☉江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 孫立章

一堂數(shù)學(xué)實驗課的思考

☉江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 孫立章

一、對數(shù)學(xué)實驗的認(rèn)識

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生運用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、測量工具、作圖工具以及計算機(jī)等），通過動手、動腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.數(shù)學(xué)實驗過程中學(xué)生不是被動地接受課本上的現(xiàn)成結(jié)論，而是從自己已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，通過動手、動腦去獲得新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，逐步構(gòu)建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)實驗課的活動設(shè)計要步驟明確，層次清楚，可操作性強(qiáng)，老師要引導(dǎo)學(xué)生對實驗活動的過程與結(jié)果進(jìn)行思維加工，概括提煉.學(xué)生的創(chuàng)新思維往往來自學(xué)習(xí)過程中的偏差與好奇心，而數(shù)學(xué)實驗恰恰可給學(xué)生提供探索發(fā)現(xiàn)、猜想驗證的機(jī)會，恰當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生通過自身的實踐真切感受到發(fā)現(xiàn)的快樂，在實驗過程中學(xué)會思考，學(xué)會創(chuàng)新.

二、一堂數(shù)學(xué)實驗課的內(nèi)容概述

一堂“分割紙片”數(shù)學(xué)實驗課，其主要內(nèi)容如下所示.

實驗準(zhǔn)備：正方形紙片若干張.

實驗內(nèi)容與步驟如下所示.

（1）我們可以將一張正方形紙片按如圖1所示的方式分解成4張正方形紙片（其邊長可以相等，也可以不等）.你能將一張正方形紙片分割成n（n＜10）張小正方形紙片嗎？試試看，并與同伴交流.

（2）你能將一張正方形紙片分割成5張小正方形紙片嗎？試解釋原因.

（3）你能將一張正方形紙片分割成n（n≥10）張小正方形紙片嗎？n的取值會受限制嗎？說說理由，并提供n= 2015時的分割方案.

三、關(guān)于這節(jié)數(shù)學(xué)實驗課的思考

1.實驗步驟的細(xì)化

“課標(biāo)”要求：實驗中步驟的設(shè)計應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，由淺入深，抓住關(guān)鍵，階梯式地逐漸提升，讓學(xué)生在逐步解決問題的過程中體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法.

灑布材料選用AH—70號熱瀝青，用量為1.6kg/m2，然后再灑布一層經(jīng)拌和站加熱除塵的石灰?guī)r石屑，其厚度為0.5cm，粒徑為0.5～1.0cm，其中摻加0.4%瀝青。下封層灑布采用智能碎石灑布車及智能瀝青灑布車進(jìn)行灑布。并用膠輪壓路機(jī)進(jìn)行碾壓。

“分割紙片”這節(jié)課，所安排的實驗步驟起點較高，難度、跨度都偏大，且不利于學(xué)生操作，可以細(xì)化成以下幾個小步驟.

步驟1：“我們知道一張正方形紙片無法分割成2張或3張正方形紙片，你能將一張正方形紙片分割成4張小正方形紙片嗎？”作為本課的第一個實驗，簡單易行（如圖1），容易調(diào)動起學(xué)生的熱情，但它是本節(jié)課研究的起點.

步驟2：“你能將一張正方形紙片分割成6張、7張小正方形紙片嗎？”這一步具有一定的挑戰(zhàn)性，給學(xué)生自主探究、小組合作均提供了足夠的空間.其中分割成6張如圖2所示，分割成7張如圖3所示.

步驟3：“你能將一張正方形紙片分割成8張、10張小正方形紙片嗎？”分割成8張如圖4所示；分割成10張分法多樣，如圖5、圖6所示.比較發(fā)現(xiàn)：分割成4張、6張、8張、…類似，歸納成一般情況：只要分割成2n（n是大于或等于2的整數(shù)）張，均可用同樣的分割方法；分割成4張、7張、10張、…類似，歸納成一般情況：只要分割成3n+1（n是大于或等于1的整數(shù)）張，均可用同樣的分割方法.這一活動旨在引導(dǎo)學(xué)生積累活動經(jīng)驗，向發(fā)現(xiàn)規(guī)律邁出最重要的一步，實現(xiàn)直觀感受向理性思考的過渡.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

步驟4：“你能將一張正方形紙片分割成9張小正方形紙片嗎？”學(xué)生首先會畫出圖7，也有學(xué)生會畫出圖8，但不管哪種都可以看成是前兩類分割方法的組合應(yīng)用.這一步驟促進(jìn)學(xué)生由“做”向“思”的進(jìn)一步轉(zhuǎn)變，推動學(xué)生實現(xiàn)思維的飛躍.

步驟5：“你能將一張正方形紙片分割成5張小正方形紙片嗎？”通過分析感受“分割成5張小正方形紙片”的不可能性，通過歸納、猜想等理性分析手段，得到一張正方形紙片的可分割規(guī)律.

2.分割方法的概括、分類

數(shù)學(xué)實驗中，應(yīng)注重直觀，使在實驗過程中所研究的內(nèi)容“可視化”，讓學(xué)生從中獲得對數(shù)、形的理解，并逐步對其適度抽象，進(jìn)行更高層次上的再實驗，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)的研究方法，使學(xué)生在活動中認(rèn)識并改造自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).

紙片分割過程中發(fā)現(xiàn)，共有3類分割方法，為了實驗探究的方便，增加學(xué)生的“可視化”效果，可以根據(jù)圖形的特征進(jìn)行形象化的概括，使分類更加明確，一目了然.

比較發(fā)現(xiàn)：分割成4張、6張、8張后的圖形（如圖1、2、4）類似，我們可以形象地稱之為“L”型分割，歸納成一般情況：只要分割成2n（n是大于或等于2的整數(shù)）張，均可用“L”型分割；分割成4張、7張、10張后的圖形（如圖1、3、5、6）類似，我們可以形象地稱之為“田”型分割，歸納成一般情況：只要分割成3n+1（n是大于或等于1的整數(shù)）張，均可用“田”型分割；分割成9張小正方形紙片過程中，學(xué)生首先會畫出圖7，也有學(xué)生會畫出圖8，但不管哪種都可以看成是在“L”型基礎(chǔ)上增加一個“田”型，我們可以形象地稱之為組合型.

3.分割結(jié)論的進(jìn)一步探討

課堂上對正方形紙片的分割當(dāng)然不可能探究得太深入，但數(shù)學(xué)實驗會喚醒學(xué)生的主體意識，激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，課后還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的研究，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會數(shù)學(xué)知識的博大精深和相互聯(lián)系，形成新的數(shù)學(xué)模型.

進(jìn)一步研究正方形紙片的分割，發(fā)現(xiàn)“田”型、“L”型、組合型三種分割模式的規(guī)律可以統(tǒng)一為一個代數(shù)式：3m+2n+4（m≥0，n≥0）.

對代數(shù)式3m+2n+4（m≥0，n≥0）做以下幾點說明.

（1）當(dāng)m=0時，3m+2n+4=2n+4.n=0、1、2、3、…時，2n+ 4=4、6、8、10、…，即“L”型分割模式；

（2）當(dāng)n=0時，3m+2n+4=3m+4.m=0、1、2、3、…時，3m+4=4、7、10、13、…，即“田”型分割模式；

（3）當(dāng)m≠0，n≠0時，即組合型分割模式.

聯(lián)系課堂“將一張正方形紙片分割成2015張小正方形紙片”的組合型分割方法的研究，3m+2n+4=2015即3m+2n=2011，因此二元一次方程3m+2n=2011的所有正整數(shù)解就是“將一張正方形紙片分割成2015張小正方形紙片”的所有分割方法.這是一個由數(shù)到形再到方程的模型轉(zhuǎn)換.

4.分割對象的變化

本課的分割對象是“正方形”，我們還可以將“正方形”變成“正三角形”.與分割正方形紙片相比，分割正三角形紙片，雖然是不同的圖形，但它們具有同樣的特征（各邊相等），可以用相同的探究思路，得到一個類似的結(jié)論.教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比、聯(lián)想，依據(jù)分割“正方形紙片”的方法和思路來研究分割“三角形紙片”，實現(xiàn)實驗對象的創(chuàng)新.Z