☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 劉曉燕

高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的幾點(diǎn)思考

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 劉曉燕

習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是思維訓(xùn)練的重要載體，習(xí)題課是課堂教學(xué)的一種重要課型，它是以講解、討論、總結(jié)和練習(xí)為主的一種課堂教學(xué)形式，是鞏固基礎(chǔ)、強(qiáng)化技能、糾正偏差、預(yù)防錯(cuò)誤、補(bǔ)救紕漏的有效途徑.上好數(shù)學(xué)習(xí)題課，對(duì)開發(fā)學(xué)生智力、激活學(xué)生思維、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)等具有重要的意義.筆者依托自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)進(jìn)行了積極的探索，為拋磚引玉，特作總結(jié)，以供商榷.

一、數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中存在的誤區(qū)

1.忽視基礎(chǔ)

忽視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法的復(fù)習(xí)，只選講課本外的題目，不注重基礎(chǔ)知識(shí)，脫離課本，對(duì)課本中的題目認(rèn)為過(guò)于簡(jiǎn)單，隨意舍棄.

2.教師包講

采用“一言堂”或“填鴨式”的課堂教學(xué)，忽略了“習(xí)題課的主體仍然是學(xué)生”這個(gè)基本常識(shí).

3.就題論題

教師只講正確的解題方法或答案，或者只分析答案的正確性，不能教給學(xué)生獲得正確答案的思維過(guò)程.缺乏對(duì)題目的變式拓展，思維方法的歸納延伸，達(dá)不到舉一反三的效果.

4.糾錯(cuò)失策

教師只講學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，不從師生雙方面挖掘產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，即只“糾錯(cuò)”而不“究錯(cuò)”.

5.選題失當(dāng)

缺乏代表性，而在時(shí)下，對(duì)“簡(jiǎn)單”題目的教學(xué)意義認(rèn)識(shí)不足，看好并喜歡講難題、多講題的教師卻不在少數(shù)，課中充斥著難題、大題，似乎題目越難、越有嚼頭、越綜合就越能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.殊不知這種好“大”喜“難”式的習(xí)題教學(xué)，往往脫離學(xué)生實(shí)際，不僅學(xué)生學(xué)習(xí)吃力，難有作為，教師也只好“一言堂”，苦不堪言，課堂效率低下.

二、上好數(shù)學(xué)習(xí)題課的幾點(diǎn)做法

1.改編題目，歸納方法規(guī)律

一節(jié)好的習(xí)題課應(yīng)該做到幫助學(xué)生歸納解題規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生尋找解題方法.

本題屬于“全稱量詞”和“存在量詞”方面一道優(yōu)秀的高考試題.稍加改變，可以得到一系列的“形同質(zhì)異”的題目.

分析與解答：當(dāng)x1∈［0，1］時(shí)，函的每個(gè)函數(shù)值都能在函數(shù)g（x0）=x30-3a2x0-2a（x0∈［0，1］）的值域中找到.即f（x1）的值域A是g（x0）在［0，1］上的值域B的子集，易求A=［－4，-3］，B=［1-2a-3a2，-2a］，故

改編1：若對(duì)于任意的x1∈［0，1］，任意的x0∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x0）成立，求a的取值范圍.

分析思路：這是一道恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為y=g（x）在x∈［0，1］上的最小值≥y=f（x）在［0，1］上的最大值.

改編2：若對(duì)于任意的x1∈［0，1］，總存在唯一的x0∈［0，1］，使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范圍.

改編3：若對(duì)于任意的x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x0）成立，求a的取值范圍.

分析思路：y=g（x），x∈［0，1］的函數(shù)值不小于y=f（x），x∈［0，1］的任意值，即可以轉(zhuǎn)化為y=g（x），x∈［0，1］的最大值≥y=f（x）在［0，1］上的最大值.

改動(dòng)關(guān)鍵的幾個(gè)字，“形同質(zhì)異”，這組由易到難的題組，教師可以幫助學(xué)生經(jīng)歷“通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)不同，深入思考，獲得解法”的思維過(guò)程，有利于解題規(guī)律的正遷移.數(shù)學(xué)所涉及的知識(shí)點(diǎn)不是太多，但對(duì)知識(shí)的遷移能力運(yùn)用要求卻很高，甚至達(dá)到靈活運(yùn)用的程度.這就要求教師善于引導(dǎo)學(xué)生將題型歸類，善于對(duì)比思考推敲它們的區(qū)別和聯(lián)系，總結(jié)出一類問題的方法和規(guī)律.

2.構(gòu)建“問題串”，發(fā)散學(xué)生思維

這類問題串是幫助學(xué)生確定問題解決時(shí)需要考慮的因素，并將這些知識(shí)和信息以“問題串”的形式呈現(xiàn)給學(xué)生.老師通過(guò)問題向?qū)W生提供援助，幫助學(xué)生集中注意力或提供新的思路.“問題引路”式的習(xí)題課教學(xué)可將復(fù)雜問題有機(jī)的分解，使學(xué)生有限的認(rèn)知資源得到合理分配.

案例2已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.

（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；

對(duì)于第（Ⅰ）問的解答可以設(shè)置以下問題：

問題1：證明點(diǎn)F在直線BD上的方法有哪些？

學(xué)生分析：（1）kBF=kDF；（2）先求出直線BD的方程，驗(yàn)證點(diǎn)F在直線BD上；（3）向量共線等.

問題2：如何證明kBF=kDF？（以（1）為例）

學(xué)生分析：若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則D（x1，-y1），將

問題4：在解析幾何中“等量關(guān)系”一般是通過(guò)特殊的位置關(guān)系得到.

學(xué)生分析：（1）點(diǎn)A，B，D在拋物線C：y2=4x上；（2）A，B，K三點(diǎn)共線.

問題5：如何將上述位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系？

學(xué)生分析2：設(shè)直線AB的方程為x=my-1，將方程x= my-1與y2=4x聯(lián)立，消去x，可得y2-4my+4=0，運(yùn)用韋達(dá)定理即可.

有了這幾個(gè)問題串的層層設(shè)置，問題（Ⅰ）就可迎刃而解了.

第（Ⅱ）問的問題串可以設(shè)置為：

問題3：能否求出直線BD的方程？

問題4：△BDK的內(nèi)切圓圓心在哪？

學(xué)生分析：在x軸上.

問題5：如何設(shè)圓的方程？

學(xué)生分析：設(shè)M（t，0）（-1＜t＜1），則圓的方程為（x-t）2+ y2=r2.

問題6：如何列出t，r的方程呢？

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、數(shù)量積、三角形的內(nèi)切圓及圓的方程等知識(shí).考查學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力，運(yùn)算量很大具有很強(qiáng)的綜合性，難度較大.通過(guò)上述問題的設(shè)置，把復(fù)雜的問題有機(jī)分解，以“問題串”的形式呈現(xiàn)，為學(xué)生搭建了“問題引路”的腳手架，讓學(xué)生集中精力解決某個(gè)問題，降低了解題的難度，起到了良好的解題效果.

3.類比遷移，辨析數(shù)學(xué)知識(shí)的異同

類比思維是依據(jù)兩個(gè)或兩類數(shù)學(xué)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同推演出其他方面也相似或相同的一種重要思維與推理方式.通過(guò)類比思維，在類比中聯(lián)想，可以達(dá)到創(chuàng)新知識(shí)、升華思維的目的.

和同學(xué)一起解決完此題后可以設(shè)置以下一組類比：

類比2：如圖3，F(xiàn)為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，直線拋物線于B1，B2兩點(diǎn)，直線B2F交拋物線于點(diǎn)B，連接BB1，則直線BB1恒過(guò)定點(diǎn)

圖1

圖2

圖3

類比遷移是學(xué)習(xí)新技能、學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn)和探索、培養(yǎng)創(chuàng)造性的一個(gè)重要途徑.因此在習(xí)題課中利用類比不僅僅是簡(jiǎn)單地增加新知識(shí)，掌握抽象規(guī)則，而且可以依靠我們從記憶中提取相關(guān)的知識(shí)和技能，并以此為出發(fā)點(diǎn)去學(xué)習(xí)新的知識(shí)和技能.

4.探求一題多解，彰顯數(shù)學(xué)問題解決的多樣性

探求一題多解，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決.經(jīng)常在習(xí)題課中培養(yǎng)學(xué)生一題多解的意識(shí)可以鍛煉學(xué)生思維視野的廣闊性，提高學(xué)生的創(chuàng)造力.

所以0≤|2a-b|≤4.

角度2：利用模的不等量關(guān)系求模的最值.

解法2：根據(jù)向量模的不等關(guān)系：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，很容易得到||2a|-|b||≤|2a-b|≤|2a|+|b|，而|2a|=2，|b|=2，于是可得0≤|2a-b|≤4.因?yàn)閍的方向的任意性可知a與b能夠共線，因此等號(hào)能夠成立.

角度3：利用向量的幾何含義求模的最值.

圖4

探求一題多解，意在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，是一種從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種渠道，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.沒有發(fā)散思維就不會(huì)有任何創(chuàng)造性的萌芽和創(chuàng)造性的成果，因此發(fā)散性思維可以鍛煉學(xué)生思維視野的廣闊性，提高學(xué)生的創(chuàng)造力.

課堂教學(xué)過(guò)程是一個(gè)不斷探索與實(shí)踐的過(guò)程，是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，在新課程理念下，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的重要性，運(yùn)用科學(xué)的方法組織習(xí)題課教學(xué)，做到由題海戰(zhàn)術(shù)向習(xí)題精選轉(zhuǎn)變，由重知識(shí)傳授向重思維過(guò)程轉(zhuǎn)變，由重掌握技巧向糾錯(cuò)反思轉(zhuǎn)變，由就題論題向借題發(fā)揮轉(zhuǎn)變.讓習(xí)題課教學(xué)更有效，更高效，真正發(fā)揮習(xí)題功效，提高思維質(zhì)量，滲透思想方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力、提高學(xué)生素質(zhì)之目的.F