☉江蘇省常熟中學(xué) 曹正清

把握命題特色合理優(yōu)化解題
——一道導(dǎo)數(shù)高考模擬題亮點(diǎn)賞析

☉江蘇省常熟中學(xué) 曹正清

眾所周知，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容在全國(guó)各省市高考命題中均以把關(guān)題甚至是壓軸題形式出現(xiàn).函數(shù)的應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)已由解決問(wèn)題的輔助工具上升為解決問(wèn)題必不可少的工具，特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值、零點(diǎn)，以及曲線的切線問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)的作用更是功不可沒(méi).

下面以一道導(dǎo)數(shù)高考模擬題為例，就問(wèn)題的解答談幾點(diǎn)意見(jiàn)和建議，供大家參考.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；

在高考試題中導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查常以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合為主線，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和處理問(wèn)題的能力，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)立足于數(shù)學(xué)知識(shí)、能力的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生的綜合能力，導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制與實(shí)施，目的就是全面考查考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和能力的提升.

一、落實(shí)基礎(chǔ)，突出能力

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，解題中要注意對(duì)函數(shù)定義域的優(yōu)先考慮，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，要做充分性判斷，即極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào).當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

f（x）0，e （）f′（x）-f（x）↘3 3（）∞3 2 e 2e2，+ 0 +↗

評(píng)注：此類問(wèn)題的另一命題視角是給出單調(diào)性判斷參數(shù)的取值范圍，即函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)恒大于等于0，或小于等于0，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題求解.

變式1：（2015年北京海淀二模）已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（x+1）3ex+1，那么函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）.

A.5B.4C.3D.2

解析：當(dāng)x≤0時(shí)，f′（x）=3（x+1）2ex+1+（x+1）3ex+1=（x+ 1）2ex+1（x+4），令f′（x）=0，得x=-4，所以當(dāng)x∈（-∞，-4）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以x=-4為極值點(diǎn).

函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，x=4為極值點(diǎn).

又因?yàn)樵趚=0時(shí)，左右兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性相異，故x=0為極值點(diǎn).答案C.

評(píng)注：本題部分考生錯(cuò)選答案D，漏掉x=0為極值點(diǎn)的情況，即忽視函數(shù)極值點(diǎn)存在的充分條件，不可導(dǎo)點(diǎn)仍然可能為極值點(diǎn).

二、把握知識(shí)關(guān)聯(lián)

細(xì)心的考生已經(jīng)注意到了，此時(shí)的g′（x）恰好是第一問(wèn)的f（x），這也是本題亮點(diǎn)之一，能有效考查考生對(duì)知識(shí)關(guān)聯(lián)的掌握及靈活應(yīng)用的程度，進(jìn)而使后續(xù)問(wèn)題的求解順理成章.

三、最基本的方法解決復(fù)雜的題目

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為在該點(diǎn)切線的斜率，曲線y=存在斜率為6的切線，即導(dǎo)函數(shù)的值域包含6.

因?yàn)閤0＞，所以＜2，-6x0＜-3.所以y0=g（x0）＜-1.

四、逆向探究，執(zhí)果索因

變式3：（2015年全國(guó)新課標(biāo)I）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）.

解析：設(shè)g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方.

如圖1，當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，g（1）=3e＞0，直線y=ax-a恒過(guò)點(diǎn)（1，0）且斜率為a，故-a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a＜1，答案為D.

圖1

本題乍一看是一個(gè)導(dǎo)數(shù)求最值的題目，但是因?yàn)轭}目中限定了“存在唯一的整數(shù)x0”這個(gè)條件，讓很多同學(xué)感覺(jué)陌生和無(wú)從下手.這是默記解題套路給學(xué)生帶來(lái)的思維局限.面對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)只是手段而不是目的，求導(dǎo)是幫助我們認(rèn)知一個(gè)函數(shù)的過(guò)程.題目中出現(xiàn)“整數(shù)”這個(gè)條件是在幫助我們簡(jiǎn)化題目，讓我們只需要關(guān)注函數(shù)圖像上的一些“散點(diǎn)”即可，但是因?yàn)楦咧须A段數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于離散問(wèn)題研究的較少，讓很多同學(xué)不適應(yīng)，而忽略了問(wèn)題的本質(zhì).F