☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 郭桂玲

讓學(xué)生擔(dān)當(dāng)課堂的主角

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中 郭桂玲

新課程倡導(dǎo)教師積極轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，教師應(yīng)是學(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者，是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、參與者和欣賞者.教師在充分放手讓學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，又能準(zhǔn)確啟發(fā)指導(dǎo).本文以“點(diǎn)到直線的距離”的教學(xué)為例說明.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

“點(diǎn)到直線的距離”是“坐標(biāo)平面上的直線”一章的最后一節(jié)內(nèi)容.我們希望找到一種教學(xué)方案，既滲透解析法的方程思想，又體會(huì)向量方法的便捷性，我們決定將問題交給學(xué)生，放手讓學(xué)生去探究“如何求點(diǎn)到直線間的距離”這個(gè)問題.我們希望通過教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，并掌握點(diǎn)到直線的距離公式；通過對(duì)點(diǎn)到直線間距離公式推導(dǎo)方法的分析、比較與體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟公式推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)思想和思維方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在教學(xué)過程中，點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)過程是教學(xué)重點(diǎn)；如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟?qū)栴}的思維過程及所蘊(yùn)含的教學(xué)思想方法，這應(yīng)該是教學(xué)的難點(diǎn).

二、教學(xué)設(shè)計(jì)過程

1.引入

通過師生對(duì)話問答回顧知識(shí)，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，形成以下知識(shí)結(jié)構(gòu).

圖1

說明：引入中，從學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，通過知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)說明為什么學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，強(qiáng)調(diào)理性思維.

圖2

2.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)

（1）明確并提出問題.

如圖2，已知直線l∶Ax+By+C=0，直線外一點(diǎn)P（x0，y0），其中A、B、C、x0、y0為常數(shù)，如何表示點(diǎn)P到直線l的距離d？

在解決該問題前可以作如下鋪墊.

師：什么是點(diǎn)到直線的距離？P到l的距離是一個(gè)確定的值嗎？如何求點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離？

師：作PQ⊥l于Q，如何計(jì)算線段PQ的長度？你能想到哪些方法？（同學(xué)們思考討論）

說明：這里先回顧“什么是點(diǎn)到直線的距離？”從幾何角度作出距離|PQ|，并指出點(diǎn)到直線的距離其實(shí)是點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的距離的最小值.再指出點(diǎn)P到直線的距離是一個(gè)確定的值，它可以用常數(shù)x0、y0、A、B、C表示.最后引導(dǎo)學(xué)生思考問題的解決途徑，進(jìn)入討論.

（2）推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

通過對(duì)問題的初步分析，我們將”求點(diǎn)到直線之間的距離”歸結(jié)為“如何計(jì)算線段PQ的長度？”因?yàn)榍缶€段長的方法有許多種，所以可以先由學(xué)生充分探索，再通過合理有效的組織，引導(dǎo)學(xué)生掌握方法的本源，尋找問題的解決方法.

①充分引導(dǎo)學(xué)生自主探索，展現(xiàn)問題解決的思維過程.

生1：計(jì)算Q點(diǎn)的坐標(biāo).

師：為什么想到求Q點(diǎn)的坐標(biāo)？如何計(jì)算Q點(diǎn)的坐標(biāo)？生1：有下列兩種方法.

（1）解聯(lián)立方程組，寫出直線PQ的方程，聯(lián)立PQ與l的方程，求解Q點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，y1）.

（2）利用數(shù)量積計(jì)算Q點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)Q（x1，y1）

師：這種方法是一定可以做到底的，就是不知道解方程會(huì)不會(huì)給我們帶來麻煩.先放一下，其他同學(xué)還有其他方法嗎？

生2：為避免求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可用面積相等.（示意想到黑板上作圖說明）

生2：利用三角形面積公式可知|PQ|·|RS|=|PR|·|PS|，從而可求|PQ|.

圖3

生3：用向量的數(shù)量積.

師：為什么會(huì)想到數(shù)量積？

師：這個(gè)方法值得一試，設(shè)想一下它后續(xù)的一些步驟，可能會(huì)遇到什么問題？M點(diǎn)的坐標(biāo)需要代換，如何代換？注意點(diǎn)M在直線上，能否得出結(jié)果，我們待會(huì)可以嘗試一下.

師：還有其他方法嗎？

學(xué)生又提出了利用三角比、勾股定理等平面幾何知識(shí)，利用函數(shù)思想求距離的最小值等方法.

②合理選擇解題方法，突出方程思想與向量方法.

師：所有這些都可以試一試，現(xiàn)在，我們選擇兩種典型的、有代表性的，也是有一般意義的方法：（1）用生2的方法解聯(lián)立方程組，看看能否算出|PQ|的長度；（2）向量方法是一個(gè)重要的解決問題的方法，試一試能否用向量的數(shù)量積將|PQ|的長度算出來？

（學(xué)生分組討論，派代表到黑板上板演）

生4：由P（x0，y0），可設(shè)R（x1，y0），S（x0，y2）.又R、S在直

師：這個(gè)方法的關(guān)鍵是什么？

生4：利用了方程思想和整體代換思想.

師：好，我們再看用向量方法計(jì)算出|PQ|.

師；在這個(gè)方法中，你們認(rèn)為關(guān)鍵是什么？

生：數(shù)量積及在直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程.

③回顧反思兩種方法，體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)思想.

師：剛才我們用解析幾何中兩種典型的方法計(jì)算出：點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d.雖然方法有許多種，但是因?yàn)榻馕鰩缀蔚暮诵乃枷胧抢梅匠萄芯壳€，所以解聯(lián)立方程組是基本方法，又因?yàn)橄蛄吭诮馕鰩缀沃惺且粋€(gè)重要的知識(shí)和方法，計(jì)算簡潔，體現(xiàn)了向量方法的優(yōu)勢，值得我們細(xì)細(xì)體會(huì).

三、公式的應(yīng)用

師：現(xiàn)在你們能推導(dǎo)兩條平行線之間的距離公式嗎？

問題：若直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，其中A、B、C1、C2為常數(shù)，且C1≠C2，如何求l1與l2的距離？

這個(gè)問題由學(xué)生獨(dú)立解決，教師主要是引導(dǎo)并介紹方法.

生6：利用點(diǎn)到直線的距離（轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線間的距離）.

在直線l1上取點(diǎn)P（x0，y0），則

由Ax0+By0+C1=0，得Ax0+By0=-C1，所

師：還有沒有其他方法？

生7：也可以用向量的數(shù)量積（直接利用向量方法求距離）.

師：這個(gè)式子可作為公式使用，但要注意A、B的一致性.

在新課標(biāo)的要求下，我們要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，在突出學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師作適當(dāng)引導(dǎo).教師要善于捕捉來自于學(xué)生的智慧和火花，敢于采納學(xué)生的點(diǎn)子和方案，這樣有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信心.給學(xué)生一個(gè)寬廣的舞臺(tái)吧，讓學(xué)生擔(dān)當(dāng)課堂的主角，讓他們的思維激情燃燒.

1.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀［M］.南京：江蘇教育出版社，2004.

2.方國才.新課程怎樣教得精彩［M］.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2006.A