潘倩

【摘 要】 高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”的基本理念，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，在新課程理念下，了解概念的體系、優(yōu)化概念教學(xué)的設(shè)計(jì)、剖析概念的本質(zhì)、掌握概念的符號(hào)、重視概念的鞏固，真正達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的目的。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)

恩格斯說：“在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系?！睌?shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，是學(xué)生思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題?？梢哉f掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也相應(yīng)稱為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中既不易教也不易學(xué)的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要自始至終抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)系，就要了解概念的體系，關(guān)注概念的引入，剖析概念的本質(zhì)，掌握概念的符號(hào)，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念是相互聯(lián)系、由簡(jiǎn)到繁而形成的學(xué)科體系。人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)特征通常不可能一次性孤立完成。事實(shí)上，學(xué)生“獲得的知識(shí)，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把他聯(lián)系在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要弄清楚學(xué)習(xí)這個(gè)概念需要怎樣的基礎(chǔ)，分析這個(gè)概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時(shí)就能主次分明，輕重得當(dāng)，既復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)過的概念，又為后繼概念作恰當(dāng)?shù)脑蟹?。例如，“絕對(duì)值”是貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，先是在有理數(shù)中引入;接著在算術(shù)根中出現(xiàn)了=|a|，把絕對(duì)值得概念拓展到實(shí)數(shù)范圍;最后在復(fù)數(shù)中，絕對(duì)值的概念擴(kuò)展成了復(fù)數(shù)的模|a+bi|=（a，b∈R）。

二、關(guān)注概念的引入

傳統(tǒng)的概念教學(xué)將獲得知識(shí)結(jié)論作為主要目標(biāo)，忽視了學(xué)生在知識(shí)形成過程中的重要作用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)行為更多的表現(xiàn)為機(jī)械記憶，而不是理性分析。根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論學(xué)習(xí)應(yīng)是認(rèn)知主體的內(nèi)部心理過程，學(xué)生是信息加工的主體。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中提出了“過程與方法”這一教學(xué)目標(biāo)維度，在這一維度下，新課程對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求從原來的“知識(shí)性”向“過程性”轉(zhuǎn)變。概念的引入是進(jìn)行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，對(duì)學(xué)好概念有重要的作用。

1.提供現(xiàn)實(shí)原型。著名教育家杜威曾說：“教學(xué)絕對(duì)不僅僅是簡(jiǎn)單地告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗(yàn)，一種感悟?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)立足教材，著眼學(xué)生的發(fā)展，把握核心知識(shí)內(nèi)容，有效開展自主探究活動(dòng)，向?qū)W生展示本質(zhì)，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程。形成準(zhǔn)確概念的首要條件，是使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料。因此，在教學(xué)中要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見的事例，觀察有關(guān)的實(shí)物、圖示、模型，在具有充分的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學(xué)中，教師應(yīng)先展示概念產(chǎn)生的背景，如在粉筆盒這樣一個(gè)長(zhǎng)方體模型中，當(dāng)學(xué)生找出兩條既不平行又不相交的直線時(shí)，教師告訴學(xué)生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學(xué)生進(jìn)行討論，嘗試敘述，再進(jìn)行反復(fù)修改可得出異面直線的簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x“我們把不在任何一個(gè)平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學(xué)生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學(xué)生對(duì)異面直線的概念就有了一個(gè)較為明確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也讓學(xué)生經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗(yàn)。

2.從數(shù)學(xué)內(nèi)在需要引入概念。例如，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個(gè)新數(shù)i，i滿足i2=-1，它和實(shí)數(shù)一起可以按照通常的四則運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算。由此再引入復(fù)數(shù)的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的最近概念，因此教學(xué)中要以學(xué)生已掌握了的知識(shí)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過類比教學(xué)引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關(guān)系可類比平面上直線與直線的位置關(guān)系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學(xué)科中的位移的合成、力的合成進(jìn)行類比引入等。

三、剖析概念的本質(zhì)

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對(duì)概念認(rèn)識(shí)的開始，對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化必須從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析。概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的對(duì)象的本質(zhì)特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象。內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實(shí)物。以三角函數(shù)的概念為例，對(duì)六個(gè)基本三角函數(shù)的定義，應(yīng)抓住其中一個(gè)，如正弦函數(shù)sinα=y，可這樣進(jìn)行分析：正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個(gè)“比值”，它是角α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值，因此它是一個(gè)數(shù)值;指出由于|y|≤r，所以這個(gè)比值不超過1，這個(gè)比值與點(diǎn)在角的終邊上的位置無關(guān)，這可用相似三角形的原理來說明;這個(gè)比值的大小，隨著α的變化而變化，當(dāng)α取某個(gè)確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)。如此，以函數(shù)概念為基本線索，從中找出了自變量、函數(shù)以及對(duì)應(yīng)法則，從而對(duì)正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經(jīng)過對(duì)正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點(diǎn)P（x，y）一經(jīng)確定，就涉及x，y，r這三個(gè)量，任取其中兩個(gè)量組成比值，有且僅有六個(gè)。因此，基本三角函數(shù)就有六個(gè)，從而對(duì)三角函數(shù)的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號(hào)

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身就十分抽象，加上用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，就更加抽象了，因而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中使學(xué)生真正掌握概念符號(hào)的意義是十分重要的。例如，學(xué)生往往將正弦函數(shù)的符號(hào)“sin”看成一個(gè)數(shù)，從而得出如下的錯(cuò)誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學(xué)中，要始終給形式符號(hào)以具體的內(nèi)容，時(shí)刻提醒學(xué)生注意符號(hào)的意義及使用符號(hào)的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時(shí)利用變式訓(xùn)練有助于糾正學(xué)生的思維偏差。概念鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時(shí)鞏固，就會(huì)被遺忘。鞏固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念后，及時(shí)進(jìn)行復(fù)述，以加深對(duì)概念的印象。其次應(yīng)重視在發(fā)展中鞏固。第三是通過概念的應(yīng)用來鞏固。概念的應(yīng)用要注意遞進(jìn)的過程，即由初步的，簡(jiǎn)單的應(yīng)用，逐步發(fā)展到較復(fù)雜的應(yīng)用。要引導(dǎo)學(xué)生在判斷、推理、證明中運(yùn)用概念，在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中運(yùn)用概念，以加深對(duì)概念的理解，達(dá)到鞏固概念的目的。例如，教學(xué)對(duì)數(shù)的概念后，可以通過以下四類練習(xí)題予以鞏固：

第一類，使學(xué)生習(xí)慣于對(duì)數(shù)符號(hào)logaN=b的運(yùn)用，把“對(duì)數(shù)”與“對(duì)應(yīng)的指數(shù)”聯(lián)系起來，如把23=8，3-2=，5x=625等改寫成對(duì)數(shù)式;把log432=，log3=x，log7N=2等改寫成指數(shù)式。

第二類，使學(xué)生了解對(duì)數(shù)、真數(shù)、底數(shù)三者之間的關(guān)系，如求對(duì)數(shù)：log525，log4，log9;求真數(shù)：log27x=，logx=4，logax=5（a>0，a≠1）;求底數(shù)：logx8=3，logx9=，logx5=-2。

第三類，使學(xué)生對(duì)底數(shù)a和真數(shù)N的取值有清晰的認(rèn)識(shí)，如判斷下列各式是否成立：

1.log12=a，log（-2）16=4，log4（-20）=b;

2.求x：logx9=2，log（x+2）（x2-2x-2）=0。

第四類，通過對(duì)數(shù)恒等式a=N（a>0，a≠1）的證明，可以使學(xué)生深刻地理解對(duì)數(shù)的定義。

通過這些練習(xí)，可以使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用對(duì)數(shù)概念進(jìn)行判斷、推理和證明。在運(yùn)用的過程中，加深對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解。

人類的認(rèn)識(shí)過程是一個(gè)特殊的心理過程，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，智力不同的學(xué)生完成這個(gè)過程往往有明顯的差異。在教學(xué)中要面向全體學(xué)生出發(fā)，從不同的角度，設(shè)計(jì)不同的方法，使學(xué)生對(duì)概念作辯證的分析，進(jìn)而認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性。例如選擇一些簡(jiǎn)單的鞏固練習(xí)來辨認(rèn)、識(shí)別，幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵與外延;通過變式或變式圖形，深化對(duì)概念的理解;通過新舊概念的對(duì)比，分析概念的矛盾運(yùn)動(dòng)，抓住概念之間的區(qū)別與聯(lián)系來形成正確的概念。只有讓學(xué)生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的理解能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]布魯納.《教育過程》.文化教育出版社.第48頁(yè)

[2]朱秀紅.《高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的分析與思考》.《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》.（教師版）.2011.3.第13頁(yè)

（作者單位：江蘇省外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）