近幾年中考綜合題中，開放性、探究性和創(chuàng)新性的考題越來越多，許多綜合題是由一些基本圖形改編而來。此案例以一基本圖形為載體，進(jìn)行提煉、變式與拓展，以訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)思維，達(dá)到舉一反三。

自主復(fù)習(xí)，感受基本圖形

學(xué)生要能從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，利用基本圖形解決問題。

1.回答下列問題并分析圖形特征，用紅筆畫出其中的“基本圖形”。

已知，如圖1梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一點(diǎn)，且△DEC為等腰直角三角形，∠DEC=90°。

問：△ADE與△BEC有什么關(guān)系？

引申：如圖2，將“等腰”去掉，△ADE與△BEC還全等嗎？它們什么關(guān)系？

2.試一試，你能從圖中找到“基本圖形”嗎？如圖3：直線L上有三個(gè)正方形a、b、c.若a、c的邊長分別是3和4，則b的邊長為……

引申：正方形a、b、c的面積之間有什么關(guān)系？

分析與思考：這節(jié)課中心任務(wù)就是“基本圖形”的識(shí)別與應(yīng)用，因此將分析圖形特征的過程體現(xiàn)到學(xué)案中，讓學(xué)生在獨(dú)立探索的過程中發(fā)現(xiàn)兩種形式的“基本圖形”，即全等與相似，有效地突出本課教學(xué)的重點(diǎn)?！霸囈辉嚒笔腔緢D形的變式應(yīng)用，重點(diǎn)突顯了從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)“基本圖形”。

在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，鞏固所學(xué)的知識(shí)。如圖4，已知矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，沿EC折疊，使點(diǎn)B落在AD邊的B′處，若AB=6，BC=10，求AE的長。

分析與思考：小組學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中題目選擇一定要抓住核心知識(shí)，引發(fā)學(xué)生思考，并能對(duì)數(shù)學(xué)的思想、解題的方法進(jìn)行歸納或提煉，使方法系統(tǒng)化。這個(gè)題目體現(xiàn)了“基本圖形”中相似變換的應(yīng)用，但教學(xué)中不能只處理到這個(gè)層次，要引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考與小組交流相結(jié)合中找到所有不同的解法。這個(gè)題實(shí)際上很好地詮釋了解決幾何綜合圖形問題中的三種“求解工具”，即相似、勾股和面積等。

展示反饋，再探新知

已知：如圖五，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=9，BC=13，CD=4，E是AD的中點(diǎn)。求證：CE⊥BE。

分析與思考：如果把上題圖中的△BEC去掉，就變成了這個(gè)題目的圖形，這道題與前面的題在思路和方法上有根本性的改變，但卻是“基本圖形”的另一種變化，讓學(xué)生了解圖形的多變和內(nèi)在的聯(lián)系。在課堂教學(xué)中，學(xué)生展示了7種不同解法，開闊了學(xué)生的視野，通過每種解法的分析總結(jié)，也很好地訓(xùn)練了學(xué)生的思維深度。需要注意的是，這是一個(gè)策略開放試題，課堂教學(xué)中“放”得開，也要“收”得住，要注意討論之后的反思與總結(jié)，以及回歸到課的主題“基本圖形”中來。

拓展提升，學(xué)以致用

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=9，BC=13，CD=4。①在線段AD上是否存在點(diǎn)E，使∠CEB=90°？如果存在，直接寫出E點(diǎn)的位置;如果不存在說明理由。②在直線AD上是否存在點(diǎn)E，使△CEB為直角三角形？如果存在，求出E點(diǎn)的位置;如果不存在說明理由。

分析與思考：第一個(gè)問題是前一題的變式，有一定的聯(lián)系，學(xué)生不需要理解考題的背景，讓學(xué)生在已建構(gòu)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行探究，抓住問題的慣性，減少學(xué)生在課堂上的審題時(shí)間。第二個(gè)問題將“線段”引申為“直線”，將“直角”引申為“直角三角形”，儼然已演變?yōu)橐坏乐锌級(jí)狠S題。這樣從易到難，逐步完成了中考?jí)狠S題的“破題”過程，有效克服了學(xué)生對(duì)中考?jí)狠S題的畏懼心理。第二個(gè)問題中滲透了分類討論思想，第一類∠CEB=90°（如圖表a），其實(shí)就是上一環(huán)節(jié)中的題目;第二類∠ECB=90°、第三類∠CEB=90°（如圖表b、c），作如圖所示的輔助線就正好構(gòu)成了“基本圖形”，這樣求解簡單易行。通過這樣的練習(xí)，學(xué)生達(dá)到做一題、會(huì)一類、通一片的效果。這樣學(xué)習(xí)，學(xué)生更好地認(rèn)清問題的本質(zhì)，提高學(xué)生獨(dú)立探究和解題能力。本專題復(fù)習(xí)利用一個(gè)基本圖形，整合了初中數(shù)學(xué)的部分核心內(nèi)容：全等、相似、勾股定理、方程等。讓學(xué)生不僅會(huì)解一道題，而且會(huì)解一類題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，真正實(shí)現(xiàn)專題復(fù)習(xí)課的高效性。

（作者單位：山西省靈石縣教育科技局教研室）