☉江蘇省姜堰中學(xué) 李彥

由兩道高考數(shù)學(xué)真題解析引發(fā)的啟示與思考

☉江蘇省姜堰中學(xué) 李彥

高考是無形的指揮棒，牽動著千千萬萬個家長、教師、學(xué)生的心，高考試題的示范性與導(dǎo)向性影響著高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的發(fā)展方向和深度控制，處于一線的高三數(shù)學(xué)教師與學(xué)生一直加強(qiáng)對高考數(shù)學(xué)真題的分析與思考，筆者在探析各地高考數(shù)學(xué)試題的過程中，偶然發(fā)現(xiàn)兩道試題中部分問題的構(gòu)思、情境創(chuàng)設(shè)、具體解析十分相似，由此也引發(fā)了不少啟發(fā)與思考，現(xiàn)呈現(xiàn)給大家共享，旨在拋磚引玉，希望能夠引起同仁們的進(jìn)一步關(guān)注與思考，不當(dāng)之處敬請批評指正.

一、基于兩道高真題的回顧與探析

例1（2013年陜西理科卷21題第2問）已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R，設(shè)x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)的個數(shù).

解析：根據(jù)題意令ex=mx2，即，則曲線y=ex與y= mx2的公共點(diǎn)的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線y=m 的交點(diǎn)個數(shù)問題；令，則存在u′（2）=0.當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，u′（x）＜0，則u（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，u′（x）＞0，則u（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增.可見，u（x）在（0，+∞）上的最小值為u（2）時(shí)，直線y=m與曲線（x＞0）無交點(diǎn)，即曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線y=m與曲線存在一個交點(diǎn)，即曲線y= f（x）與曲線y=mx2（m＞0）有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0，2）內(nèi)存在m（ex＞1）；在（2，+∞）內(nèi)存在x2=me2使得，由于em＞m，則u（me2）＞m，根據(jù)u（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性可得：直線y=m與曲線y=存在兩個交點(diǎn)，即曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞ 0）有兩個公共點(diǎn).

本題采用參變分離的思想，通過變形等價(jià)轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點(diǎn)問題，上述解析中運(yùn)用了零點(diǎn)存在定理的思想進(jìn)行解決，在特殊點(diǎn)的選取上可謂是精妙，但對于大部分學(xué)生而言，難以找準(zhǔn)這些特殊值，在不等式的證明上，不僅要會運(yùn)用放縮法，而且還要靈活運(yùn)用ex＞x這一不等關(guān)系結(jié)論，能夠完整地實(shí)現(xiàn)這一詳細(xì)解析過程的學(xué)生少之甚少；在實(shí)踐中，多數(shù)學(xué)生都是直接給出m＞時(shí)存在兩個交點(diǎn)的結(jié)論，主要是這些學(xué)生忽視了判斷x→0+、x→+∞時(shí)u（x）的極值，由于目前高考對于極限部分沒有規(guī)定要求，學(xué)生對這方面的知識比較缺乏，即使部分學(xué)生已經(jīng)意識到求u（x）的極值，但是沒有能力求解特殊極限值，被迫默認(rèn)趨向于+∞，而這一想法恰恰和正確結(jié)論一致，但并不是所有的情況都是這樣的，下面我們來回顧江蘇省的一道高考試題，如下：

例2（2013年江蘇理科卷20題第2問）設(shè)函數(shù)f（x）= lnx-ax，g（x）=ex-ax，a為實(shí)數(shù)，若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析：根據(jù)題意得：g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則ex≥a在（-1，+∞）上恒成立，則lnx-ax=0（x＞0），即則f（x）的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線y=a與h（x）的交點(diǎn)個數(shù)問題，由于，則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞遞增；當(dāng)x＞e時(shí)0）遞減；當(dāng)x=e時(shí)，h（x）在x＞0上取得最大值為在0＜x＜，根據(jù)以上信息可以粗略地作出的函數(shù)圖像，如圖1，根據(jù)圖像得知：當(dāng)時(shí)，直線y= a與h（x）有1個交點(diǎn)，即f（x）的零點(diǎn)有1個；當(dāng)時(shí)，直線y=a與h（x）有2個交點(diǎn)，即f（x）的零點(diǎn)有2個.

圖1

本題處理問題的手段和方法與例1相似，題中確定交點(diǎn)個數(shù)的時(shí)候利用圖像的手段進(jìn)行處理，在x∈（0，e）上，利用特殊點(diǎn)x=1（即y=0）結(jié)合單調(diào)性趨勢描繪出圖像，相對來說比較容易，但是對于x在（e，+∞）上圖像的描繪比較麻煩；其實(shí)欲想作出比較理想的圖像應(yīng)該求函數(shù)h（x）在x→0+、x→+∞上的極限值，學(xué)生在例1中通過猜測恰好獲取了正確的結(jié)論，但是在本題中學(xué)生猜測x→+∞時(shí)y→0相對比較困難，實(shí)踐中學(xué)生出錯的現(xiàn)象較多.

二、從高等數(shù)學(xué)的角度思考高考試題的解析

上述例1和例2的解析中，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)前學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)有知識解決問題的局限性，在x→0+的情況下，對于雖然高考沒有要求，平時(shí)數(shù)學(xué)教師介紹也少，但是多數(shù)學(xué)生還是可以解決的，但是對于x→+∞時(shí)，兩個函數(shù)都不是普通的極限問題，學(xué)生基本上是不會解決，陷入束手無策的尷尬境地；通過對u（x）和h（x）的極限情形進(jìn)行分析可知：當(dāng)x→+∞時(shí)，u（x）和h（x）的極限都屬于類型的特殊極限問題，極限值存在三種可能性（0、+∞、大于零的常數(shù)），從高等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，利用洛必達(dá)法則（若函數(shù)f（x）和g（x）滿足：（1）（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）可為實(shí)數(shù)，±∞），則）來處理此極限，顯得比較簡潔、方便.具體如下：這樣例1和例2中學(xué)生比較麻煩的問題就很快被解決了，而且過程簡潔、易懂.

三、高考真題探析中得到的啟示與思考

上述兩道高考壓軸題都涉及同樣的問題，命題專家的目的也許是認(rèn)為采用零點(diǎn)存在定理與函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合進(jìn)行處理是合情合理的方案，這樣的試題并沒有超綱，在高中所學(xué)數(shù)學(xué)知識與能力的范圍內(nèi)能夠處理，但在高考的浪潮中，作為許多那些希望進(jìn)入名牌大學(xué)、重點(diǎn)大學(xué)的學(xué)生的數(shù)學(xué)教師而言，并不滿足上述的“繁雜”處理方式，勢必會在平時(shí)的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中引入洛必達(dá)法則等這些高等數(shù)學(xué)的結(jié)論與定理，無形中會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)；當(dāng)然，在高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)雛形的案例已經(jīng)不足為奇，在前幾年的高考試題中所出現(xiàn)的“拉格朗日中值定理、凸函數(shù)的判斷”等都是很好的例證；那么在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是否要去追求這種“高等數(shù)學(xué)熱”？作為命題專家應(yīng)該如何面對這一“敏感”問題？筆者提出了一些笨拙的見解如下：

全國各省市一直在追求“公平、公正、公開”的高考原則，各項(xiàng)制度越來越完善，每年都會編擬出臺各學(xué)科的《考試說明》，文中兩個案例從理論上講并沒有超綱，符合考試說明的要求，但在解答中，如果有學(xué)生利用高等數(shù)學(xué)的結(jié)論進(jìn)行快速解題獲取準(zhǔn)確的答案，似乎與高考考查學(xué)生能力的要求不相稱，存在著提前額外了解一些特殊的定理與結(jié)論，顯示能力較強(qiáng)的嫌疑，由于當(dāng)前高考的至高地位和高考考題的示范作用，很有可能會導(dǎo)致在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)追求高等數(shù)學(xué)熱的現(xiàn)象發(fā)生，可能會助長學(xué)生“投機(jī)取巧”不良習(xí)慣的養(yǎng)成，對于通過高考題來考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識處理實(shí)際問題的真正能力方面有失公平，影響高考考題對高中數(shù)學(xué)教學(xué)在“度”上積極的指揮作用.

高考數(shù)學(xué)的命題應(yīng)該注重多角度論證，避免擦邊球現(xiàn)象的發(fā)生，特別避免對于那些運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識求解繁雜、困難，但是運(yùn)用高等數(shù)學(xué)定理、結(jié)論解決比較簡單、方便、快捷的試題出現(xiàn)；從辯證唯物主義的角度來看，事情總是一分為二的，并不能說高等數(shù)學(xué)問題下嫁與高中數(shù)學(xué)教學(xué)都是弊端，但是為了避免可能對以后高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的影響，防止高中數(shù)學(xué)教學(xué)過分追求高等數(shù)學(xué)熱問題的出現(xiàn)，完全可以明確限制不允許運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)定理或結(jié)論；在考查的形式上可以發(fā)生變化，不直接涉及高等數(shù)學(xué)現(xiàn)成的概念或定理問題，應(yīng)該注重對新概念或定義的理解與運(yùn)用的考查，這很好地體現(xiàn)了對學(xué)生實(shí)際運(yùn)用能力的考查.

總而言之，高考試題一直是社會各界特別是高中教師和學(xué)生關(guān)注的熱點(diǎn)話題，高考試題的探究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，直接指引著高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)方向的發(fā)展，影響高中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)在“度”上的把握，這應(yīng)該是我們一線高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該關(guān)注的重要信息.F