林晴嵐 陳柳娟 張 潔

(福建教育學(xué)院理科研修部，福建 福州 350025)

近幾年全國高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I 卷II 卷在考查內(nèi)容上給高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)了課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)內(nèi)容目標(biāo)，具有很好的教學(xué)導(dǎo)向功能作用。下面我們主要選擇近三年全國課標(biāo)高考卷為參考依據(jù);(從2013 年開始全國高考課程標(biāo)準(zhǔn)卷又分為Ⅰ卷、Ⅱ卷)進(jìn)行探析。

一、試卷中考點(diǎn)、題型、題量特色探析

表:2013—2015 年全國理、文科卷考點(diǎn)、題型、題量分布統(tǒng)計表

全國理、文科卷考點(diǎn)、題型、題量分值分布表

從以上圖表分析情況看，每份試卷的試題都是考查基本知識、基本技能和基本方法的常規(guī)題型，試題構(gòu)成的總體穩(wěn)定，風(fēng)格特點(diǎn)基本不變。

1.1 全國卷數(shù)學(xué)試題總分、題型、題量

每年全國卷數(shù)學(xué)文、理科試題總分都是150 分，各題型、題量分布為:選擇題12 題，每題5 分;填空題4題，每題5 分;解答題5 題，每題12 分;選考題由3 選1題，1 題分值10 分。每年全國卷數(shù)學(xué)文、理科試題結(jié)構(gòu):第1—12 題為選擇題，第13－16 題為填空題，第17－21 題為解答題，第22－24 題為3 選1 題選考題，總分、題型、題量、分值分布都保持不變，非常穩(wěn)定。

1.2 全國卷數(shù)學(xué)試題考點(diǎn)分布

每年全國卷數(shù)學(xué)文、理科試題解答題考查內(nèi)容基本穩(wěn)定題位:第17 題都是考查解三角形或數(shù)列問題，第18、19 題為考查立體幾何或統(tǒng)計與概率(正態(tài)分布、回歸分析、離散型隨機(jī)變量等)問題，第20 題為考查解析幾何(直線與拋物線、圓、橢圓等)問題，第21 題為考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，第22 題為考查幾何證明選講，第23 題為考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程，第24 題為考查不等式選講。

每年全國卷數(shù)學(xué)文、理科試題選擇、填空題考查內(nèi)容基本有:集合、復(fù)數(shù)、三角誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角函數(shù)的最值、解三角形、簡易邏輯、算法的程序框圖、線性規(guī)劃、直線與圓的方程、雙曲線的定義、雙曲線的漸近線、雙曲線的離心率、橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與橢圓、直線與拋物線、拋物線性質(zhì)、統(tǒng)計中分層抽樣、統(tǒng)計(柱形圖)、概率(獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))、古典概型、條件概率、平面向量(向量數(shù)量積)、三視圖、球的表面積、幾何體(線面關(guān)系、體積、角)、圓中弦長計算、圓錐與球、二項(xiàng)式定理(理科)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式、數(shù)列求和、導(dǎo)數(shù)幾何意義、對數(shù)運(yùn)算、函數(shù)單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)與不等式、函數(shù)動點(diǎn)問題、偶函數(shù)的性質(zhì)、高次函數(shù)與二次函數(shù)、分段函數(shù)、函數(shù)圖像與性質(zhì)等。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科的命題是以重點(diǎn)知識構(gòu)建試題的主體，選材寓于教材又高于教材，試題基本上涵蓋高中課程中所學(xué)內(nèi)容，題型的設(shè)置幾年基本保持一致，選擇題、填空題、解答題各部分難易設(shè)置合理，突出對主干知識的考查。例如對三角、數(shù)列、立幾、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等主干知識中核心內(nèi)容的考查;同時在基礎(chǔ)題上考查了集合運(yùn)算、復(fù)數(shù)、線性規(guī)劃、三視圖、算法初步、平面向量、古典概型等內(nèi)容，但是題型呈現(xiàn)的方式也有所變化，體現(xiàn)出命題人穩(wěn)中求變，既注重在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)思想方法的考查，對數(shù)學(xué)能力的考查，也注重創(chuàng)新思維的思想考查，試題呈現(xiàn)方式符合課程改革理念和教育發(fā)展方向。命題人從學(xué)科整體高度和思維價值高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)的交會點(diǎn)處設(shè)計試題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查［1］，既全面又突出重點(diǎn)，試題立意創(chuàng)新又樸實(shí)無華。

二、彰顯課標(biāo)理念特色試題探析

數(shù)學(xué)高考每年都有一些背景新穎、內(nèi)涵深刻、寓有新意的試題。

2.1 展現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價值弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

以數(shù)學(xué)史為試題情景材料，可以引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決問題的過程，這樣設(shè)計的試題考查學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能以及分析解決問題的綜合能力。

例1(2015 年全國課標(biāo)理科I 卷6 題)

《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8 尺，米堆的高為5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1 斛米的體積約為1.62 立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

例2(2015 年全國課標(biāo)理科II 卷第8 題)

右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b 分別為14，18，則輸出的a=

解決這類問題，不要被描述數(shù)學(xué)史的一大段文字所產(chǎn)生麻煩的心情，其實(shí)只要仔細(xì)審題，從中將有效信息進(jìn)行加工、分析，就能找到解決問題的突破口將問題解決好。

2.2 展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，滲透數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心。數(shù)學(xué)思維能力是以數(shù)學(xué)知識為素材，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符合表示、運(yùn)算求解、演繹證明和模式構(gòu)建等諸方面，對客觀事物中的空間形式、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷，形成和發(fā)展理性思維，構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的主體。數(shù)學(xué)精神其內(nèi)涵是人們在依靠思維能力對感性材料進(jìn)行一系列抽象、概括、分析和綜合，形成概念、判斷或推理的認(rèn)識過程中反映出的。

2.1.1 以考查“空間想象能力與運(yùn)算能力”相結(jié)合的問題

在近年的高考全國卷中三視圖都以選擇題的形式出現(xiàn)，試題始終堅持，要求考生首先根據(jù)三視圖還原幾何體，再度量計算幾何體的棱長、面積、體積等。

例3(2015 年全國課標(biāo)卷理科Ⅰ卷第11 題)

圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16+20π，則r=

A.1 B.2 C.4 D.8

解析:由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r。

例4(2013 年全國課標(biāo)卷理科Ⅰ卷第8 題)

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

解析:取棱長為4的正方體，然后把主視圖、俯視圖、側(cè)視圖，分別畫在正方體的三個側(cè)面上，然后通過調(diào)整各條棱，從而還原出幾何體(前半部分為長方體后半部分為圓柱體)。

例5(2014 年全國課標(biāo)卷理科Ⅰ卷第12 題)

如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的每條棱中，最長的棱的長度為( )

解析:要求考生深刻理解三視圖的成圖原理，再借助長方體，把幾何體的直觀圖還原出來，接著計算幾何體的各條棱長，從而得到最長棱的長度，對考生的空間想象能力和計算能力的要求比較高。

評注:三道三視圖，都體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容中對立體幾何的教學(xué)要求，即“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算”，特別是例3。

2.1.2 以考查推理能力的創(chuàng)新問題

例6(2014 年全國卷1 理科第14 題)

甲、乙、丙三同學(xué)被問到是否去過A、B、C 三個城市時，甲說:我去過的城市比乙多，但沒有去過B 城市;乙說:我沒去過C 城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一個城市。由此可判斷乙去過的城市為___.

解決這類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，從中尋找解決問題的突破口。

2.1.3 以考查數(shù)學(xué)應(yīng)用的創(chuàng)新問題

數(shù)學(xué)的發(fā)展受到社會環(huán)境影響，同時也推動人類社會的進(jìn)步，在試題中滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用，可以通過設(shè)計適合的試題情境，考查學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析、解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的問題。

例7(2015 年全國課標(biāo)理科II 卷第18 題)

某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B 兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20 個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:

(Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可);

(Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級:

滿意度評分 低于70 分 70 分到89 分 不低于90分滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意

記時間C:“A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于B 地區(qū)用戶的滿意度等級”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C 的概率。

例8(2013 年全國課標(biāo)文科I 卷第18 題)

為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A 藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20 位患者服用A 藥，20 位患者服用B 藥，這40 位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位:h).試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下:

服用A 藥的20 位患者日平均增加的睡眠時間:

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B 藥的20 位患者日平均增加的睡眠時間:

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好?

(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好?

例9(2015 年全國課標(biāo)文科I 卷第3 題)

根據(jù)下面給出的2004 年至2013 年我國二氧化碳年排放量(單位:萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是( )

A.逐年比較，2008 年減少二氧化碳排放量的效果最顯著

B.2007 年我國治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效

C.2006 年以來我國二氧化碳年排放量呈減少趨勢

D.2006 年以來我國二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)

這類試題都貼近生活，具有現(xiàn)實(shí)意義，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計概率知識的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)意識，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力等方面有著很好的導(dǎo)向作用，體現(xiàn)了新課程注重應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，滲透數(shù)學(xué)精神。

［1］陳昂，任子朝.突出理性思維，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化——數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透［J］.中國考試，2015(3).

［2］田祥高.2014 年全國數(shù)學(xué)高考試題創(chuàng)新特色探析［J］.中國考試，2015(2).