龔 燈，韓 剛，江本赤

(安徽國防科技職業(yè)學院 機械工程系，安徽 六安 237011)

漸開線齒形包絡(luò)線的繪制方法

龔 燈，韓 剛，江本赤

(安徽國防科技職業(yè)學院 機械工程系，安徽 六安 237011)

分析了范成法加工橢圓齒輪時刀具和毛坯間的位置關(guān)系和嚙合特性，對范成過程進行了動態(tài)仿真，給出了MATLAB程序M文件，利用刀具的周期性大幅精簡了程序。通過動態(tài)范成模擬圖分析了齒廓曲線的組成，并提出了一種包絡(luò)線的繪制方法。

漸開線；范成法；MATLAB；包絡(luò)線

范成法加工齒輪相當于用一對輪齒相互嚙合切削，其包絡(luò)線就是漸開線。范成法加工齒輪的方法效率比較高，在工業(yè)中應(yīng)用非常廣泛。齒輪的嚙合過程可以通過齒輪范成實驗來演示，但是由于原理限制，不能直接繪制出漸開線齒形。本文通過計算機仿真模擬齒形范成過程，并提出了一種簡易算法提取齒形曲線。

1 齒輪嚙合的位置關(guān)系

齒輪范成法是指一對齒輪作無側(cè)隙嚙合傳動時，兩輪的輪廓線互為包絡(luò)線的原理來加工齒輪[1]。為簡化計算，可以選用標準齒條進行范成仿真，齒條刀具的齒形為直線，相當于基圓直徑無窮大的漸開線[2]。

漸開線齒形的生成過程如圖1所示。

圖1 齒輪齒條嚙合示意圖

齒坯節(jié)圓與齒條中線相切，齒條沿著齒坯節(jié)圓純滾動，假設(shè)齒坯不動，相當于齒條順時針旋轉(zhuǎn)θ角度，同時齒條平移距離為節(jié)曲線上對應(yīng)角度θ的弧長S=rφ[3-7]。

2 范成過程的仿真實現(xiàn)

仿真使用MATLAB軟件進行，程序主要包括：(1)繪制基圓、齒頂圓、齒根圓和節(jié)圓部分；(2)繪制滾齒刀具部分；(3)對滾齒刀具進行位置變換暨動態(tài)范成過程。其中第3部分是程序的關(guān)鍵部分，簡單解釋如下：

theta=0:1:360; %以下程序為齒形范成過程仿真(%后表示注釋)

fori=2:360

s(i)=r*theta(i)*pi/180;%對于任意點，轉(zhuǎn)過的弧長為s

c1=cosd(-theta(i));%刀具旋轉(zhuǎn)方程參數(shù);刀具旋轉(zhuǎn)角度為齒坯轉(zhuǎn)角

s1=sind(-theta(i));%

form=1:GN

cx1(m,i)=cx(m,1)-r;%刀具移動移動距離為齒坯轉(zhuǎn)過的弧長

cy1(m,i)=cy(m,1)+s(i)-fix(s(i)/(2*p))*2*p;

cx2(m,i)=cx1(m,i)*c1-cy1(m,i)*s1; %刀具旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為theta

cy2(m,i)=cx1(m,i)*s1+cy1(m,i)*c1;

cx2(m,i)=cx2(m,i)+r*cosd(theta(i)); %刀具中心移動到齒坯上

cy2(m,i)=cy2(m,i)+r*sind(-theta(i));

end;%內(nèi)循環(huán)終止

plot(cx2(:,i),cy2(:,i));holdon;%繪制旋轉(zhuǎn)移動后的刀具

end；%外循環(huán)終止

在程序中，使用了雙重循環(huán)，其中外循環(huán)是對應(yīng)齒坯每轉(zhuǎn)過1°刀具的位置，而內(nèi)循環(huán)則是計算刀具在當前極角下，齒形控制點的位置。

為完成整個嚙合過程，需要齒條刀具的齒數(shù)至少等同于齒輪齒數(shù)，這樣繪制的齒條比較長[8]，但因為齒條刀具的齒形具有重復性，可以利用取模指令“fix(s(i)/(2*p))*2*p”將齒條長度縮短，不參與范成過程的齒條就可以不用繪制，簡化了繪圖過程，齒輪的范成法仿真如圖2所示。

圖2 齒輪的范成法仿真

3 齒形包絡(luò)線的繪制方法

圖3是齒形動態(tài)仿真的放大圖，從圖中可以看出，齒形曲線可以分為四個部分：I段為齒根圓部分，II段為齒條刀具頂點形成的過渡曲線，III段為齒條刀具范成形成的曲線，也就是理論上為漸開線的部分，IV段為齒頂圓部分。

根據(jù)嚙合原理，圖3中III段的包絡(luò)線就是齒坯的齒形，但是求解曲線族的理論包絡(luò)線非常復雜，本文提出一種簡易方法，即用相鄰齒條的交點連接而成的直線段近似代替包絡(luò)線，如圖4所示。只要齒廓特征點增多，繪制精度就越高。因此可以通過不斷增加特征點的方法來逐漸逼近齒廓的理論值，直至達到所需的精度，圖5為繪制的漸開線齒形。

圖3 漸開線齒形的放大圖

圖4 理論漸開線與齒條刀具的交點

圖5 漸開線齒形的放大圖

4 結(jié)語

利用MATLAB軟件可以仿真模擬齒輪的漸開線齒形，齒廓包絡(luò)線可以采用齒廓特征點組成的線段近似表達，通過減小計算步長可以滿足精度要求。

該方法還可以用于非圓齒輪設(shè)計與加工，可以動態(tài)地展現(xiàn)不同位置齒形的區(qū)別。對于研究非圓齒輪范成原理、滾齒加工以及非圓齒輪的加工都具有重要的意義。

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[責任編輯、校對：東 艷]

Drawing Method of the Envelope of Involute Profile

GONGDeng,HANGang,JIANGBen-chi

(Department of Mechanical Engineering, Anhui Vocational College of Defense Technology, Lu'an 237011, China)

The positional relationship and cutting mechanism between the cutter and blank are analyzed in the generation method of elliptical gears.Dynamic simulation is carried out on the process of generation.M file is presented.The program is greatly simplified through tool periodicity.The composition of the tooth profile curve is analyzed through dynamic simulation diagram of generation, and a drawing method of envelope is proposed.

involute; generation method; MATLAB; envelope curve

2015-03-06

安徽省職成教學會2014年度教育科研規(guī)劃課題(BCB14041)

龔燈(1985-)，女，陜西旬陽人，助教，從事加工過程仿真研究。

TH132.413

A

1008-9233(2015)03-0055-03