☉安徽省合肥第八中學(xué) 孫勇軍☉安徽省合肥市教研室 許曉天

注重基礎(chǔ)創(chuàng)新達到平穩(wěn)過渡
——2015年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷評析

☉安徽省合肥第八中學(xué) 孫勇軍☉安徽省合肥市教研室 許曉天

安徽省數(shù)學(xué)高考自主命題始于2006年，時至2015年已經(jīng)走過了十年的歷程.今年的安徽省數(shù)學(xué)高考試題是安徽省自主命題的收關(guān)之作，明年將使用全國課標(biāo)卷.仔細研讀試題，頗感命題專家的意圖與苦心，降低難度，凸顯“過渡”.

一、總體分析

1.考點常規(guī)——題型與分值穩(wěn)定今年的安徽高考數(shù)學(xué)試卷與往年的安徽高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)和分值相同：單項選擇題10道，填空題5道，每題5分，共75分；解答題6道，共75分.數(shù)學(xué)試題考查的內(nèi)容常規(guī)，重點內(nèi)容?？疾淮?以下是今年高考數(shù)學(xué)試卷知識點分布及分值分布統(tǒng)計表.

2015年安徽高考數(shù)學(xué)試卷知識點分布及分值分布統(tǒng)計表

2.難度降低——平穩(wěn)與過渡凸顯

今年的理科數(shù)學(xué)試題難度明顯降低，首先，前8個選擇題均是較基礎(chǔ)的題目，不需要太多的計算便可作答.降低選擇題難度后使考生心理放松，能充分發(fā)揮其水平.其次，填空題的難度也有所降低，第16題往往是安徽省命題者“匠心獨運”的問題，是具有較高選拔性的問題之一，但今年試題的難度有較大的降低.最后，6個解答題由淺入深，由易到難，幾乎每題都易于入手，避免了過去特難的題目（如2010年理科21題，2013年理科21題，2014年理科21題，得分率極低，無法反映考生的真實水平，失去選拔功能）.

數(shù)學(xué)試題難度的降低，有利于減輕中學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).克服了過去高考數(shù)學(xué)成績分布長期集中于低分段的狀況，提高了數(shù)學(xué)學(xué)科在高考評價中的地位.更重要的是，全國課標(biāo)卷的相對難度往往是低于以往安徽省自主命題難度的，今年的試題為明年教師的高考復(fù)習(xí)教學(xué)提供了難度上的參考，為平穩(wěn)銜接到明年的新課標(biāo)卷的高考，做了有益的鋪墊.

3.考查知識——基礎(chǔ)與重點并重

文、理科試題對知識的考查，都特別注重考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，但并不刻意追求知識的覆蓋面，著重考查了支撐學(xué)科知識體系的主干知識，以重點知識為主線組織全卷的內(nèi)容.如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，文、理科分別占33分和21分，三角函數(shù)、解三角形等每年都作為重點考查內(nèi)容.理科前8道選擇題都是考查基本概念和公式的題型，都可以在課本習(xí)題中尋找到其“母題”或其“影子題”.

4.文、理試卷——差距進一步縮小

以往安徽省高考文理科數(shù)學(xué)試題差異較大，去年文理科試卷內(nèi)容重疊的考題有8道，其中3道完全相同的試題，5道部分一致的姊妹題.

今年文、理科數(shù)學(xué)試卷15個選擇題、填空題中，相同的有6個，共30分；6個解答題中有一道解析幾何題基本相同，全卷文、理科相同試題的分值為46分.可見差距進一步縮小.

要引起我們注意的是，今年文科第16題三角函數(shù)題難度比理科第16題解三角形要難一點，所以今年安徽省文科平均分與理科平均分的差距也進一步加大.這也許是命題專家從更長遠的文理合卷的角度思考的結(jié)果.從文、理科相同試題得分情況看，今年文科考生數(shù)學(xué)水平較理科考生差異較大，如：基本相同的解析幾何題，理科平均4.8分，文科僅為2.99分.這一現(xiàn)象應(yīng)該引起中學(xué)數(shù)學(xué)教育，特別是今后安徽省數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的注意.

二、具體特色

1.題型常規(guī)方法多

如今年的立體幾何題，結(jié)論是證明線線平行與求二面角的余弦值.載體是正方體截去一個角得到的多面體.題型常規(guī)，情景熟悉.本題對空間想象能力的考查與計算緊密結(jié)合，而且有多種途徑可以解決問題，給考生以發(fā)揮的空間.

第19題（本小題滿分13分）如圖1所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點，過A1，D，E的平面交CD1于點F.

圖1

（Ⅰ）證明：EF∥B1C；

（Ⅱ）求二面角E-A1D-B1的余弦值.

方法1：（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1=AB=DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1C∥A1D.又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C?面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1=EF，所以EF∥B1C.

（Ⅱ）因為四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD.

圖2

而E為B1D1的中點，所以E點的坐標(biāo)為（0.5，0.5，1）.

設(shè)面A1DE的法向量n1=（r1，s1，t1），而該平面上向量得r1，s1，t1應(yīng)滿足的方程一組解，所以可取n1=（-1，1，1）.

設(shè)面A1B1CD的法向量n2=（r2，s2，t2），而該平面上向量由此同理可得n2=（0，1，1）.

所以結(jié)合圖形知，二面角E-A1D-B1的余弦值為

方法2：（Ⅰ）在平面B1A1D1內(nèi)作連接C1D1，C1C，C1F，C1E，如圖3所示，所以四邊形A1B1C1D1為平行四邊形，從而

又因為四邊形AA1B1B，ABCD均為正方形，所以于是，故四邊形CDD1C1為平行四邊形.

在平行四邊形A1B1C1D1中，E為B1D1的中點，所以A1，E，C1三點共線，從而面A1ED與面A1C1D為同一平面.故F為CD1與C1D的交點，即F為CD1的中點.所以EF∥B1C.

（Ⅱ）連接C1B，交B1C為M點，取A1D中點N，連接C1N，MN，如圖4.

因為CC1∥DD1∥AA1，而AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD=A，所以AA1⊥面ABCD，從而CC1⊥面ABCD.

所以ABCD-A1B1C1D1為正方體，因而C1M⊥B1C.

又A1B1⊥面B1C1CB，所以C1M⊥A1B1.又A1B1∩B1C= B1，所以C1M⊥面A1B1CD，從而C1M⊥A1D.

在三角形A1C1D中，A1C1=C1D，N為A1D的中點，從而C1N⊥A1D.

因為A1B1⊥面A1D1DA，從而A1B1⊥A1D，而MN∥A1B1，所以MN⊥A1D，從而∠C1NM為二面角E-A1D-B1的平面角.

設(shè)正方體的邊長為1，在Rt△C1MN中，MN=1，C1M=

圖3

圖4

所以二面角E-A1D-B1的余弦值

圖5

又平面A1ED∩CD1=F，F(xiàn)∈CD1，所以M點與F點重合，即EF∥B1C.

（Ⅱ）連接AD1，交A1D于點Q，連接B1Q，取B1Q中點P，連接EP，如圖6.

過點P作PO∥A1B1交A1Q于點O，連接EO.

因為AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1=A，所以AB⊥面ADD1A1.從而AB⊥D1Q，A1B1⊥D1Q.

又因為D1Q⊥A1D，D1Q⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1，所以D1Q⊥面A1B1CD.

又因為EP是△B1QD1的中位線，所以EP∥D1Q，所以EP⊥面A1B1CD.

又因為A1B1⊥A1D，所以PO⊥A1D，所以∠EOP為二面角E-A1D-B的平面角.

圖6

方法4：（Ⅰ）因為四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD.

圖7

由已知可得A1（0，0，1），B1（1，0，1），D（0，1，0），CD1的中點，所以EF∥B1C.

2.注重銜接有新意

今年高考數(shù)學(xué)試卷中的數(shù)列問題，曾經(jīng)多次在高考或模考中出現(xiàn)過.如2009年山東理科20題考查的數(shù)列題：

等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖像上.

（Ⅰ）求r的值.

（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N*）.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）證法一：數(shù)學(xué)歸納法.

證法二：常規(guī)放縮法.

證法三：直接放縮，構(gòu)造輔助對偶式.

而2015年安徽理科18題數(shù)列題注重了與上述類似考題的銜接，又推陳出新.

第18題設(shè)n∈N*，xn是曲線y=x2n+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）求數(shù)列｛xn｝的通項公式；

當(dāng)然也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.

再如文科第21題，一道常規(guī)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題，注重了試題與課本的銜接.

第21題（本小題滿分13分）

仔細分析后發(fā)現(xiàn)此題在課本上都有原型.課本在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中有這樣的例題：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.

（1）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最??？

3.少算多想考思路

在以往的考試中，圓錐曲線方面題目的計算煩瑣復(fù)雜，技巧性很強，對學(xué)生計算能力和細心程度都有較高要求.而今年的試題中圓錐曲線的題目不論小題還是解答題運算量都比較小，這有利于考生有一個良好的心態(tài)去解決后面的解答題，并充分發(fā)揮自己的真實水平.今年的考題更注重考查數(shù)學(xué)思維方法，選擇題與填空題都不需要過多的復(fù)雜計算就可得出結(jié)論，而是重在思路的選取上.如文理20題：

第20題（本小題滿分13分）

（Ⅰ）求E的離心率e.

（Ⅱ）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，-b），點N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為求E的方程（理）.

（Ⅱ）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，-b），點N為線段AC的中點，求證：MN⊥AB（文）.

方法2：設(shè)點M的坐標(biāo)為（xM，yM），由題知xM＞0，yM＞0，由點M在線段AB上，題設(shè)條件知，直線OM的斜率

4.能力要求更重要

今年理科函數(shù)大題，以學(xué)生熟悉的二次函數(shù)為載體，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值.由于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，特別是最值平時訓(xùn)練少，甚至沒有做過，因而得分率底.比如理科第21題，全省30萬左右考生，5萬2千左右考生得零分，難度系數(shù)0.18.所以加強學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，提升學(xué)生的能力是當(dāng)務(wù)之急.

第21題（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+b.由此可知，z=b-滿足條件D≤1的最大值為1.

方法2：D≤1即為|a|+ |b|≤1（或|a+b|≤1且|b-a|≤以看做b是a的二次函數(shù)，其圖像向上平移時，z增大，最后離開區(qū)域|a|+|b|≤1接觸的點為a=0，b=1.

圖8

從函數(shù)小題來看，如理科的第15題，文科的第10題，兩個函數(shù)看似都是我們較熟悉的函數(shù)，當(dāng)然如果不仔細分析兩函數(shù)圖像的對稱性，很難解對這道題.文科的14題也是如此，研究函數(shù)圖像交點個數(shù)的題型在平時練習(xí)中是常見的，但要想做對也不是很容易.

總之，安徽省今年的考題，注重了基礎(chǔ)、銜接和創(chuàng)新，以期與明年安徽省開始執(zhí)行的新課標(biāo)數(shù)學(xué)卷有一個平穩(wěn)的過渡，值得大家研究和思考.A