在項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材的編寫過程中，數(shù)學(xué)學(xué)科的羈絆源于數(shù)學(xué)知識的邏輯性。數(shù)學(xué)學(xué)科知識的邏輯性，與完成項(xiàng)目時所需的靈活性和綜合性成為一對矛盾。如何解決這一矛盾，實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，需要解放思想，需要實(shí)驗(yàn)，需要理性的分析，樹立新的科學(xué)學(xué)習(xí)理念。下面以“一元一次方程”為例進(jìn)行探討。

“一元一次方程”的學(xué)習(xí)一定是基于“有理數(shù)的運(yùn)算”及“整式的加減”，即初一的學(xué)生在學(xué)習(xí)了這兩章內(nèi)容之后才學(xué)習(xí)“一元一次方程”。在“一元一次方程”這一章中，首先要介紹其概念，接著要學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)（或方程變形的性質(zhì)）。

等式（或方程）兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，等式（或方程的解）不變。

等式（或方程）兩邊都乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式（或方程的解）不變。

在具體到求方程的解時，不論是否明確給出解法的名稱，都是按照由易到難的順序安排，即系數(shù)化為1，合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)，去括號，去分母。因此在傳統(tǒng)的教材中一元一次方程的編排結(jié)構(gòu)如圖1所示。

在學(xué)習(xí)解方程的過程中，先學(xué)習(xí)最簡單的，即系數(shù)化為1，然后由易到難。而學(xué)生在解復(fù)雜的一元一次方程時，則反其道而行之，先去分母，再去括號，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后將系數(shù)化為1。這種轉(zhuǎn)化的過程，體現(xiàn)了化難為易、化繁為簡的策略。這樣的學(xué)習(xí)程序及對應(yīng)的解題順序是經(jīng)典的、傳統(tǒng)的、良構(gòu)的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美和邏輯美。

但是這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)制約了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)。能不能有所改變呢？

打破上述研究的結(jié)構(gòu)，基于乘法的意義解“一元一次方程”，這是與一位五年級學(xué)生的實(shí)驗(yàn)。五年級學(xué)生具備的與“一元一次方程”對應(yīng)的基礎(chǔ)是：乘法、除法、分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，簡單的字母表示數(shù)，分式的簡單運(yùn)算，簡單的一元一次方程的解法等。

基于這樣的基礎(chǔ)，在解復(fù)雜的一元一次方程時，如何分析轉(zhuǎn)化，理解每一步的合理性呢？下面以具體事例解釋。

如圖2 ，這是一個源自初中教材中的題目。圖中的解法是五年級的同學(xué)給出的。在解這個題目時，該同學(xué)已經(jīng)練習(xí)解過多道題目，所以解此題時已經(jīng)比較順利。從圖中可以看得出，步驟間距比較小，所以比較長，這是五年級學(xué)生的思維決定的。

該方程兩邊的分母不一致，所以首先要通分，這是五年級學(xué)生會做的。第二步，去分母，但該生還沒有學(xué)過去分母，因此她依據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將分式先轉(zhuǎn)化為除法，再依據(jù)她學(xué)習(xí)過的等式的性質(zhì)，兩邊同乘以一個數(shù)，最終達(dá)成去分母的目標(biāo)。第三步，移項(xiàng)，五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過，而且比較熟練，因此，此處她省略掉一步，即14x-10+10=3+10，而直接得到14x=3+10。第四步，合并，本題中只涉及到數(shù)的合并，所以輕而易舉地完成。第五步，系數(shù)化為1，這是小學(xué)學(xué)習(xí)過的。

對于合并，還會遇到不同類型的問題。比如圖3中的6x+10.5x，圖4中的16x-30x，要回到乘法的意義，然后利用加法對乘法的分配律求解。根據(jù)乘法的意義，“6x”即6個x，其他同理。因此“6個x”加“10.5個x”就是（6+10.5）個x，于是就有了6x+10.5x=（6+10.5）x，事實(shí)上就是加法對乘法的分配律的逆用，并且是在代數(shù)式中的應(yīng)用，從具體數(shù)字運(yùn)算的分配律到式的運(yùn)算的分配律，并且是逆用，這都是基于對乘法意義的理解和靈活應(yīng)用，這是一個難點(diǎn)，也是一個突破。

至于16x-30x=（16-30）x，五年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的初步知識，稍加引導(dǎo)即可求解。

在該同學(xué)學(xué)習(xí)解一元一次方程的過程中，并沒有按照由易到難的順序安排，而是直接進(jìn)入復(fù)雜問題。在轉(zhuǎn)化策略的指導(dǎo)下，依據(jù)她的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，不斷地將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題求解。

在前期學(xué)習(xí)過程中，還遇到過非常有趣的方程，但是都能用她所學(xué)過的知識加以解釋，并最終解決。這樣做最大的益處是提高了學(xué)生分析問題的能力。

該實(shí)驗(yàn)打破了圖1的教學(xué)結(jié)構(gòu)，但是看得出在求解過程中，該生的心理過程與結(jié)構(gòu)是高度一致的。這說明，傳統(tǒng)教材中的編排結(jié)構(gòu)是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，是經(jīng)典的。但是這種經(jīng)典的結(jié)構(gòu)是否要用與之對應(yīng)的經(jīng)典的過程轉(zhuǎn)移給學(xué)生呢？該實(shí)驗(yàn)表明，換一種方式也可以達(dá)成同樣的目標(biāo)。

項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材的編寫依據(jù)首先是課程標(biāo)準(zhǔn)。2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“一元一次方程”的要求是：

1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

2.經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程。

3.掌握等式的基本性質(zhì)。

4.能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。

對課標(biāo)這樣的要求，如何通過項(xiàng)目化學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)呢？可以通過如下三步實(shí)現(xiàn)。

第一，將實(shí)際問題（即項(xiàng)目中的驅(qū)動問題）轉(zhuǎn)化為方程問題，體會方程中蘊(yùn)含的模型思想，并解釋解方程的必要性。

第二，學(xué)生基于已有的知識經(jīng)驗(yàn)自主探究解方程（一元一次方程），從而達(dá)到對具體問題的解決，完成關(guān)于實(shí)際問題的項(xiàng)目。

第三，提煉該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)元素，包括給出一元一次方程的概念，明確其定義，并歸納、概括求解策略和求解步驟，梳理求解依據(jù)，并進(jìn)行適量訓(xùn)練，以鞏固基本知識，熟練基本技能。

于是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中“一元一次方程”的編排結(jié)構(gòu)應(yīng)該如圖5所示。

圖5與圖1相比，有如下特點(diǎn)。

第一，學(xué)生探究的空間較大，沒有固定的規(guī)則與程式，學(xué)生的活動是基于基本知識進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，因此有利于學(xué)生進(jìn)行相對完整的活動。對教材編寫的要求設(shè)計(jì)好問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。

第二，整體輸入和輸出，以解決問題為主，注重策略的指導(dǎo)，但是不削弱數(shù)學(xué)的基本知識和技能。

第三，具有“雙項(xiàng)目化”的功能，學(xué)生完成了一個實(shí)際問題的項(xiàng)目，在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)問題，通過抽象概括，梳理數(shù)學(xué)知識，并鞏固應(yīng)用，又是一個純數(shù)學(xué)的項(xiàng)目實(shí)施過程。但這個純數(shù)學(xué)的項(xiàng)目不是抽象的，有實(shí)際問題的項(xiàng)目奠基，學(xué)生在此處學(xué)習(xí)時，對其必要性和重要性的認(rèn)識更深刻，因此有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

第四，能有效地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

第五，能實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

一個實(shí)驗(yàn)似乎有些單薄，證據(jù)不足，但是這個案例也說明這種方法的可行性。囿于傳統(tǒng)的經(jīng)典的知識結(jié)構(gòu)，是難以做出真正的項(xiàng)目的，所以編寫項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材關(guān)鍵是要“破”，破其外殼，存其內(nèi)涵，以項(xiàng)目承載，以科學(xué)思想主宰。

基于意義的學(xué)習(xí)，是指基于概念的基本意義進(jìn)行學(xué)習(xí)。從上述案例的分析可見，樹立基于意義的學(xué)習(xí)的理念才能突破傳統(tǒng)觀念的束縛，才能實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目學(xué)習(xí)。

基于意義的學(xué)習(xí)與基于規(guī)則的學(xué)習(xí)有什么異同呢？

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的學(xué)習(xí)順序，是先學(xué)規(guī)則，如等式的性質(zhì)等，再應(yīng)用規(guī)則解決問題，這是基于規(guī)則的學(xué)習(xí)?；谝饬x的學(xué)習(xí)，則跳過規(guī)則，直接根據(jù)概念的意義進(jìn)行分析。

概念是基本的思維單位，是思維的起點(diǎn)，規(guī)則是由概念推演得出的?；谝?guī)則學(xué)習(xí)的優(yōu)勢是簡潔，不足是其學(xué)習(xí)過程是“執(zhí)行”命令?；谝饬x學(xué)習(xí)的優(yōu)勢是創(chuàng)新，不足是費(fèi)時較多，但這樣的學(xué)習(xí)正符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的學(xué)生“應(yīng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程”，特別是十大核心素養(yǎng)中指出的“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”。

基于意義的學(xué)習(xí)過程，由于沒有既定的規(guī)則和程序要求，因此是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，學(xué)生能更多地“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識” 。

如何實(shí)現(xiàn)基于意義的學(xué)習(xí)呢？

首先，要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)價值觀，學(xué)生的學(xué)習(xí)更重要的是成長，而不是收集裝載知識技能。知識技能是載體，但不是最后的目標(biāo)。

其次，要通過實(shí)驗(yàn)，尋求基于意義的數(shù)學(xué)教材“新結(jié)構(gòu)”，在這個過程中，要勇于否定自我。

再次，尋找到適合項(xiàng)目學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)之后，要設(shè)計(jì)“任務(wù)群”，將“新結(jié)構(gòu)”付諸現(xiàn)實(shí)，而且是面對學(xué)生群體學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)。

做好這三點(diǎn)，相信項(xiàng)目學(xué)習(xí)將實(shí)施得更好。

項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材的編寫是探索創(chuàng)新，因此需要有探索創(chuàng)新品質(zhì)的人，更需要有探索創(chuàng)新本質(zhì)的案例支撐，讓一個個案例為項(xiàng)目學(xué)習(xí)搭起天梯，成就學(xué)生的幸福人生。