王憲春
通過曲線上的點集與方程的解集間的一一對應關系,建立曲線與方程的對應關系,是解析幾何的核心問題。在學習了直線、圓、圓錐曲線的方程以后,進一步探究曲線與方程間的關系,并通過方程研究曲線的性質,深刻認識方程的幾何意義。而求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一,是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎。
求曲線方程,一般有五個步驟,這五個步驟和列方程解應用題的步驟完全類似。
(1)依據(jù)已知幾何條件建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?,用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)列出適合條件p的點M的集合P={M|P(M)};(此步根據(jù)情況可以省略)
(3)用坐標表示條件P(M),列出方程=f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明化簡后的方程為所求曲線的方程,即驗證以(4)中方程的解為坐標的點都在曲線上。
簡記為建系、列式、代換、化簡、證明。
為了幫助同學們更好地理解、掌握這類題型,下面我們結合具體的實例,對求一般曲線的過程和常用方法予以說明。
一、直接法
如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系,或這些幾何條件簡單明了且易于表達,那么我們只需利用解析幾何中的一些基本定理和公式,直接列出動點的坐標(x,y)所滿足的關系式,通過化簡整理便可得到曲線的軌跡方程。
例1:試求到兩坐標軸距離之差恒為2的點的軌跡。
解析:設P(x,y)為軌跡上任意一點,則|x|-|y|=2。
當x≥0,y≥0時,方程為x-y=±2,此時軌跡為以(2,0),(0,2)為端點,斜率為1的兩條射線;
當x≤0,y≥0時,方程為x+y=±2,此時軌跡為以(-2,0),(0,2)為端點,斜率為-1的兩條射線;
當x≤0,y≤0時,方程為y-x=±2,此時軌跡為以(-2,0),(0,-2)為端點,斜率為1的兩條射線;
當x≥0,y≤0時,方程為x+y=±2,此時軌跡為以(2,0),(0,-2)為端點,斜率為-1的兩條射線。(曲線如右圖)
評注:本題中,已經(jīng)給定了坐標系,并且等量關系可以直接得到,因此用此法求解最方便。
二、代入法
如果動點P(x,y)與Q(a,b)之間滿足某些關系式,先寫出P與Q之間的坐標關系,并用Q的坐標表示P的坐標,而后代入P的坐標所滿足的關系式,并化簡整理,即得所求方程。
例2:設M為已知圓O:x2+y2=a2上任意一點,圓O和x軸的兩個交點為A1(-a,0),A2(a,0),從A2作直線垂直于圓O在M點的切線MB,交直線A1M于P,求P點軌跡方程。
解:當M在A2處時,從A2作垂直于MB的直線就是x軸,它與直線A1M重合,此時點P的軌跡方程是y=0;
當M在A1處時,與題中直線A1M不符。
三、參數(shù)法
有時求動點應滿足的幾何條件不易得出,也無明顯的相關點,但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點常常受到另一個變量的制約,或者用這個變量可以將動點坐標(x,y)中的x,y表示出來。此時可以取這個變數(shù)為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫作參數(shù)法,如果需要得到軌跡的普通方程,需要將參數(shù)消去。
例3:在正方形ABCD中,AB、BC邊上各有一個動點Q、R,且|BQ|=|CR|,試求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程。
分析:交點P受Q與R的制約,因此,選擇的參數(shù)要與Q、R有直接聯(lián)系,故可以選取AQ與BR為參數(shù)。
解:如圖,取A為原點,AB所在直線為x軸,建立直角坐標系,正方形ABCD邊長為a,取AQ=t,BR=t。
評注:本題使用參數(shù)法求軌跡,取AQ=t,即以t為參數(shù)統(tǒng)一x,y,最后消去參數(shù),用參數(shù)求軌跡要注意合理選擇參數(shù),作參數(shù)的量常是動點的坐標。
(作者單位:內(nèi)蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)第一中學)