傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式下，為了追求課堂教學(xué)“效果”，常常采用“高起點(diǎn)、大容量、快節(jié)奏”的做法，拿出更多的時(shí)間讓學(xué)生反復(fù)訓(xùn)練，忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)自主性和能力培養(yǎng)。而用“問(wèn)題串”啟發(fā)式教學(xué)法、情境實(shí)例導(dǎo)入教學(xué)法和合作學(xué)習(xí)自主探究的教學(xué)法，可以讓教學(xué)邁上一個(gè)新臺(tái)階，因此筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中也產(chǎn)生了一些新認(rèn)識(shí)。

概念教學(xué)中的問(wèn)題

要想讓學(xué)生深刻理解抽象的數(shù)學(xué)概念，尤其是對(duì)核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)探索，體驗(yàn)知識(shí)的變化過(guò)程。在第一輪教學(xué)時(shí)，通過(guò)先觀察函數(shù)圖象所反映的變化規(guī)律，然后直接給出函數(shù)單調(diào)性定義，課上學(xué)生積極配合，課堂也很順暢。但在接下來(lái)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性定義證明某個(gè)確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，學(xué)生總是把“任意”兩字丟掉。課下認(rèn)真總結(jié)發(fā)現(xiàn)：不是學(xué)生不具備理解該知識(shí)點(diǎn)的能力，沒(méi)有認(rèn)真思考教師提出的問(wèn)題，而導(dǎo)致沒(méi)有掌握函數(shù)單調(diào)性定義的本質(zhì)；而是教師在教學(xué)時(shí)根本沒(méi)有解決為什么需任意取兩個(gè)自變量的值，然后再比較其對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小，進(jìn)而證明了函數(shù)的單調(diào)性。為此，在本輪教學(xué)中設(shè)置以下問(wèn)題突破難點(diǎn)，使學(xué)生深刻理解并掌握函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。

分階段探求解決

第一階段：學(xué)生通過(guò)觀察以下幾個(gè)函數(shù)圖象所反映的變化規(guī)律，直觀感知函數(shù)單調(diào)性。第一個(gè)函數(shù)圖象在其整個(gè)定義域內(nèi)從左到右呈上升趨勢(shì)，即y隨x的增大而增大。第二，三個(gè)函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的有些區(qū)間上從左往右圖象呈上升趨勢(shì)（即y隨x的增大而增大），有些區(qū)間上從左往右呈下降趨勢(shì)（即y隨x的增大而減少）。通過(guò)上述問(wèn)題使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。這樣就使學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性有了第一次直觀認(rèn)識(shí)。

第二階段：從解析式角度，進(jìn)一步研究函數(shù)單調(diào)性。如果直接給出學(xué)生函數(shù)單調(diào)性的定義，學(xué)生根本體會(huì)不到知識(shí)的形成背景及發(fā)展過(guò)程，而是被動(dòng)接受這個(gè)知識(shí)而沒(méi)有激發(fā)學(xué)生的求知欲望。當(dāng)然這樣的結(jié)果也就不言而喻了。對(duì)于函數(shù)單調(diào)性已經(jīng)有了直觀認(rèn)識(shí)，即y隨x增大而增大，或y隨x增大而減小，為什么還要從解析式這個(gè)角度，進(jìn)一步研究單調(diào)性呢？教師舉例說(shuō)：“下圖是函數(shù)的圖象，能說(shuō)出函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)，在哪個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)嗎？”對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)圖象，很容易直觀感知函數(shù)的增減性。學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置。給學(xué)生造成認(rèn)識(shí)沖突，使學(xué)生研究的興趣大大提高。使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究，使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過(guò)渡到研究函數(shù)的解析式。

第三階段：如何用形式化的語(yǔ)言從函數(shù)解析式角度定義函數(shù)的單調(diào)性？從數(shù)學(xué)學(xué)科整體來(lái)看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問(wèn)題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開(kāi)始，逐步抽象。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言和符號(hào)化的形式語(yǔ)言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化。用形式化的語(yǔ)言從函數(shù)解析式角度定義函數(shù)的單調(diào)性，需要突破以下兩個(gè)難點(diǎn)：一是“x增大”，“f（x）增大”如何用符號(hào)表示？二是“‘隨著’x增大，函數(shù)f（x）‘也’增大”，如何用符號(hào)表示？上述問(wèn)題也就是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的靜態(tài)符號(hào)來(lái)描述動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象。用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象，到用靜態(tài)的符號(hào)語(yǔ)言刻畫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象，在思維能力層次上存在重大差異，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。為此，在教學(xué)中可以提出如下問(wèn)題：

師：如何從解析式的角度說(shuō)明f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)？即自變量x的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化規(guī)律？

生1：在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如2和3，因?yàn)?2<32，所以f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)。

師：給定區(qū)間內(nèi)的其他自變量的值與其對(duì)應(yīng)函數(shù)值有什么變化規(guī)律呢？

生2：可以用1、2、3、4、5、6來(lái)驗(yàn)證，因?yàn)?<2<3<4<5<6且12<22<32<42<52<62，所以函數(shù)y=x2在[0，+∞）上是增函數(shù)。

師：給定區(qū)間內(nèi)的其他自變量的值與其對(duì)應(yīng)函數(shù)值有什么變化規(guī)律呢？

生3：提出引入實(shí)數(shù)a，且a>0，只要證明（a+1）2>a2就可以了。

師：值得肯定的是，這樣大家就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無(wú)限。以上取法依然具有局限性，仍然不能夠給定區(qū)間內(nèi)的所有自變量的值。怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變x1，x2然后作差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答：任意取0≤x1

在教學(xué)中，筆者注重以下幾方面：注重知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣；注重學(xué)生自主探究，合作探究，共同提高；注重知識(shí)與技能統(tǒng)一，讓學(xué)生學(xué)習(xí)獲取知識(shí)的同時(shí)，掌握學(xué)習(xí)知識(shí)的方法。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）