☉福建省龍巖第一中學(xué) 莊炯林

螺旋探究自然呈現(xiàn)*
——任意角的三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉福建省龍巖第一中學(xué) 莊炯林

一、教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容是三角函數(shù)這一章的基礎(chǔ)，主要通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，從而得出定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個(gè)寶貴的源泉，為接下來課程中自然地導(dǎo)出三角函數(shù)線、定義域、符號(hào)判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、多組誘導(dǎo)公式、圖像和性質(zhì)，并從中體會(huì)三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用.三角函數(shù)定義是學(xué)好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學(xué)生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點(diǎn)就是定義本身.

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）；樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).

（2）過程與方法：通過單位圓和角的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，探討任意角的三角函數(shù)值的求法，最終得到任意角三角函數(shù)的定義.

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：利用三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和理解，拓展思維空間.通過學(xué)生積極參與知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，加深對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用和理解，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

生活中的數(shù)學(xué)：唐朝詩人王之渙留給后人的佳作《登鸛雀樓》不僅刻畫了祖國的壯麗山河，而且寫出了登高望遠(yuǎn)的襟懷，其中一句“欲窮千里目，更上一層樓”揭示了“只有站得高，才能看得遠(yuǎn)”這一生活哲理，成為不朽名句.如果從數(shù)學(xué)角度推理，以自己為中心要看到千里內(nèi)（方圓五百千米）的景物，應(yīng)登多少層樓呢？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，利用銳角三角函數(shù)的定義解決生活中的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行必要的啟發(fā).通過此案例我們知道可以利用三角函數(shù)的知識(shí)來解決測(cè)量學(xué)問題，因此解決任意角的三角函數(shù)就至關(guān)重要.

2.螺旋探究，尋覓新知

教師：銳角的三角函數(shù)問題我們可以在直角三角形中解決，現(xiàn)在高中階段我們將角推廣到了任意角，若是大于90°，顯然已經(jīng)不能在直角三角形中完成，那么問題來了——“任意角的三角函數(shù)怎么確定？”

學(xué)生1：應(yīng)該再找一個(gè)新定義，來規(guī)定任意角的三角函數(shù).

學(xué)生2：若能將大于90°的角轉(zhuǎn)化為（0，90°）內(nèi)的角，這樣就可以用銳角的三角函數(shù).

教師：兩位同學(xué)從不同角度思考，一個(gè)是想利用“新知”，一個(gè)想利用“舊識(shí)”，現(xiàn)在我們對(duì)任意角的三角函數(shù)還停留在未知中，顯然對(duì)角的轉(zhuǎn)化還未能實(shí)現(xiàn)，因此，重新找到一種“新”的三角函數(shù)定義就迫在眉睫.為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)定義探究，我們來看以下幾個(gè)問題.

教師：學(xué)了任意角，那么在任意角這節(jié)課中，與之前學(xué)的角的認(rèn)識(shí)有何不同？

學(xué)生3：角有正角也有負(fù)角.

學(xué)生4：角的形成是由邊旋轉(zhuǎn)得到的.

學(xué)生5：終邊相同的角可以表示為｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝.

學(xué)生6：當(dāng)角放在半徑為1的圓中時(shí)，弧長可以表示該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù).

學(xué)生7：角的終邊是繞著原點(diǎn)做周而復(fù)始的圓周運(yùn)動(dòng).

教師：這些都是任意角特有的“新知”，角的終邊這種周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，可以用怎樣的數(shù)學(xué)式子來表示呢？為了解決這個(gè)問題，我們做以下探究，在直角坐標(biāo)系中畫一個(gè)任意角（第一象限角），先取該角為銳角的時(shí)候，這樣就可以利用初中所學(xué)概念得到數(shù)量（角度）與數(shù)量（邊的比值）的變化關(guān)系，可在終邊上任取一點(diǎn)P（xP，yP），過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M，

如圖1所示，根據(jù)三角形的相似性，可得比值的不變性，當(dāng)r= |OP|=1（引入單位圓的概念：在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓），此時(shí)sinα=

圖1

教師：①與②有什么不同？

學(xué)生8：除了用邊長的比值表示三角函數(shù)外，還可以用坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來刻畫三角函數(shù).

教師：此時(shí)②中的三個(gè)式子是否表示函數(shù)關(guān)系？若是，可否用高中對(duì)函數(shù)的定義加以說明；若不是，請(qǐng)說明理由.

教師：學(xué)生10很好地從高中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念來解釋了這三個(gè)式子都是函數(shù)，說得非常好！（學(xué)生鼓掌）

設(shè)計(jì)意圖：此處做法雖簡單，但思想重要.為了順利實(shí)現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生自然能想到仍然以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角的三角函數(shù).初中以直角三角形邊角關(guān)系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標(biāo)系來研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義.這是一個(gè)認(rèn)識(shí)的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識(shí)，能夠形成遷移能力，為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中對(duì)某些知識(shí)進(jìn)行推廣拓展奠定了基礎(chǔ).

3.類比舊知，呈現(xiàn)概念

教師：若終邊在其他象限呢？發(fā)現(xiàn)直角三角形不見了，用邊的比值無法定義三角函數(shù)，但不管終邊在哪一象限，其終邊上的點(diǎn)（與單位圓的交點(diǎn)）仍然存在.也就是說，當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同（指出對(duì)邊、鄰邊、斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)椋热挥薪?，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P（x，y），從而就必然能夠算出三角函數(shù)值.

綜上分析，可得任意角的三角函數(shù)定義：

如圖2，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：

①y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

②x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

圖2

教師：任意角三角函數(shù)是繼必修1學(xué)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)后的又一初等函數(shù)，其中定義域是什么？

學(xué)生11：sinα=y與cosα=x中的任意角α都有坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)，其定義域應(yīng)為R，不能落在y軸上得其定

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)初中函數(shù)理解較膚淺，這里在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)一步研究初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，在思維上遞進(jìn)一個(gè)層次，扣準(zhǔn)高中函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，這是從函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的主要依據(jù)，是準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認(rèn)知上把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵.這樣做能夠使學(xué)生有效地增強(qiáng)函數(shù)觀念.

教師：你能對(duì)初中的三角函數(shù)概念與高中的三角函數(shù)概念做一個(gè)差異比較嗎？

圖3

學(xué)生12：兩種表示都是函數(shù)關(guān)系式，不同之處，高中的三角函數(shù)是將任意角放在單位圓中，用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來定義三角函數(shù)；初中的三角函數(shù)是將銳角放在直角三角形中，用邊的比值來得到三角函數(shù)，高中的定義是初中的推廣.

教師：很好！用坐標(biāo)刻畫是它們最大的不同，所以今后要得到任意角的三角函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是確定終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：做一個(gè)小結(jié)，將初中的定義與高中的新規(guī)做個(gè)比較，讓學(xué)生更深刻理解任意角的三角函數(shù)值是由終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定.

4.學(xué)以致用，鞏固深化

例1求下列三角函數(shù)值：

變式：如果角α的正弦值sinα=-1，你能寫出其中一個(gè)角嗎？

解答過程略.

例2不求值，確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

解答過程略.

變式1：已知角α的終邊過點(diǎn)P（-3，-4），求角α的正弦值、余弦值、正切值.

解答過程略.

變式2：已知角α的終邊過點(diǎn)P（-3a，-4a），a≠0，求角α的正弦值、余弦值、正切值.（留課后思考題）

設(shè)計(jì)意圖：為了學(xué)以致用，也為了加強(qiáng)新定義的理解，幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，設(shè)計(jì)例題及適量的變式，通過課堂積極主動(dòng)的練習(xí)活動(dòng)進(jìn)行思維訓(xùn)練，把“培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力”貫穿于課堂教學(xué)始終.其中，例1，在理解定義的基礎(chǔ)上，初現(xiàn)概念的掌握；例2，可以歸納出角所在的象限與三角函數(shù)值的符號(hào)關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步深化三角函數(shù)與終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)；例3，體現(xiàn)定義理解的細(xì)節(jié)，按定義，若用坐標(biāo)表示三角函數(shù)須是終邊與單位圓的交點(diǎn)，但是，若非單位圓上的點(diǎn)時(shí)，又如何合理轉(zhuǎn)化？進(jìn)一步揭示與定義不符時(shí)的處理方法.

5.歸納整理，強(qiáng)化認(rèn)知

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)剬?duì)三角函數(shù)有哪些新的認(rèn)識(shí)？在認(rèn)知過程中有哪些體會(huì)？

（學(xué)生回答，教師整理）

（1）三個(gè)目標(biāo)：利用單位圓與角α終邊的交點(diǎn)來定義任意角的三角函數(shù)；利用角α終邊上點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置，來確定三角函數(shù)的定義域；利用角α終邊上的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的象限來確定三角函數(shù)值的符號(hào).

（2）兩個(gè)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

（3）一個(gè)方法：類比法.

設(shè)計(jì)意圖：遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時(shí)總結(jié)識(shí)記主要內(nèi)容是上策.此處以問題形式讓學(xué)生自己歸納識(shí)記本節(jié)課的主要內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時(shí)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認(rèn)知能力.

四、教學(xué)反思

1.基于知識(shí)特征的教學(xué)反思

對(duì)于已有概念形成的背景中，如何能在樸實(shí)無華的情形下將新概念解釋清楚，是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn).教學(xué)過程中，老師的角色始終是一個(gè)主導(dǎo)者，通過一個(gè)又一個(gè)的問題將學(xué)生引入課堂深處，整節(jié)課的展開又以學(xué)生為主體，有獨(dú)立思考，也有小組討論，讓學(xué)生積極參與，課堂變成了學(xué)生真正自我探索的天地.學(xué)生在理解、把握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，不僅僅是形式上的記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是領(lǐng)會(huì)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法等.把握數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法的來龍去脈.從初中的三角函數(shù)定義到高中任意角的三角函數(shù)定義，通過設(shè)計(jì)問題串，引領(lǐng)學(xué)生追溯知識(shí)本源，類比知識(shí)差異，讓學(xué)生在知識(shí)發(fā)生過程中進(jìn)行“碰撞思考”，實(shí)現(xiàn)“再定義”，形象概括出任意角的三角函數(shù)定義.

2.基于認(rèn)知方法的教學(xué)反思

本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示課例，并通過課例逐步引入課題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣.教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、思想碰撞、師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.通過問題的螺旋式探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實(shí)施過程中死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，樂于探究，勤于動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力、獲得新知識(shí)的能力、分析與解決問題的能力.F

*本文為全國教育信息技術(shù)研究“十二五”規(guī)劃2014年度立項(xiàng)課題“信息化環(huán)境下高中課堂高效教學(xué)模式研究”（課題立項(xiàng)號(hào)：143032270）的研究成果之一.