☉江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué) 余建國

數(shù)列求和：山不過來，我過去

☉江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué) 余建國

“山不過來，我過去”是《古蘭經(jīng)》中的一個(gè)經(jīng)典故事.故事寓意：這個(gè)世界本來就沒有移山之術(shù)，唯一可以將山移過來的方法就是——山不過來，我過去.在平時(shí)的教學(xué)工作中，每個(gè)老師都會(huì)遇到“移山”一樣的教學(xué)難點(diǎn)，但囿于多年教學(xué)形成的固有思維模式，多數(shù)老師總是沿著固有模式一屆又一屆地教學(xué)下去，難點(diǎn)仍然是難點(diǎn)，收效甚微.與其一廂情愿地繼續(xù)“喚山”，不如主動(dòng)“走過去”.關(guān)于數(shù)列求和方法中的錯(cuò)位相減法，我校數(shù)學(xué)教研組就此開展了“我過去”式的一次校本教研，活動(dòng)給筆者留下了很多需要反思的東西，在此與讀者一起分享.

一、效果不好已成心結(jié)

錯(cuò)位相減法是對(duì)一類特殊數(shù)列的求和方法，即如果數(shù)列｛an｝滿足：an＝bn·cn，其中｛bn｝與｛cn｝一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，那么求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn，就可以用錯(cuò)位相減法.例如，課本（蘇教版必修5）上就有習(xí)題：求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1.每年的高考題中，此法常派上用場(chǎng)，也正因?yàn)槿绱?，無論在新課教學(xué)，還是在高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生和老師都非常重視這個(gè)方法.

平心而論，發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法很困難，但學(xué)會(huì)這個(gè)方法很容易：列和式，記為①→乘以q，記為②并錯(cuò)位寫→兩式相減，即①－②→化簡(jiǎn)，解題步驟清晰，一成不變，幾乎就是一個(gè)解題“程序”了.然而，多年的教學(xué)經(jīng)歷表明，學(xué)生解此類題的正確率并不高，我們以數(shù)和為例，困難體現(xiàn)在這樣幾個(gè)方面：一是學(xué)生自己“偷工減料”，和式中的項(xiàng)寫得太少，兩式相減后根本就觀察不出規(guī)律；二是兩式相減后，常把②式中的最后一項(xiàng)三是減后求和時(shí)，第一項(xiàng)能否帶上一起求和，直接影響到求和的項(xiàng)數(shù)是n－1還是n；四是最困難的一點(diǎn)，求和后的化簡(jiǎn).

筆者在一所中等偏下層次生源的學(xué)校任教，學(xué)生對(duì)于錯(cuò)位相減法好學(xué)卻用不好的現(xiàn)象屆屆發(fā)生，苦無良策，“把方法教會(huì)了，能不能算對(duì)是你自己的事，”有時(shí)也就這樣安慰自己.

二、年輕教師請(qǐng)纓嘗試

果不其然，年輕的程老師第一輪高中教學(xué)也感受到同樣的教學(xué)困惑，因?yàn)榻痰氖瞧叫邪?，這種感受更強(qiáng)烈.高三復(fù)習(xí)又到了錯(cuò)位相減——數(shù)列求和，程老師向教研組長(zhǎng)毛遂自薦，“我來上一節(jié)研究課，試試這類數(shù)列不用錯(cuò)位相減，而用裂項(xiàng)求和，看看效果如何？”在集體備課期間，程老師在自己的班級(jí)教學(xué)“數(shù)列求和（高三復(fù)習(xí)課）”，全組老師聽課、觀摩.

五分鐘后，所有學(xué)生做好了前兩題，大部分學(xué)生做到了第（3）題.通過提問反饋，學(xué)生對(duì)所用方法、適用類型非常清楚，如第（1）題用裂項(xiàng)相消法，第（2）題用分組求和法，第（3）題用錯(cuò)位相減法，這也是高考所要求掌握的三種方法.但不出意料，第（3）題的答案五花八門，僅用n＝1就可以否定幾乎所有已得到的答案.

師：第（3）題我們先放一放，請(qǐng)同學(xué)們看講義上的問題1.

第二環(huán)節(jié)：引入裂項(xiàng)

問題1：在數(shù)列｛an｝中，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.

學(xué)生一看到減號(hào)，立即嘗試?yán)奂酉嘞?

師：怎么樣？這個(gè)題好做吧.

眾生低頭稱是.忽然有學(xué)生驚呼：“這就是剛才錯(cuò)位相減的那道題.”

師：同學(xué)們，大家討論一下，通過問題1的求解，你發(fā)現(xiàn)什么問題？

學(xué)生反饋兩點(diǎn)：第一，這個(gè)方法對(duì)所有能用錯(cuò)位相減求和的數(shù)列都適用嗎？第二，如果是，這類數(shù)列怎么裂項(xiàng)呢？

第三環(huán)節(jié)：模仿裂項(xiàng)

師：老師也不知道是否通用（顯然，老師是在“賣關(guān)子”），要不我們?cè)賮硪活}如何？

問題2：在數(shù)列｛an｝中，若an＝n·2n-1，你能否將它分裂成一個(gè)新數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差的形式？如果能，你就順便求一下數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.

學(xué)生躍躍欲試.五分鐘后，有學(xué)生示意做好了.程老師用實(shí)物投影儀展示了學(xué)生的解題.

生：因?yàn)閍n＝n·2n-1＝（n－1）·2n－（n－2）·2n-1，所以Sn＝a1＋ a2＋a3＋…＋an＝［0·21－（－1）·20）］＋（1·22－0·21）＋（2·23－1·22）＋…＋［（n－1）·2n－（n－2）·2n-1］＝（n－1）·2n－（－1）·20＝（n－1）· 2n＋1.

師：同學(xué)們可以先用n＝1初步驗(yàn)證他的結(jié)果的準(zhǔn)確性（得到肯定），那么請(qǐng)問你是怎么想到這么裂項(xiàng)的呢？

生：模仿前面一題.應(yīng)該有2n，2n-1這樣的項(xiàng)，前面再湊湊系數(shù)，因?yàn)橐欢ㄊ恰皟蓚€(gè)一次式相減”.

師：你能說得再詳細(xì)點(diǎn)嗎？我還沒聽明白（真能“裝”）.

生：因?yàn)閮身?xiàng)相減嘛，前一項(xiàng)的“系數(shù)”比后一項(xiàng)的“系數(shù)”多個(gè)倍數(shù)2，但差的結(jié)果是等差數(shù)列通項(xiàng)，即一次多項(xiàng)式，所以，前后兩個(gè)“系數(shù)”都是一次式，湊湊就出來了.

師：這下老師聽明白了.你的意思是：設(shè)an＝n·2n-1＝

（an＋b）·2n－［a（n－1）＋b］·2n-1＝2n-1［2（an＋b）－a（n－1）－b］＝（an＋a＋b）·2n-1，由“對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等”，

全班響起來了熱烈的掌聲.

第四環(huán)節(jié)：形成方法

師：通過剛才的練習(xí)，我們可以肯定這個(gè)方法對(duì)所有能用錯(cuò)位相減求和的數(shù)列都適用；而如何裂項(xiàng)也有其內(nèi)在規(guī)律.只要多加練習(xí)，必能悟出方法.先對(duì)數(shù)列

師：這個(gè)方法同學(xué)們學(xué)得很快，我們用高考真題練練手.

例1（2014全國卷文科第17題）已知｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a老師課堂上做了統(tǒng)計(jì)，五分鐘之內(nèi)做對(duì)的有7人；又過了3分鐘，做對(duì)的增加到22人，已達(dá)到60%的正確率，這對(duì)一個(gè)平行班（該班幾乎沒有所謂的“指標(biāo)”）來說相當(dāng)可觀了.后面學(xué)生越做越順.

三、評(píng)評(píng)議議道理更明

課后，教研組長(zhǎng)陳老師召集全組老師一起來評(píng)評(píng)議議這節(jié)課.

程老師自己先發(fā)言：我在一本雜志上看到這種方法，［1］原文作者也認(rèn)為錯(cuò)位相減法雖然容易學(xué)會(huì)，但計(jì)算比較繁，正確率不高，所以自己就嘗試向?qū)W生介紹這種求和方法，畢竟學(xué)生有“裂項(xiàng)相消”的方法基礎(chǔ)，只要教會(huì)他們這類數(shù)列裂項(xiàng)的方法，就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而提高正確率.自己覺得，這節(jié)課學(xué)生還是能消化吸收的，預(yù)計(jì)作業(yè)的正確率會(huì)提高.

資深教師雷老師：不學(xué)習(xí)要落后?。∥沂堑谝淮慰吹竭@個(gè)方法，不僅是個(gè)好方法，經(jīng)過程老師的精心設(shè)計(jì)，這節(jié)課更是“潤物細(xì)無聲”.他首先讓學(xué)生嘗到甜頭——順利地解決問題1，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它就是前面絕大部分同學(xué)做錯(cuò)的基礎(chǔ)訓(xùn)練第（3）題時(shí)，立即來了興致：什么方法如此神奇？學(xué)生自然而然地產(chǎn)生探究的需求.其次，他并沒有和盤托出這個(gè)方法的一切奧妙，而是“裝一裝”——“我也不知道是否通用”，“你說得再詳細(xì)點(diǎn)，我還沒聽明白”等，把課堂的時(shí)間和空間還給學(xué)生，將教學(xué)的節(jié)奏慢下來，學(xué)生悟一悟，老師聽一聽，從而讓學(xué)生想明白、說明白、做明白.最后，也是他最令我稱道的是對(duì)這節(jié)課的要求把握得很好.這個(gè)方法肯定能總結(jié)成一個(gè)公式，但對(duì)于一個(gè)平行班，能學(xué)會(huì)這個(gè)方法就行，不需要記住這個(gè)公式.

青年骨干姚老師：我見過這個(gè)方法，而且還可以進(jìn)一步地探究：如果數(shù)列｛an｝滿足：an=bn·cn，其中｛bn｝是n的二次多項(xiàng)式，｛cn｝是等比數(shù)列，那么求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn，就可以用裂項(xiàng)法.舉個(gè)例子，如an=n2·2n，設(shè)bn=（an2+bn+ c）·2n，由an=bn-bn-1，得n2·2n=（an2+bn+c）·2n-［a（n-1）2+b（n-1）

不過，對(duì)于高考來說，bn是n的二次多項(xiàng)式的情形肯定用不上了.與錯(cuò)位相減法比較，錯(cuò)位相減法難在后面的化簡(jiǎn)，這里的裂項(xiàng)法難在前面的裂項(xiàng)，方法各有千秋，但對(duì)“系數(shù)”是一次式的情形，裂項(xiàng)法占優(yōu).

筆者的發(fā)言：程老師大膽探索教學(xué)方法變革的勇氣可嘉，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，任何有針對(duì)性、有層次性、有效益的教學(xué)方法都值得嘗試.個(gè)人認(rèn)為，學(xué)生習(xí)得的任何數(shù)學(xué)方法都與他們的認(rèn)知發(fā)展過程相關(guān)，錯(cuò)位相減法怎么出來的？那還是高一必修課學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)推導(dǎo)其前n項(xiàng)和Sn公式的“副產(chǎn)品”，如果不講錯(cuò)位相減而直接訓(xùn)練這樣的“裂項(xiàng)相消”，好像也說不通、理不順.用錯(cuò)位相減法求和為什么正確率不高，關(guān)鍵還是學(xué)生的運(yùn)算求解能力不強(qiáng)，當(dāng)遇到前面那個(gè)“等差數(shù)列系數(shù)”復(fù)雜點(diǎn)，或者后面那個(gè)“等比數(shù)列公比”是略微復(fù)雜點(diǎn)時(shí)，錯(cuò)誤率就上去了.

……

教研組長(zhǎng)陳老師：我建議，下屆教高一時(shí)，用兩個(gè)同層次班級(jí)做個(gè)對(duì)比，用數(shù)據(jù)說話.

雖然文1喊出“讓錯(cuò)位相減法‘退出’數(shù)列求和的舞臺(tái)”，不免有“博眼球”之嫌，但是程老師通過自己的學(xué)習(xí)，再精心設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)，非常準(zhǔn)確地把握住教學(xué)要求，取得了預(yù)期的教學(xué)效益，值得全組老師借鑒.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力，一直是所有老師孜孜以求的目標(biāo)，但不少老師都在原地“喚山”，山是喚不來的，而年青的程老師自己走了過去，他所做的嘗試給了我們不少的啟示.首先，要有不斷研究、終身學(xué)習(xí)的觀念，死抱著錯(cuò)位相減法一成不變，學(xué)生算不對(duì)就怨天尤人是不負(fù)責(zé)任的.其次，在碰到教學(xué)中的“死結(jié)”時(shí)要勇于變革、嘗試，退一步海闊天空，重新去研究課本.仔細(xì)研讀，筆者發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這不正是“裂項(xiàng)相消”嗎？所以說，錯(cuò)位相減與這種裂項(xiàng)相消本質(zhì)是一樣的.再次，正如弗賴登塔爾所說：“首先，知識(shí)和能力，如果是通過自己的活動(dòng)獲得的，就比別人強(qiáng)加的要掌握得更好，也更具有實(shí)用性.第二，發(fā)現(xiàn)是一件令人愉快的事，所以通過再創(chuàng)造進(jìn)行學(xué)習(xí)是有促動(dòng)力的.第三，它促進(jìn)了將數(shù)學(xué)作為一種人類的活動(dòng)來體驗(yàn)的觀念的形成.”［2］將錯(cuò)位相減改造為裂項(xiàng)相消，這樣的教學(xué)活動(dòng)也必須精心設(shè)計(jì)，把發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，這樣學(xué)生習(xí)得的方法才牢靠.

1.陳世明.讓錯(cuò)位相減法“退出”數(shù)列求和的舞臺(tái)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上），2014（7）.

2.［荷］弗賴登塔爾，箸.數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)［M］.劉意竹，楊剛，譯.上海：上海教育出版社，1999.

3.俞登超.關(guān)于數(shù)列｛nxn｝（x≠0，x≠1）的前n項(xiàng)求和方法的再思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（3）.F