☉江蘇省南通市第一初級中學(xué) 周紅娟

從“查漏補(bǔ)缺”到“熟能生巧”
——以“平行四邊形”復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

☉江蘇省南通市第一初級中學(xué) 周紅娟

中考復(fù)習(xí)是一個(gè)老話題，各地各校都投入了很多精力研究，教師們常常都分一輪（分知識(shí)塊）、二輪（分專題或題型）復(fù)習(xí)，然而一輪復(fù)習(xí)課的“范式”多是先梳理知識(shí)點(diǎn)（填空方式），再典型例題講練，然后是變式訓(xùn)練.最近筆者有機(jī)會(huì)在南通市中考復(fù)習(xí)研討會(huì)執(zhí)教中考一輪復(fù)習(xí)課——“平行四邊形”復(fù)習(xí)課，并沒有采用上述“范式”教學(xué)，而是把知識(shí)梳理蘊(yùn)藏到課前復(fù)習(xí)題中，開課之后就圍繞相關(guān)問題對話、交流與追問，也起到了很好的教學(xué)效果.本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)、部分教學(xué)對話，并反思復(fù)習(xí)課如何從“查漏補(bǔ)缺”走向“熟能生巧”，與更多同行研討交流.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前預(yù)習(xí)

題1：如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AO＝3，∠ABC=50°.你能求出圖中哪些線段的長和角的度數(shù)？你還能得到哪些結(jié)論？

圖1

題2：如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB//CD.添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD是平行四邊形，并說明理由.

（二）課堂學(xué)習(xí)

例1如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上的一點(diǎn)E，若___________，則AB的長是____________.（添加條件，使能求出AB的長度）

圖2

圖3

例2如圖3，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，AE∶ED＝2∶1，連接BE，和對角線AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請求出AO∶OC的值.

例3如圖4，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC，若AE=7，AB=5，AD=，求AC的長.

圖4

圖5

（三）變式生長

例3的變式如圖5，以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）在平面內(nèi)確定點(diǎn)F，使以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在直線AD上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求MN的最小值.

（四）小結(jié)與作業(yè)（略）

二、課堂生成

教學(xué)片斷1（開課階段）如下所示.

師：同學(xué)們課前已練習(xí)好了，下面我們來交流一下吧！

生1：我能得到兩對全等三角形.

“不止兩對”，下面馬上有同學(xué)插嘴.

生1（思考了一會(huì)）：有四對，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.

師：很好.平行四邊形的每一條對角線把它分成一對大的全等三角形，兩條對角線相交再把它分成兩對小的全等三角形.還有其他結(jié)論嗎？

生2：我能求出BC邊的取值范圍是1＜BC＜11，對角線BD的取值范圍是4＜BD＜16.

師：這位同學(xué)將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，其實(shí)探究了平行四邊形的存在性問題，非常棒.

生3：我能得到S△ABO=S△CBO=S△COD=S△AOD.

師：很好.其中有兩對三角形全等，所以面積相等，請問S△ABO=S△CBO的理由是什么呢？

生4：由平行四邊形性質(zhì)可得OA=OC，這兩個(gè)三角形等底同高.

師：講解思路清晰，非常好！老師在批閱大家的預(yù)習(xí)作業(yè)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有同學(xué)還得到了∠ABD=∠CBD=25°的結(jié)論，你贊同嗎？

生5：這是菱形才有的性質(zhì)，平行四邊形沒有.

師：對！菱形才有對角線平分一組對角的性質(zhì)，一般的平行四邊形沒有，例1也幫我們證實(shí)了這一點(diǎn).

師：關(guān)于例1，大家在課前設(shè)計(jì)了一些不錯(cuò)的題目，但是也有些題目有點(diǎn)瑕疵.你能發(fā)現(xiàn)嗎？比如有同學(xué)設(shè)計(jì)了問題：若CD=5，則AB的長是5.請你揣摩一下.

生6：他這個(gè)問題都用不到角平分線這個(gè)條件.

師：問題找出來了.你分析下出現(xiàn)這個(gè)問題的原因？

生6：我覺得是學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，應(yīng)付作業(yè).

師：我相信這樣設(shè)計(jì)題目的同學(xué)自己也發(fā)現(xiàn)有問題，但不愿再多想，希望下次能改進(jìn).下面看另一同學(xué)的設(shè)計(jì)：若AD=13，CD=5，則AB=8.

生7：他可能是先證明得DE=CD=5，然后證明AB= AE=AD-DE=13-5=8.

師：那么問題在哪兒呢？

生7：AB和CD是平行四邊形的對邊，應(yīng)該相等，他可能做的時(shí)候忘記用這個(gè)條件了.

師：分析得很在理.同學(xué)們基本都能看出如圖2所示的基本圖形，但是卻忽略了平行四邊形的對邊相等這一條件.解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們不能把條件孤立，這樣常常導(dǎo)致題目解不出或是出錯(cuò).其實(shí)這樣分析下來，我們就得到很多同學(xué)設(shè)計(jì)的一類好問題：若AD=10，則AB=5.

師：還有一種設(shè)計(jì)：若∠BEC=90°，∠EBC=30°，CE= 5，則AB=5.

生8：這個(gè)和剛才的問題有類似情況，就是條件有多余.我們是可以證明∠BEC=90°的.

師：哪位同學(xué)簡單證明給我們聽一下？（生9）你來試試.

生9：由平行四邊形得AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD= 180°，再加上角平分線的條件，則∠EBC+∠BCE=90°，所以∠BEC=90°.

師：很好.其實(shí)這也是我們平時(shí)常常用到的基本圖形，平行線截得的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.只需將“∠BEC=90°”這一條件去掉，就是一道好題！當(dāng)然還有同學(xué)又稍作變換，設(shè)計(jì)成“若CE=3，BE=4，則AB=2.5.”這樣的好問題.同學(xué)們課后可以繼續(xù)探究！

教學(xué)片斷2如下所示.

以下為例3的變式問題的教學(xué)對話.

師：從剛才我巡視的情況看，還有一部分同學(xué)沒有將符合條件的點(diǎn)F都找出來.那么該如何畫圖確定點(diǎn)F呢？

生10：要分類討論.

師：如何分？

生10：分成AB是邊和對角線兩類情況：如果AB是邊，那么AB∥DF，可以確定兩個(gè)點(diǎn)F；如果AB是對角線，那么AB與DF互相平分，則確定點(diǎn)F.

生11：在A、B、D、F四個(gè)點(diǎn)中，有三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D都是確定的，所以我認(rèn)為也可以按AB、AD、BD分別作為對角線來分類.

師：剛才我們兩位同學(xué)按“兩個(gè)定點(diǎn)”和“三個(gè)定點(diǎn)”兩類不同問題，進(jìn)行了不同的分類討論，當(dāng)然，我們也可以將“三個(gè)定點(diǎn)”按“兩個(gè)定點(diǎn)”的方法進(jìn)行討論，大家的想法都很好.你能快速地寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)嗎？

（大約2分鐘后，很多同學(xué)都舉手了）生12：（-4，7）或（-4，-7）或（4，-1）.師：能講一下你是如何求的嗎？

生12：當(dāng)AB是邊時(shí)，就用坐標(biāo)平移規(guī)律來求，當(dāng)AB是對角線時(shí)，AB的中點(diǎn)也是DF的中點(diǎn)，可以用中點(diǎn)公式來求.

師：簡潔而清楚.最后，我們來看例3的變式第二問.請大家先獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流討論.

（大約5分鐘后）

師：哪一小組先來談?wù)勀銈兊南敕ǎ?/p>

生13：我們還沒求出來，只是有思路.

師：不要緊，你先談思路.

生13：和前面的問題一樣，我們分成BC是邊和BC是對角線兩種情形.當(dāng)BC是邊時(shí)，MN＝BC＝5；當(dāng)BC是對角線時(shí)，如圖6，設(shè)BC與MN交于點(diǎn)P，MN＝2MP，所以當(dāng)PM最短時(shí)，MN最短.而當(dāng)PM⊥AD時(shí)，PM最短.但是我們現(xiàn)在還沒求出來.

圖6

師：剛才這一組同學(xué)給我們講了他們的想法，由于時(shí)間關(guān)系，課堂上只能討論到這里，請大家課后積極思考，將你的方法整理出來.

后記：在第二天的作業(yè)中，學(xué)生展示了幾種不同解題思路.

思路1：利用PM⊥AD求出PM所在直線的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)之間的距離公式求PM的長度；

思路2：發(fā)現(xiàn)M是直線AD：y=-x-4上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（a，-a-4），利用兩點(diǎn)間的距離表示出PM2，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；

思路3：過P作y軸的平行線交直線AD于點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)：△PMQ是等腰直角三角形，先求出PQ的長度，進(jìn)而求PM的長度.

當(dāng)然，還有其他大同小異的方法.

三、教后反思

上面呈現(xiàn)了教學(xué)流程與部分教學(xué)對話，以下再圍繞該課的教學(xué)立意給出一些整體解讀與思考.

1.中考一輪復(fù)習(xí)課追求查漏補(bǔ)缺

進(jìn)入中考復(fù)習(xí)之后，師生都有著強(qiáng)烈的功利愿望，即希望在即將到來的中考中獲得較為理想的分?jǐn)?shù)，這時(shí)不能遺漏課標(biāo)、教材上涉及的知識(shí)點(diǎn)、概念或性質(zhì).那么，在中考一輪復(fù)習(xí)中，更加側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)的覆蓋與梳理，教師該怎樣帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)呢？是羅列知識(shí)點(diǎn)以填空方式給出，還是梳理成知識(shí)框圖讓學(xué)生填空？從上面的課例發(fā)現(xiàn)，我們沒有這樣做.而是通過前置課前預(yù)習(xí)作業(yè)，精心預(yù)設(shè)兩道覆蓋面較廣的練習(xí)題，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)儲(chǔ)備回顧和復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，再通過開課階段對這些問題的對話與追問，很好地起到了復(fù)習(xí)概念、梳理知識(shí)框架的作用.

2.中考一輪復(fù)習(xí)課需要熟能生巧

我們知道，當(dāng)前中考試卷一般都有25～28道考題，這對解題速度有較高的追求，特別是基礎(chǔ)題、中檔題的解題速度往往決定了考生是否有更多時(shí)間投入到具有區(qū)分功能的把關(guān)題上去.那么在一輪復(fù)習(xí)中，注意訓(xùn)練學(xué)生的解題速度是較為現(xiàn)實(shí)的目標(biāo).追求熟悉題、中檔題的熟能生巧，其中頗受爭議的“一看就會(huì)、一做就對”也是一些應(yīng)試的無奈之舉.然而，究竟帶給學(xué)生怎樣的熟能生巧，生出什么樣的“巧”，而不是熟能生厭，倒是值得研究的話題.可以發(fā)現(xiàn)，在上文教學(xué)片斷2中，我們通過追問學(xué)生的理解，向問題的本質(zhì)不斷逼近，使得解法得到優(yōu)化，思路得以開闊，解題途徑得到開拓，這一方面追求了問題解決，另一方面也實(shí)現(xiàn)了我們所追求的熟能生巧.

四、寫在后面

復(fù)習(xí)課是一首老歌，一方面復(fù)習(xí)內(nèi)容是舊的，另一方面有些復(fù)習(xí)課的“范式”（如知識(shí)梳理、例題講解、變式練習(xí)等）由來已久，如何追求老歌新唱，唱出新意，是我們努力追求的.當(dāng)然，我們的努力還是初步的，期待批評指正.

1.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，52（10）.

2.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.肖維松.熟能生巧：復(fù)習(xí)課的一種追求［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（7）.

4.張奠宙.熟能生巧：是精熟，不是爛熟［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（5）.

5.李士锜.熟能生巧嗎［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（3）.

6.李士锜.熟能生笨嗎？——再談“熟能生巧”問題［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（3）.

7.李士锜.熟能生厭嗎——三談熟能生巧問題［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（1）.

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