☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 蔡曉嚴(yán)

關(guān)聯(lián)：建立模型的有效策略

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 蔡曉嚴(yán)

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）提出的十個(gè)核心詞之一，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑．因此，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)重視模型思想的滲透，讓學(xué)生經(jīng)歷建立模型、求解模型的過(guò)程，充分體會(huì)模型思想的價(jià)值．在近期的中考一輪復(fù)習(xí)課上，筆者將模型思想滲透在審題教學(xué)之中，抓住題目中的關(guān)鍵信息，將文本、圖形與數(shù)學(xué)模型緊密關(guān)聯(lián)在一起，形成了問題解決的快速通道．現(xiàn)結(jié)合部分教學(xué)片斷談一些體會(huì)，希望能給您帶來(lái)一些啟示．

一、緊扣基本概念，提取解題模型

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)模型的生成基礎(chǔ)，不同的數(shù)學(xué)概念一般會(huì)生成與之配套的模型．因此，在解題教學(xué)中，我們可以抓住題中的基本概念，利用基本概念與數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)，努力從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取出與之匹配的解題模型，鋪平問題解決的道路．

案例1“概率”復(fù)習(xí)片斷.

例1在三只乒乓球上，分別寫有三個(gè)不同的正整數(shù)（用a、b、c表示）．三只乒乓球除上面的數(shù)字不同外，其余均相同．將三只乒乓球放在一個(gè)盒子中，無(wú)放回地從中依次摸出兩只乒乓球，將球上面的數(shù)字相加求和．當(dāng)和為偶數(shù)時(shí)，記為事件A；當(dāng)和為奇數(shù)時(shí)，記為事件B．設(shè)計(jì)一組a、b、c的值，使得事件B發(fā)生的概率為并說(shuō)明你的正確性．

教師：認(rèn)真閱讀例題，想一想，這道題目要我們做什么？

教師：怎么解決這個(gè)問題呢？

學(xué)生2：因?yàn)槭歉怕蕟栴}，所以，我們可以用樹形圖或表格來(lái)列舉出所有等可能的結(jié)果，然后根據(jù)所列結(jié)果，選擇合適的數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)論．

教師：好的，樹形圖是化解概率問題的一個(gè)很好的模型，接下來(lái)，大家就用這個(gè)模型來(lái)解決這道題目．

（學(xué)生自主解答，教師巡視指導(dǎo)，并請(qǐng)一名學(xué)生在黑板上畫出樹狀圖，給出了完整的解題過(guò)程）

教師：非常棒！樹狀圖和表格是我們列舉概率事件結(jié)果的模型，在解決概率問題時(shí)經(jīng)常用到．用好這兩個(gè)與“概率”相關(guān)的模型，我們就可以順利化解一些較為復(fù)雜的概率問題了．

案例分析：在學(xué)生學(xué)習(xí)“概率”時(shí)，不僅知道概率的基本含義，還深入學(xué)習(xí)了概率的求法，尤其對(duì)與之緊密關(guān)聯(lián)的用以列舉事件發(fā)生結(jié)果的“樹狀圖”與表格這兩種數(shù)學(xué)模型有了較為深刻的認(rèn)識(shí)．在解答概率問題時(shí)，這兩種數(shù)學(xué)模型是學(xué)生最容易想到的，而且也是化解現(xiàn)階段概率問題最有效的方法．所以，教者充分利用學(xué)生已有問題解決的經(jīng)驗(yàn)，讓他們從審題入手，理清例題的解題目標(biāo)，將“概率”這一基本概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的解題模型（樹狀圖、表格）關(guān)聯(lián)起來(lái)，以與基本概念匹配的解題模型的應(yīng)用推動(dòng)有效的解題過(guò)程的形成．

二、用好符號(hào)替代，形成常用模型

在數(shù)學(xué)問題中，一些未知的數(shù)量在題目中是顯性存在的．在例題教學(xué)中，我們應(yīng)努力將未知量與未知數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生將這些能夠直接看出的未知數(shù)量用未知數(shù)x，y直接“代入”，抽取出指向問題解決的數(shù)量關(guān)系，從而得出一些常用的數(shù)學(xué)模型，如方程（組）、不等式（組）等．

案例2“方程組的應(yīng)用”復(fù)習(xí)片斷.

例2小明和小麗到文化用品商店幫助同學(xué)們買文具．小明買了3支筆和2個(gè)圓規(guī)共花19元；小麗買了5支筆和4個(gè)圓規(guī)共花35元．每支筆多少元？每個(gè)圓規(guī)多少元？

教師：題中有哪些未知數(shù)量？

學(xué)生1：筆的單價(jià)和圓規(guī)的單價(jià)．

教師：如果我們?cè)O(shè)每支筆x元，每個(gè)圓規(guī)y元．將x和y“代入”到題目中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生2：3x和2y共19元；5x和4y共35元．

教師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

學(xué)生3：直接將x，y分別代入到題中筆和圓規(guī)的位置上，就可以發(fā)現(xiàn)這樣的關(guān)系了．

（在學(xué)生敘述過(guò)程中，教師用紅色粉筆將題中的“筆”和“圓規(guī)”分別用x，y“代入”）

教師：很好！說(shuō)說(shuō)你的解題模型吧！

教師：真不錯(cuò)！請(qǐng)大家給出完整過(guò)程．

案例分析：在應(yīng)用題解答中，方程（組）和不等式（組）是學(xué)生常用的數(shù)學(xué)模型．案例2中，教者抓住題目的特點(diǎn)，讓學(xué)生用“符號(hào)替代”的方式發(fā)現(xiàn)題中存在的數(shù)量關(guān)系建構(gòu)方程組．從問題解決的角度看，教師的引導(dǎo)和學(xué)生的探究是成功的，解題模型的順利得到讓接下來(lái)“給出完整過(guò)程”成為可能．而上述探究與交流的過(guò)程，不僅提取了學(xué)生腦海中“等量代換”的經(jīng)驗(yàn)，還將等量代換由“同質(zhì)代換”（代換的內(nèi)容相同，比如同為文字）演變?yōu)椤爱愘|(zhì)代換”（符號(hào)代替文字），找到了一條建構(gòu)常用數(shù)學(xué)模型的快速通道．

三、定格特殊位置，獲取幾何模型

“圖形與幾何”是義務(wù)教育階段的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容．學(xué)生在學(xué)習(xí)這一版塊知識(shí)時(shí)，會(huì)將一些蘊(yùn)含著豐富數(shù)學(xué)知識(shí)的幾何圖形定格為幾何模型，融入到已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，比如角平分線模型、垂直平分線模型等．這些幾何模型，不僅指向幾何知識(shí)本身，還與方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型有著密切的聯(lián)系，是學(xué)生化解一些綜合問題的“利器”．

案例3“相似三角形”復(fù)習(xí)片斷.

例3如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）.

圖1

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀題目，并找出題中可能存在的數(shù)學(xué)模型．

學(xué)生審題，標(biāo)記并作圖．5分鐘后，全班交流．教師：說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn)吧！

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)圖中存在“一線三直角”模型．

教師：哦！是嗎？

學(xué)生2：是的．根據(jù)題意可得，在△PAD和△PBC中，∠A＝∠B＝90°．如果△PAD與△PBC是相似三角形，那么，頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B一定是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．如圖2，∠DPA＝∠PCB．易得，∠DPC與∠A、∠B一樣都是直角．

教師：很好！這就是“一線三直角”模型，還有其他模型嗎？

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)的也是“一線三直角”模型，如圖3，這時(shí)，點(diǎn)P的位置離B點(diǎn)近了些．

學(xué)生4：我覺得這道題中不光有“一線三直角”模型，還有“光線反射”模型．除了直角外，我覺得兩個(gè)三角形中的點(diǎn)P也可以是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．如圖4，此時(shí)∠DPA＝∠CPB，這實(shí)際上類似于物理上的“光線反射”模型，此時(shí)兩個(gè)三角形同樣是相似的．

圖2

圖3

圖4

教師：真不錯(cuò)，你還將物理模型移植到了數(shù)學(xué)上來(lái)了！這兩種看似不同的數(shù)學(xué)模型，我們能歸為一類嗎？

學(xué)生5：都叫“K形圖”吧！

教師：嗯！確實(shí)都像，就叫“K形圖”吧！那么，這道題中符合要求的點(diǎn)P一共有幾個(gè)呢？

學(xué)生（齊答）：3個(gè)！

案例分析：在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，幾何圖形因其直觀性，成為學(xué)生最容易接受的數(shù)學(xué)模型，成為他們解決幾何問題的重要工具.案例3中，教師讓學(xué)生從探究P點(diǎn)位置入手，挖掘題中可能存在的數(shù)學(xué)模型，“一線三直角”模型、“光線反射”模型，以及最終歸納得出的“K形圖”，學(xué)生不僅關(guān)注了“形”上的相似，還理清了這些模型的知識(shí)起點(diǎn)和數(shù)學(xué)道理，為這一模型在今后解題中的應(yīng)用掃清了障礙.這樣的教學(xué)，以例題求解為抓手，突出解題一般方法的呈現(xiàn)，將模型思想滲透到教學(xué)之中，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，提升了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

四、抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，建構(gòu)組合模型

初中階段，數(shù)學(xué)題的信息呈現(xiàn)方式很多.不僅有純文本信息，還有圖形信息、圖像信息和表格信息.雖然信息的呈現(xiàn)方式不同，但我們只要抓住其中的關(guān)鍵信息，就可以建構(gòu)出有效的解題模型.為此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生捕捉關(guān)鍵信息的能力，并引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)鍵信息與數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)起來(lái)，提升他們問題解決的能力.

案例4“一元二次方程”復(fù)習(xí)片斷.

3.模型的產(chǎn)出。模型的產(chǎn)出主要是一系列計(jì)算結(jié)果,這些結(jié)果基于模型的投入和假設(shè)條件,經(jīng)過(guò)相關(guān)財(cái)務(wù)公式計(jì)算而來(lái)。主要的結(jié)果包括:資本支出;削減股本;提取債務(wù);服務(wù)費(fèi)(對(duì)于特許經(jīng)營(yíng)權(quán)項(xiàng)目為車輛通行費(fèi));其他運(yùn)營(yíng)收入(對(duì)于特許經(jīng)營(yíng)權(quán)項(xiàng)目表現(xiàn)為次級(jí)收入,如特許經(jīng)營(yíng)權(quán)公路相鄰的土地開發(fā)收入);運(yùn)營(yíng)支出;利息;稅;償債;(收入)損益表;資產(chǎn)負(fù)債表;現(xiàn)金流(現(xiàn)金來(lái)源和使用);貸款方的債務(wù)償還能力比率(流動(dòng)比率,利息償付比率,債務(wù)與股本之間的比率等);投資者的回報(bào);凈現(xiàn)值(以便公共主管部門能夠?qū)Σ煌稑?biāo)進(jìn)行比價(jià))等。

例4t是實(shí)數(shù)，若a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則（a2-1）（b2-1）的最小值是_________.

教師：題目告訴我們哪些信息？

學(xué)生1：一元二次方程x2-2x+t-1=0，這個(gè)方程有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根a，b.

教師：那這道題要我們求什么？

學(xué)生2：（a2-1）（b2-1）的最小值.

教師：這題用什么數(shù)學(xué)模型來(lái)求解？哪些詞能引導(dǎo)你發(fā)現(xiàn)解題模型？

學(xué)生3：最小值，我感覺可能與“帶范圍的一次函數(shù)或二次函數(shù)”有關(guān)；a，b是兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，我覺著還可能與“根與系數(shù)的關(guān)系”有關(guān).

教師：到底是不是這些模型呢？大家先試著將式子（a2-1）（b2-1）變形，速度快的同學(xué)可以試著去解一解.

學(xué)生4：通過(guò)變形，（a2-1）（b2-1）=（ab）2-（a+b）2+2ab+1.

教師：你們得到的是這個(gè)結(jié)果嗎？

學(xué)生（齊答）：是的！

教師：那接下來(lái)，該怎么辦呢？

學(xué)生5：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到a+b=2，ab= t-1.代入變形后的式子可得（a2-1）（b2-1）=t2-1.顯然，這是一個(gè)二次函數(shù)，與學(xué)生3猜想的數(shù)學(xué)模型是一致的.所以，只要求出這個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)就可以得到它的最小值了.

學(xué)生6：他說(shuō)得不對(duì)！這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)（0，-1），不在取值范圍內(nèi)！

教師：哦！是嗎？

學(xué)生7：是的！根據(jù)“a，b是兩個(gè)非負(fù)實(shí)根”，不僅能得到根與系數(shù)的關(guān)系式，還能得到：①Δ≥0；②a+b＞0；③ab＞0三個(gè)不等式，進(jìn)而可以求出t的取值范圍為1≤t＜2，這一段取值恰好在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè).所以，當(dāng)t取1時(shí)，函數(shù)可以取得最小值為-3.

教師：太棒了！那么，題中究竟是哪些關(guān)鍵詞語(yǔ)對(duì)你建立模型具有提示作用呢？

學(xué)生8：“兩個(gè)非負(fù)實(shí)根”告訴我們很多信息，既有根與系數(shù)的關(guān)系，又有根的判別式，還有不等式（組），我們應(yīng)該先將能得到的模型寫下來(lái)，然后在選擇使用.

學(xué)生9：題中的“最小值”，告訴我們問題與函數(shù)有關(guān)，應(yīng)該是函數(shù)圖像的最低點(diǎn).

教師：你們說(shuō)的都很對(duì)！認(rèn)真審題，將題中關(guān)鍵詞語(yǔ)與解題模型關(guān)聯(lián)起來(lái)，不僅是化解這道題目的有效策略，還是解決其他數(shù)學(xué)問題的很好的方法，希望大家在今后解題時(shí)要關(guān)注此法！

案例分析：在數(shù)學(xué)問題中，常隱藏著一些能夠傳遞關(guān)鍵解題信息的詞語(yǔ).如果能將這些關(guān)鍵詞語(yǔ)與常見數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)起來(lái)，將有利于學(xué)生展開聯(lián)想，形成有效的解題路徑.因此，培養(yǎng)學(xué)生剖析關(guān)鍵詞語(yǔ)的能力就應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).案例4中，教師引導(dǎo)學(xué)生從題中的“兩個(gè)非負(fù)實(shí)根”和“最小值”入手展開聯(lián)想，并嘗試給出了函數(shù)、不等式（組）等解題模型組.這些模型建立在學(xué)生豐富的知識(shí)儲(chǔ)備和解題經(jīng)驗(yàn)之上，是對(duì)已有解題經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)模型重新整合，借用例題的講評(píng)，教師將一些單一的數(shù)學(xué)模型和分散的解題經(jīng)驗(yàn)逐步鏈接起來(lái)，形成了便于后面學(xué)習(xí)與應(yīng)用的模型串.可見，基于關(guān)鍵詞語(yǔ)剖析為起點(diǎn)的模型教學(xué)，應(yīng)突出關(guān)鍵詞語(yǔ)的發(fā)散聯(lián)想，注重詞語(yǔ)與模型的關(guān)聯(lián)，讓模型生成與審題析題同步.

數(shù)學(xué)模型來(lái)自于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，也服務(wù)于學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng).在學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)之中，數(shù)學(xué)模型既與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能有關(guān)，還與數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系.因此，要想用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，就應(yīng)從問題本身入手，找尋出能夠與模型關(guān)聯(lián)的“關(guān)鍵點(diǎn)”，這些“點(diǎn)”可以是數(shù)學(xué)的基本概念，也可以是圖形的特殊位置，或者是問題的關(guān)鍵詞語(yǔ).找到這些與模型緊密關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵信息，對(duì)學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出有用的數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的.所以，我們應(yīng)立足日常課堂教學(xué)，將模型思想滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決之中，推動(dòng)他們形成建構(gòu)模型、應(yīng)用模型的意識(shí).H