☉浙江省杭州市余杭高級中學(xué)曹鳳山☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽

年年新氣象歲歲求本真
——2015年浙江高考試題評析

☉浙江省杭州市余杭高級中學(xué)曹鳳山☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽

2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試題秉承自主命題以來的成功經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)最新的《考試說明》，以有利于高校選拔新生、有利于中學(xué)數(shù)學(xué)推進(jìn)課程改革為命題原則，體現(xiàn)了“起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、入口寬、方法多樣、區(qū)分度好”等特點(diǎn)，試題在考查雙基的同時，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，既考慮目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，具有良好的評價(jià)功能，又充分體現(xiàn)新課改的主流方向.

一、2015年高考試題特點(diǎn)分析

（一）新

1.創(chuàng)新試卷模式

由附表1可以看出，自2004年浙江省自主命題以來，今年是試卷模式變化最大的一年.相比2007～2014年，總題量減少兩題，與2005、2006年總題量相同，但格局又有變化，減少了選擇題、解答題數(shù)量，增加填空題數(shù)量、填空數(shù).伴隨題型數(shù)量的變化還有賦分調(diào)整，相比2007～2014年，選擇題分?jǐn)?shù)減少10分，減少的分?jǐn)?shù)加在填空題8分，解答題2分.

附表1：2004～2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷模式對比

2.引進(jìn)新題型

出現(xiàn)一題多空填空題，有一題兩空、一題三空兩種形式，填空題單空4分，多空6分.這是浙江自主命題以來第一次采用這種題型，在全國各省市試卷中使用這種題型的也不太多.

（注：標(biāo)注的為2015年浙江省理科試卷中的題序，下同）

1212

12

（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），則x0=_____，y0= _____，|b|=______.

簡析：一題多空的形式是在一個主題下分解出兩個（或者三個）答題點(diǎn).第9題作為填空題第一題，試題相對簡單，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量a，b，c之間的關(guān)系，焦距、漸近線等知識點(diǎn)加以考查.由于粗心、基礎(chǔ)不扎實(shí)等因素，仍然可能出現(xiàn)一些錯誤，如焦距與半焦距混淆，a，b，c的關(guān)系混亂等，一空出現(xiàn)問題不影響另一空得分，考生“學(xué)有所得，各得其分”.第10題第一問求分段函數(shù)下的函數(shù)值，第二問考查基本函數(shù)圖像、圖形變換、復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，以及基本不等式求最值等，具有一定難度，通過考生“分步得分”，體現(xiàn)考生之間的差異.第15題作為填空題的壓軸題，一題三空，試題以空間向量為背景，文字語言與符號語言結(jié)合，主要以符號語言構(gòu)筑新穎的問題情境，首先考查對單位向量、數(shù)量積、向量運(yùn)算的幾何意義等的理解，考生根據(jù)自己的理解，選擇自己的解法，當(dāng)然，閱讀理解不過關(guān)直接就被擋在門外，具有一定的選拔功能.

由于填空題與選擇題在解題要求上的差異，增加填空題數(shù)量與空數(shù)，對基礎(chǔ)知識、基本技能的準(zhǔn)確、熟練提出了更高的要求，多空題一方面增加了考查知識的廣度、深度，也有助于在降低試題難度的同時保持一定的區(qū)分度，開發(fā)、拓展了題型的功能.

3.靈活編排

相比考試說明中參考試卷的編排方式，高考試卷體現(xiàn)了高度的靈活性，不拘泥于固定形式，根據(jù)選材內(nèi)容、試題難度等特點(diǎn)擺放其位置，一題多空沒有排在一起，前面三道一題一空，最后一道一題三空；考前大家比較關(guān)注理科解答題中各知識板塊的排列次序，特別是函數(shù)與數(shù)列問題.自主命題之初（2004～2006年）壓軸題位置都是數(shù)列，在以后8年中只有2008年出現(xiàn)在這個位置，2009、2010、2012三年沒有在解答題中出現(xiàn)，其余年份出現(xiàn)在解答題第一、第二位置，給人以數(shù)列要求逐漸降低，甚至淡出的感覺，今年又卷土重來，重新占據(jù)壓軸位置.函數(shù)題則在解答題第18題，不過，分析函數(shù)試題考查內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn)，這類試題具有極大的彈性，稍加改動出現(xiàn)在壓軸題的位置也屬正常，今年的編排模式也為以后試卷編排模式留下了極大的想象空間.

4.試題出新

試題繼承浙江省一貫風(fēng)格，情景新穎，表述簡捷脫俗，理科第5、6、7、8、14、15、18、20題等都給人耳目一新的感覺.理科第6題，取材于集合的知識背景，素材直接見教材中的閱讀材料，考生看到的可以是集合基礎(chǔ)上的新定義問題，又有深厚的背景等，試題似信手拈來又內(nèi)涵豐富，規(guī)避題型套路，充滿數(shù)學(xué)味.

（二）活

1.知識綜合靈活

不斷尋求新的知識綜合方式，第14題線性規(guī)劃結(jié)合圓（面），第15題向量與立體幾何綜合，文科第7題立體幾何與平面幾何、解析幾何有機(jī)結(jié)合，考查空間想象能力、推理論證能力，理科第20題以遞推數(shù)列為背景，表面考數(shù)列，深層考函數(shù)，對思維能力的要求達(dá)到較高層次.

2.設(shè)問角度活

示例2第7題：存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

第5題：如圖1，設(shè)拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）.

圖1

簡析：第7題依托三角函數(shù)的周期性、對稱性，以及二次函數(shù)的對稱性，考查函數(shù)概念.抽象的概念考查以具體函數(shù)為依托，試題題干簡樸，惜字如金，符號表述內(nèi)涵豐富.存在：只要有就行；對任意x∈R，都有且僅有唯一的實(shí)數(shù)值與其對應(yīng)，直接判斷思考不太順暢，反向思維，考慮反例，對于同一個自變量有不同的實(shí)數(shù)值與其對應(yīng)！如取以判斷B，C錯誤；文科第8題與理科具有異曲同工之妙，深刻考查了對函數(shù)概念的理解與思維的深刻性.第5題表面是定量形式，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，實(shí)際上，從點(diǎn)A、B向y軸作垂線，記垂足分別為M、N，

故選A.問題考查的是拋物線的概念，以具體的問題為背景，考查對概念的理解與運(yùn)用.以上兩題都體現(xiàn)出：數(shù)學(xué)是玩概念的，概念是數(shù)學(xué)的根本.

3.布局謀篇活

在難度排列上既繼承傳統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)，又不斷創(chuàng)新，三個平臺共同壓軸：第一平臺選擇題的第7，8題，第二平臺填空題的第14，15題，解答題第18，19，20題各有特點(diǎn)，降低單題的絕對難度，每題都有“節(jié)點(diǎn)”，共同實(shí)現(xiàn)區(qū)分.另外，文理試卷只有三道試題相同，五道姊妹題，保持了較大的差距.一些姊妹題既同根同源又形態(tài)各異，如文科第13題與理科第15題，兩題命題思路一致，一個是平面向量基本定理，一個是空間向量基本定理，但涉及知識范圍差別大，解答能力要求懸殊.

（三）實(shí)

附表2：2015年浙江省高考數(shù)學(xué)理科考查內(nèi)容分布

平面向量156向量運(yùn)算的幾何意義64數(shù)列352015等差等比數(shù)列、前n項(xiàng)和公式；數(shù)列與不等式證明2013.3不等式144線性規(guī)劃（其他板塊中幾乎都有不等式滲透，解、證、性質(zhì)運(yùn)用、求最值等都有考查）42.8立體幾何2，8 5，51341715三視圖，體積計(jì)算；三角形翻折、二面角等；異面直線所成角；線面垂直、二面角的平面角的余弦值2919.3解析幾何55961915拋物線的概念、雙曲線性質(zhì)；橢圓與直線位置關(guān)系，三角形面積、函數(shù)最值2620 403674150100

1.全面考基礎(chǔ)，突出主干知識

根據(jù)2012年版浙江省教學(xué)指導(dǎo)意見，高考對試題考查內(nèi)容做出了相應(yīng)的調(diào)整，從附表2可以看出，理科試題覆蓋了集合與常用邏輯用語、三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何、數(shù)列等板塊的主要內(nèi)容，知識點(diǎn)分布合理，雙基仍然是考查的重要目標(biāo)，支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識，如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)等，在試卷中占較大比重.不等式內(nèi)容沒有解答題，實(shí)際上細(xì)細(xì)分析，不等式滲入到了各個板塊內(nèi)容，理科20道題中有11題與不等式相關(guān)；從附表3可以看出，文科試卷與理科試卷在試題知識點(diǎn)覆蓋、突出主干知識等方面具有類似的特點(diǎn).

附表3：2015年浙江省高考數(shù)學(xué)文科考查內(nèi)容分布

數(shù)列1061715等差、等比數(shù)列通項(xiàng)；等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和Sn與an關(guān)系，錯位相減求和2114不等式65144不等式性質(zhì)；線性規(guī)劃96立體幾何2，4 5，51815三視圖，體積計(jì)算；空間線面位置關(guān)系判斷；三棱柱的性質(zhì)、直線與平面所成的角2516.7解析幾何751541915橢圓綜合立體幾何、線面角、線線角等；橢圓離心率；直線與拋物線位置關(guān)系、三角形面積2416 403674150100

2.突出通性通法，兼顧特技

試題突出通性通法，又給不同思維層次的考生不同發(fā)揮空間，讓每個考生都能發(fā)揮自己的水平，得到不同的分?jǐn)?shù).整卷讓人感覺沉穩(wěn)又不失活力，試題不偏不怪，均可以用常規(guī)方法來解決，但是要想完整、準(zhǔn)確地解答則需要扎實(shí)的雙基和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，若要快速解答則需要數(shù)學(xué)智慧和特殊方法.

示例3第15題（見示例1）

簡析：考后都反映本題難度比較大.難在何處？首先概念理解不到位，基本定理不熟練，對向量運(yùn)算的幾何意義不理解，符號看不懂，后面便無從談起，然后是運(yùn)算技能不過關(guān)，不能設(shè)計(jì)有效的運(yùn)算途徑.實(shí)際上，由空間向量基本定理，可以更簡捷、順利地求解.設(shè)b=x0e1+y0e2+ e（3其中e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R），由b·e1=2，b·，解方程組得到x0=1，y0=2，進(jìn)而有|b|=2.以無招勝有招，強(qiáng)調(diào)基本概念、基本定理的重要作用.

示例4第18題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當(dāng)|a|≥2時，M（a，b）≥2；

（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

簡析：函數(shù)試題的位置在解答題第三題，按以前的難度情況，應(yīng)該位于中等難度.今年按常規(guī)套路還是有一定難度的.

（1）實(shí)際上，當(dāng)|a|≥2時，明顯有：M（a，b）≥|f（-1）|=|1+b-a|①，M（a，b）≥|f（1）|=|1+b+a|②，由①、②得2M（a，b）≥|1+b-a|+|1+b+a|≥|2a|≥4，即當(dāng)|a|≥2時，M（a，b）≥2.

（2）當(dāng)x∈［-1，1］時，由f（x）=x2+ax+b，ax+b=f（x）-x2，|ax+b|=|f（x）-x2|≤|f（x）|+x2≤2+1，故|ax+b|≤3恒成立，由|a+b|≤3，|-a+b|≤3，得到|a|+|b|≤3，當(dāng)a=2，b=-1時，|a|+|b|的最大值為3.

3.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法考能力重選拔

注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查是浙江試題一貫的特色，今年這方面的考查明顯進(jìn)一步加強(qiáng).如理科第5，6，7，8，9，10，13，14，15，18，19題考查數(shù)形結(jié)合思想，第3，10，14，15，16，18，19題則涉及函數(shù)與方程思想，至于轉(zhuǎn)化與化歸思想則在大多數(shù)問題中都有體現(xiàn)，根據(jù)近幾年浙江省高考命題情況，分類討論思想一般在解答題的最后一題出現(xiàn)，考查的頻數(shù)也不高，今年位置提前，在第6，7，8，18，20題等問題中都有體現(xiàn)，特別是第18題中深度考查.第8，13，17題突出考查空間想象能力，第19題考查運(yùn)算與推理論證能力，特別是運(yùn)算能力，第20題重點(diǎn)考查推理能力，通過新定義試題、新情境試題既考查考生的基礎(chǔ)，同時檢測考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.

二、幾點(diǎn)商榷

1.閱讀理解類試題的合適題量

抽象是數(shù)學(xué)的特色，符號化是其重要體現(xiàn)，符號語言、圖形語言及文字語言之間的轉(zhuǎn)譯與理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是考生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)，適當(dāng)數(shù)量的閱讀理解類問題是必須的，但是，今年的試卷中第3，4，6，7，14，15，18，20題的“數(shù)學(xué)味”十足，是近幾年中符號化比較突出的一年，由于考生在理解上會花費(fèi)比較多精力，試卷難度也就自然提升；

2.關(guān)于知識點(diǎn)重點(diǎn)考查、重復(fù)考查與知識點(diǎn)考查的缺位

2012年版教學(xué)指導(dǎo)意見中必修部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容減少，重點(diǎn)知識的重點(diǎn)考查勢在必行，但是重點(diǎn)考查與重復(fù)考查還是要注意區(qū)分.理科試卷中涉及不等式的問題有第1，3，4，6，8，14，15，18，19，20題等，有十道之多，涉及最值、范圍的試題有第6，10，14，15，18，19，15題，大有不等式一統(tǒng)天下之勢；第11題、第16題都在考查二倍角公式，理科試卷第8題、第17題都考查了二面角；與之相對的，比如文科試卷中雙曲線僅僅作為第7題一個無用的選擇支，其他試題則再無涉及.

3.關(guān)于方法考查

理科第14題、第18題都可以利用絕對值不等式的相關(guān)知識解決，而且充分顯示了其優(yōu)越性；理科第20題，利用數(shù)學(xué)歸納法基本上是按部就班的操作.對以上試題，參加過競賽、補(bǔ)充過相應(yīng)方法的考生可以輕松應(yīng)對，對一般考生則會無比煩瑣；第20題，從靈活運(yùn)用知識方法、考查思維能力、推理能力等方面分析是一道優(yōu)秀的試題，如果以“機(jī)械操作”替代深層次的思維的方法可以解決問題，是不是考查目標(biāo)的旁落？

另外，第17題立體幾何試題中點(diǎn)的標(biāo)注，“A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn)”，中點(diǎn)沒有字母標(biāo)注，D標(biāo)注在上底面A1B1C1中，下底面ABC中的中點(diǎn)字母考生要自己標(biāo)出，結(jié)果肯定是很混亂.首先，不標(biāo)出中點(diǎn)能達(dá)到什么考查目的？再者，在課本中或者類似的情形下，同一個底面上的字母形式盡量一致.雖有點(diǎn)吹毛求疵，但是作為國家級大考還是要盡量規(guī)范.

三、啟示與思考

面對高考試題，考生、老師往往會有頓悟的感覺.“三年白學(xué)了??！”考完數(shù)學(xué)很多考生很無奈、悲涼、無助！面對考生的“三年白學(xué)”，教師做何感想呢？

“三年白學(xué)了！！”到底什么意思？學(xué)的都沒有考到？考的都沒有學(xué)到，沒有學(xué)會？

話肯定夸張了！以理科為例，拿掉第7，8，14，15，18，20題，發(fā)現(xiàn)三年也沒有白學(xué)，基礎(chǔ)知識、基本技能還是占較大比例.高考畢竟是選拔性考試，期望人人歡喜是不現(xiàn)實(shí)的！

能做的就是努力能達(dá)到自己的最高境界，突破自己的瓶頸，拿到自己的高分.

學(xué)生沒有學(xué)的過程是癥結(jié)之一.急行軍的速度，新授課課本也是一帶而過，課堂PPT打出試題，教師自己讀題，然后開始講解，放電影一樣給出答案，諸如此類，人灌或者電灌，趕進(jìn)度的結(jié)果就是都學(xué)過還不懂，做過還不對；數(shù)學(xué)也是語言學(xué)科，要遵循語言學(xué)科的教學(xué)特點(diǎn)，有閱讀、有模仿，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，給學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會，讓考生會學(xué)習(xí)，在考場上能表現(xiàn)出學(xué)習(xí)能力.

根基不牢是普遍現(xiàn)象.像理科的第7題、第15題本來是最基本的概念與定理的運(yùn)用，考生卻如墜云里霧里，如拳頭打在棉花上有勁使不出.要在雙基上舍得下功夫，對概念、定理有感知、抽象、概括的過程體驗(yàn)，在解題過程中考慮概念的運(yùn)用方式、角度等，積累具體運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn).

解題教學(xué)模式亟待改進(jìn).解題教學(xué)幾乎是目前講臺上唯一的課型，數(shù)學(xué)教解題一點(diǎn)不為過，關(guān)鍵是方法.對題型、套結(jié)論，堆積如山的練習(xí)，沒有理解、分析的過程的解題教學(xué)可以對付平時的模擬測試，難以適應(yīng)選拔性考試的要求.教師多下水，多研究，學(xué)生才可能減負(fù)增效，把握合適練習(xí)量，過猶不及.教師有才，讓學(xué)生沾點(diǎn)靈氣，教師無才，讓學(xué)生學(xué)會自己思考，讓學(xué)生自己動手動腦都是必須的，學(xué)生還是要靠自己！A