☉浙江省嵊州市馬寅初中學(xué) 沈鐵表

揪出“似是而非”的“非”
——記一次試題原創(chuàng)過(guò)程中的爭(zhēng)論

☉浙江省嵊州市馬寅初中學(xué) 沈鐵表

2015年3月，筆者有幸參加了紹興市高三一模命題工作.試題原創(chuàng)的過(guò)程是痛苦的，但也給人以一種成功的自豪感；磨題的過(guò)程是艱辛的，卻也能給人以一種強(qiáng)烈的愉悅感.其中一位老師命制了一道數(shù)列與不等式相結(jié)合的試題，針對(duì)隱含其參考解答中的“似是而非”，同事們充滿理性和智慧的爭(zhēng)論，揪“非”的過(guò)程則讓人記憶猶新，思索無(wú)盡.

一、試題呈現(xiàn)

題目數(shù)列｛an｝滿足：

（Ⅰ）若對(duì)任意的n∈N*，an+1＞an，求p的取值范圍；

二、狹路相逢引爭(zhēng)論

由于數(shù)學(xué)歸納法已不是浙江省高考必修內(nèi)容，所以在命題時(shí)，不能采用數(shù)學(xué)歸納法作為證明方法.對(duì)于此題，本人在一開(kāi)始做題的過(guò)程中隱約看出了一些疑問(wèn)，因此就提出“對(duì)于第（Ⅰ）小題的解答，總感覺(jué)邏輯上有點(diǎn)問(wèn)題，似乎是循環(huán)論證.”

此話一出，馬上引起了大家的關(guān)注和思考，氣氛陡然緊張.過(guò)了一會(huì)兒，L老師懦懦地說(shuō)：“我最初也曾經(jīng)感覺(jué)不太對(duì)，但我和K老師討論之后，覺(jué)得這個(gè)答案是可以的.”此時(shí)K老師站起來(lái)說(shuō)：“這個(gè)沒(méi)問(wèn)題的.因?yàn)轭}目條件是‘對(duì)任意的n∈N*，有an+1＞an’，所以an+1＞an在解題的任何時(shí)候都可以用.”

可筆者覺(jué)得原解答的后半過(guò)程，其實(shí)就是在證明當(dāng)p＞0時(shí)，對(duì)任意的n∈N*，都有an+1＞an.所以此時(shí)不能用an+1＞an作為條件了，也就不能用an≥2作為條件了.

K老師：“我認(rèn)為原解答絕對(duì)正確，沒(méi)有問(wèn)題.”

因?yàn)椋╢x）是R上的奇函數(shù)，所以（f0）=0，即a=0.而當(dāng)a=0時(shí)，（f-x）==-（fx），（fx）是R上的奇函數(shù)，所以a=0.

“這不是同樣的邏輯嗎？”

筆者認(rèn)為這個(gè)例子與此題還是有所不同的！命題者所給參考解答的邏輯是：因?yàn)閜＞0，所以a2＞a1=2，a3-a2= a（2a2-2）+p＞0，即a3＞a2＞2，再a4-a3=a（3a3-2）+p＞0，a4＞a3＞2，…，an+1＞an.所以從本質(zhì)上看還是在用數(shù)學(xué)歸納法.盡管它的解答過(guò)程看似在回避，其實(shí)犯了邏輯上的錯(cuò)誤.而你舉的這個(gè)例子，在證明當(dāng)a=0，（fx）是R上奇函數(shù)的過(guò)程中并沒(méi)有用“（fx）是R上奇函數(shù)”這個(gè)條件，所以沒(méi)有犯邏輯性錯(cuò)誤，因此你舉的例子與此題有本質(zhì)不同.

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的思考后，一口氣說(shuō)出了自己的看法.

K老師：“那你的意思是題目給出的an+1＞an不能用了？”

題目給出的條件是：當(dāng)p在一定的范圍內(nèi)的時(shí)候an+1＞an恒成立，并且要我們求出這個(gè)范圍，即求出an+1＞an恒成立時(shí)的充要條件.而我們根據(jù)a2＞a1得到p∈（0，+∞），僅僅是an+1＞an恒成立的必要條件.

K老師：“我有點(diǎn)感覺(jué)了，就是有可能p∈（0，+∞）的某個(gè)子集時(shí)，an+1＞an不一定恒成立，所以，原解答過(guò)程中用an+1＞an作為條件來(lái)說(shuō)明an≥2，并且證明an+1＞an是不符合邏輯的.”

K老師：“可針對(duì)這個(gè)題目，這個(gè)答案沒(méi)錯(cuò)啊，最好能舉出反例.讓我們大家來(lái)想想.”

……

筆者再次發(fā)表了自己的看法：“其實(shí)參考解答中，當(dāng)p＞0時(shí)，由于an+1＞an，所以對(duì)任意的n∈N*，a≥2.所以有an+1-an=2an+p=a（nan-2）+p＞0.即當(dāng)p＞0時(shí)，對(duì)任意的n∈N*，an+1＞an.這個(gè)過(guò)程的本質(zhì)就是：當(dāng)p＞0時(shí)，由an+1＞an推出an+1＞an.很明顯是循環(huán)論證嘛.”

為了更好地說(shuō)明自己的理由，筆者嘗試著找到一個(gè)反例.

反例：數(shù)列｛an｝滿足：a1=a，an+1=an.若對(duì)任意的n∈N*，|an|≤2，求a的取值范圍.

我們可以模仿參考解答，給出以下解法：

解析：由已知|a1|=|a|≤2，以及|a2|=|a21+a1|=|a2+a|≤2得a∈［-2，1］.而a∈［-2，1］時(shí)，由條件|an|≤2，即-2≤an≤2，所以若對(duì)任意的n∈N*，|an|≤2.故所求a的范圍是a∈［-2，1］.

而事實(shí)上，可以驗(yàn)證：當(dāng)a=1時(shí)不符合題意.所以，這樣的解法是錯(cuò)誤的.有了這個(gè)反例之后，同事們終于認(rèn)可筆者的觀點(diǎn)了.

三、峰轉(zhuǎn)路回巧改變

離成卷已是最后一天，重新創(chuàng)作一個(gè)新題已是非常困難，在這種情況之下，如何改變?cè)囶}，使其既能避免使用數(shù)學(xué)歸納法，又不產(chǎn)生“循環(huán)論證”，是放在大家面前一件迫切的事情.經(jīng)驗(yàn)豐富而且穩(wěn)重的W老師提出：“能不能賦予參數(shù)一個(gè)特定的數(shù)值呢？”即把題目改為：

數(shù)列｛an｝滿足：a1=2，an+1=a2n-an+1.求證：對(duì)任意的n∈N*，an+1＞an.

解析：an+1-an=（an-1）2≥0，所以an+1≥an≥…≥a1=2，故an+1-an=（an-1）2≥0中，等號(hào)恒不成立，即an+1＞an恒成立.

大家：“這樣不錯(cuò).既不影響后一小題，又避免邏輯錯(cuò)誤，而且解答過(guò)程中不用數(shù)學(xué)歸納法，避免不必要的誤導(dǎo)，一舉三得.”

四、余音繚繞再思考

回來(lái)之后，這個(gè)問(wèn)題一直縈繞在自己的腦海中，原題中的解答不用數(shù)學(xué)歸納法真的不行嗎？可否用另外一種遞推來(lái)代替數(shù)學(xué)歸納法呢？經(jīng)過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)可以用以下解答過(guò)程.

邏輯性的錯(cuò)誤一般在學(xué)生解題中比較常見(jiàn)，但像本題那樣在一群解題高手中出現(xiàn)這種“似是而非”的解答，卻是比較罕見(jiàn)的.這與當(dāng)時(shí)特定的時(shí)間、環(huán)境、心態(tài)都有一定的關(guān)系，比如封閉的環(huán)境，長(zhǎng)時(shí)間地做題、審題、改題導(dǎo)致的身體疲憊；對(duì)同一批題目的不斷重復(fù)研究所造成的心理厭倦等，都有可能出現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題.因此，在以后的命題和教學(xué)工作中，我們要時(shí)刻予以關(guān)注和研究.F