☉江蘇省大豐高級(jí)中學(xué) 陳建圣

解題得以優(yōu)化源于策略得當(dāng)
——簡(jiǎn)解圓錐曲線問題的幾種策略

四、結(jié)束語(yǔ)

各樣的錯(cuò)誤，成為學(xué)生學(xué)習(xí)上的阻礙，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)會(huì)了但數(shù)學(xué)題仍舊不會(huì)解，數(shù)學(xué)知識(shí)和解題能力脫節(jié)，教師這時(shí)就應(yīng)幫助學(xué)生用效果好的模型將知識(shí)與解題能力充分地結(jié)合起來.波利亞解題模型有較好的實(shí)用性和指導(dǎo)性，在教學(xué)中利用這種模型，可以將解題步驟細(xì)化到具體步驟.以上本文則對(duì)波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用展開了詳細(xì)探討，以供參考.F

☉江蘇省大豐高級(jí)中學(xué) 陳建圣

在圓錐曲線問題的解答中，極易出現(xiàn)思路正確，但因運(yùn)算過程繁雜，導(dǎo)致半途而廢的現(xiàn)象，因此，解答圓錐曲線問題時(shí)，解題策略的選擇應(yīng)以減少計(jì)算量為準(zhǔn)則，解題策略的選擇是否恰當(dāng)，對(duì)優(yōu)化解題過程、簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算量起著關(guān)鍵作用.下面提供幾種策略，供讀者參考.

一、緊扣定義，化生為熟

例1（2015年浙江高考）如圖1，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）.

圖1

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中的定義是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，也是解答相關(guān)問題的工具.因此在解答某些圓錐曲線問題

波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐證明：應(yīng)用波利亞解題模型可提高學(xué)生的解題效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力，符合新課改要求.高中數(shù)學(xué)解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，解題過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)各種時(shí)，如能靈活、巧妙地應(yīng)用圓錐曲線的定義，不僅能深化對(duì)圓錐曲線概念的理解，而且還能提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)而拓展思維，迅速解題.

二、挖掘本質(zhì)，熟中生巧

解析：雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0），過點(diǎn)P與x軸垂直的直線為x=2，漸近線方程

三、把握關(guān)聯(lián)，簡(jiǎn)化計(jì)算

例3已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的最小面積為_________.

分析：由題目條件中的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切，即圓心C到點(diǎn)F的距離與到直線y=-1的距離相等，不難聯(lián)想到拋物線的定義，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線x2=4y，根據(jù)點(diǎn)、直線間的距離公式列出方程求r的最值來求解.

解：由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y，設(shè)C到直線3x-4y+20=0的距離d=最小為2，故圓的最小面積為4π.

四、抓住關(guān)鍵，不戰(zhàn)而勝

例4（2015年北京高考模擬）若雙曲線M上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則雙曲線M的離心率的取值范圍是________.

解析：如圖2，若雙曲線M上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則漸近線的斜率大于正方形對(duì)角線的斜率，雙曲線離心率的范圍是

圖2

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線中對(duì)于某些關(guān)鍵的點(diǎn)和線的位置十分重要，有些不但可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，甚至可以起到不攻自破的解題效果.

五、執(zhí)果索因，逆向探究

（1）如果點(diǎn)M是橢圓W的右焦點(diǎn)，線段MB的中點(diǎn)在y軸上，求直線AB的方程；

解析：（1）略.

（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則B（1x2，-y2）.

所以kNA-kNB1=0，所以點(diǎn)A，N，B1三點(diǎn)共線，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱.

點(diǎn)評(píng)：探索性問題是高考中圓錐曲線命題中的?？碱}型之一，此類問題若正面求解，常感無從下手，此時(shí)若從問題的結(jié)論出發(fā)，可使解題思路瞬間明朗.如本題執(zhí)果索因：若點(diǎn)B與C關(guān)于x軸對(duì)稱，則易知直線NB與NC關(guān)于x軸對(duì)稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，因此可將問題轉(zhuǎn)化為判斷kNB+kNC=0，從而使問題清晰簡(jiǎn)潔得解.

綜上，圓錐曲線的運(yùn)算問題綜合性強(qiáng)，能力要求高，要求學(xué)生在處理問題時(shí)既要從整體上把握問題的綜合信息和處理問題的數(shù)學(xué)思想，又要在細(xì)節(jié)上能熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法與技巧.因此掌握一些簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算的策略，對(duì)優(yōu)化解題過程，提高運(yùn)算效率大有裨益.F