此，有必要對(duì)兩種理論進(jìn)行深入的比較研究，以明晰各自的優(yōu)勢(shì)所在，從而為學(xué)生提升解題質(zhì)量提供幫助.

一、實(shí)踐層面：實(shí)際解題過(guò)程的對(duì)比呈現(xiàn)

例1如圖1，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP與CC′所成角的大??；

（2）求DP與平面AA′DD′所成角的大小.

二、理論層面：相關(guān)解題思想的對(duì)比呈現(xiàn)

實(shí)踐層面的對(duì)比呈現(xiàn)，還不足以完整地刻畫(huà)出傳統(tǒng)幾何法與向量法的差異，因此有必要再?gòu)睦碚搶用鎸?duì)兩者進(jìn)行梳理，以明晰兩者之間的區(qū)別.從實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)空間中的角依據(jù)組成要素的不同，有線線角、線面角，其實(shí)還應(yīng)包含一類由面與面所形成的角，即面面角，以下按角的分類，進(jìn)行兩類方法的對(duì)比研究.

1.線線角的求法

首先，傳統(tǒng)幾何法求解異面直線所成角，主要是借助于平行四邊形和三角形中位線的平行特性，關(guān)鍵在于抓三個(gè)步驟：①“作”，即過(guò)空間某一點(diǎn)作平行線，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成平面角；②“證”，即證明所構(gòu)造的角即為所求異面直線所成角；③“算”，即通過(guò)三角形三邊關(guān)系，利用余弦定理求解所成角.

其次，向量法求解異面直線所成角，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成兩條直線方向向量夾角，特別需要注意的是方向向量的夾角與異面直線所成角的范圍上的差異，即若兩向量夾角的余弦值為負(fù)值時(shí)，所求角應(yīng)為向量夾角的補(bǔ)角.其步驟包含：①建立適合的坐標(biāo)系，寫(xiě)出兩條異面直線的方向向量a和b，設(shè)其夾角為φ；②利用幾何體的特性，求解方向向量的坐標(biāo)；③利用向量數(shù)量積公式

2.線面角的求解

首先，傳統(tǒng)幾何法求解直線與平面所成角，主要是借助解三角形的理論，關(guān)鍵做好以下幾個(gè)步驟：①“構(gòu)造”，即過(guò)所在直線上一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足與斜足，構(gòu)造直角三角形；②“求值”，即通過(guò)幾何體上的數(shù)量關(guān)系求解三角形的邊長(zhǎng)；③“求角”，即利用余弦定理或直角特性求角的余弦值.

其次，向量法求解線面角，將線與面所成角轉(zhuǎn)化成線的方向向量與面的法向量之間的夾角，需要注意的是向量所成角與線面角的特殊關(guān)系.根據(jù)圖5可以發(fā)現(xiàn)，向角函數(shù)誘導(dǎo)公式sinθ=|sinα|，其操作步驟為：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量a；③求平面的法向量n；④利用sinθ= |sinα|計(jì)算.

圖5

圖6

3.面面角的求解

首先，傳統(tǒng)幾何法求解面面角，按照如下三個(gè)步驟：①作，作出二面角的平面角；②證，證明所作角符合二面角的平面角定義；③算，通過(guò)解三角形計(jì)算角的余弦值.

其次，向量法求解面面角，將面與面的平面角轉(zhuǎn)化兩平面法向量的夾角，需要注意的是面面角與兩法向量夾角的特殊關(guān)系.根據(jù)圖6可以發(fā)現(xiàn)面面角θ與法向量夾角α的關(guān)系為：當(dāng)法向量的方向一進(jìn)一出時(shí)θ=α；當(dāng)法向量的方向同進(jìn)同出時(shí)θ=π-α.其操作步驟為：①建立直角坐標(biāo)系；②求解面的法向量；③利用向量數(shù)量積公式求角向量夾角；④判定二面角的大小，求夾角的余弦值.

三、反思總結(jié)：兩類求解策略的比較研究

反思上述理論與實(shí)踐操作的過(guò)程，對(duì)比每種角的兩類求解方法，不難發(fā)現(xiàn)兩類方法在求解過(guò)程中的聯(lián)系與區(qū)別.

在聯(lián)系方面，首先，它們有著共同的理論基礎(chǔ)，即經(jīng)典立體幾何理論，傳統(tǒng)立體幾何法以經(jīng)典的幾何理論為指導(dǎo)思想，通過(guò)添加輔助線的方式構(gòu)造空間中的角，而向量法則以經(jīng)典立體幾何理論將空間中的角轉(zhuǎn)化成了空間向量的夾角；其次，從數(shù)學(xué)思想方面講，兩者均體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，傳統(tǒng)幾何法通過(guò)添加輔助線將待求的角轉(zhuǎn)化成新構(gòu)成的角，而向量法則是將待求轉(zhuǎn)化成兩個(gè)相關(guān)向量的夾角；再次，從數(shù)學(xué)模型上講，兩者都有各自固定的解題模式，傳統(tǒng)幾何法概括起來(lái)可以用“作”、“證”、“算”三個(gè)字來(lái)表達(dá)；然后，根據(jù)相關(guān)理論來(lái)證明所作角即為待求角；最后，根據(jù)解三角形的相關(guān)理論，利用正余弦定理求解空間角的大小.

在區(qū)別方面，首先，從兩者思維突破的關(guān)鍵點(diǎn)上看，幾何法思維突破的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造，而向量法思維突破的關(guān)鍵點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化.解題思想和實(shí)際操作都向我們昭示著這樣一個(gè)事實(shí)，即無(wú)論求解哪類角，幾何法都無(wú)法避免增加輔助線，而輔助線的增加講究的是合適的位置，但這對(duì)于抽象能力稍弱的學(xué)生而言往往是使其陷入困境的原因所在，而向量法則不同，它利用向量夾角與空間角之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)兩者間的轉(zhuǎn)化，所需要的僅僅是學(xué)生的計(jì)算能力，而高中生計(jì)算能力相比于構(gòu)造能力而言應(yīng)當(dāng)是優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目.其次，從兩者思維的流暢性上講，向量法的思維運(yùn)算的復(fù)雜程度要比傳統(tǒng)幾何法的思維運(yùn)算的復(fù)雜程度低的多.以問(wèn)題（1）為例，傳統(tǒng)幾何法過(guò)程上看似非常簡(jiǎn)單，但三條輔助線添加、三次余弦值的求解，并且還需要通過(guò)比例式建立三個(gè)余弦值之間的聯(lián)系，這樣的思維組合遠(yuǎn)非其計(jì)算過(guò)程所能比擬的，其中的任何一個(gè)環(huán)節(jié)足以讓學(xué)生的思維陷入停頓，而向量法則不同，它所需要作的僅僅是找到向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的公式求解即可.當(dāng)然比較兩種方法的實(shí)際操作過(guò)程，也可以發(fā)現(xiàn)向量法在降低思維復(fù)雜性的同時(shí)也一定程度上增加了計(jì)算的復(fù)雜性，但這種程度是在學(xué)生可以接受的范圍內(nèi)的.

總而言之，向量法與傳統(tǒng)幾何法在求解空間角的問(wèn)題上各有各的優(yōu)勢(shì)和缺陷，但在權(quán)衡利弊后，總體上向量法回避了復(fù)雜程度高的幾何技能，發(fā)揮了更有優(yōu)勢(shì)的代數(shù)運(yùn)算技能.A