賈洪辰，于 勇，張 彬

（北京遙測技術(shù)研究所 北京 100076）

引 言

在對艦船目標(biāo)進(jìn)行SAR成像的實際項目與工程應(yīng)用中，常常需要考慮大斜視、前視等極端情況，此時SAR圖像的分辨率難以得到保證。為達(dá)到目標(biāo)識別和精確定位的目的，SAR圖像的分辨率需要達(dá)到一定的精度，因此提高SAR圖像分辨率是實際工程應(yīng)用中的一項重要任務(wù)。

關(guān)于SAR圖像的超分辨率技術(shù)國內(nèi)外學(xué)者已提出多種算法，主要有正則化方法、稀疏表示方法等。1985年，Poggio T等[1]在Nature上撰文闡述圖像處理正則化方法的有關(guān)理論后，隨著對圖像超分辨率問題的研究，該方法逐漸成為SAR圖像超分辨率技術(shù)的主要方法之一。稀疏表示法與近些年來興起的壓縮感知理論有著密切聯(lián)系，已相繼出現(xiàn)了一批優(yōu)秀的圖像稀疏表示工具，如離散余弦變換（DCT）、小波變換（WT）、曲波變換（curvelet）和復(fù)數(shù)小波（complex wavelet）等[2～4]。這些圖像表示工具的相同之處在于，利用變換域中少量顯著非零的系數(shù)來表示圖像，實現(xiàn)圖像的稀疏表示。

現(xiàn)有的超分辨率方法在實際應(yīng)用中存在一些問題，例如，正則化方法對于點目標(biāo)密集的圖像處理結(jié)果較差，稀疏表示法得到的結(jié)果雜波較多并且對噪聲的抑制較差。本文通過研究現(xiàn)有SAR圖像超分辨率方法之間的聯(lián)系，基于艦船目標(biāo)的模型特點，提出一種基于Fourier字典的稀疏表示方法與正則化方法結(jié)合使用的SAR圖像超分辨率方法。首先通過理論分析證明了該方法可以有效地解決現(xiàn)有方法在提高艦船目標(biāo)SAR圖像分辨率應(yīng)用中存在的問題，然后分別對點目標(biāo)和艦船目標(biāo)的SAR圖像仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，驗證了本文方法提高艦船目標(biāo)SAR圖像分辨率的可行性。

1 艦船目標(biāo)的先驗信息及模型

由于目標(biāo)對入射波的調(diào)制，雷達(dá)接收的散射電磁波具有不同于雷達(dá)發(fā)射的電磁波的性質(zhì)。這種因調(diào)制效應(yīng)產(chǎn)生的電磁波差異是由目標(biāo)本身的物理結(jié)構(gòu)性質(zhì)決定的，因此散射波中必然包含關(guān)于目標(biāo)物理結(jié)構(gòu)的信息。根據(jù)幾何繞射理論，如果入射波的波長小于目標(biāo)尺寸，那么目標(biāo)的后向散射場可認(rèn)為是由多個孤立散射中心組成，每個散射中心的散射場表示為[5]：

對于艦船目標(biāo)，其背景是海面，雷達(dá)波束與海面的作用主要有兩種——鏡面反射和Bragg散射。當(dāng)海面比較平靜時，雷達(dá)波束與海面的作用主要是鏡面反射，雷達(dá)幾乎接收不到回波，即在SAR圖像中，海面相對很暗；當(dāng)海面風(fēng)浪較大時，雷達(dá)波束與海面的作用主要為Bragg散射，即會產(chǎn)生較強(qiáng)的后向散射，這種散射主要是布拉格散射（布拉格散射是一種共振散射，入射電磁波與波長在其同一量級的海面波發(fā)生共振，此表面波稱為布拉格波）[6]，此時雷達(dá)接收到的回波較強(qiáng)，SAR圖像中海面呈現(xiàn)出較亮的像素點。

艦船主要由金屬制成，對雷達(dá)波具有極強(qiáng)的后向散射能力，它在SAR圖像上表現(xiàn)為幾個乃至數(shù)十個像素的高亮度點目標(biāo)。一般情況下，即使海面風(fēng)浪很大，艦船目標(biāo)的后向散射回波也要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于海雜波。因此，艦船目標(biāo)的SAR成像模型可以認(rèn)為是在較大海雜波背景下的密集點目標(biāo)模型，這種模型對應(yīng)于式（1）中的情況。

2 稀疏表示法與正則化法結(jié)合的超分辨率方法

SAR成像的理想點散射模型即基于幾何繞射理論的目標(biāo)模型中的情況。因此對于含有p個理想點散射中心的目標(biāo)而言，在頻率f和方位角φ觀測下，目標(biāo)后向散射場表示為：

式中，Ak、（xk，yk）分別表示第k個散射中心的復(fù)振幅和在散射場中所處的位置坐標(biāo)。如果將式（2）中的指數(shù)項看成一組基函數(shù)的話，那么在一定程度上可認(rèn)為復(fù)振幅Ak是稀疏的。

令fx=fcosφ，fy=fsinφ，可得出SAR的相位歷史域點散射模型：

并且在直角頻率域進(jìn)行均勻采樣，則有

又

式中，δr和δa分別為距離向和方位向分辨率，由分辨率的定義容易得出和小于1。此時取

有

它實際上是標(biāo)準(zhǔn)的Fourier字典。對M×N網(wǎng)格進(jìn)一步采樣加密，即令

式中，l1、l2定義為超完備率，且有l(wèi)1、l2大于1，此時做同樣的采樣，則參數(shù)網(wǎng)格取為（l1，l2）重超完備網(wǎng)格：

此時根據(jù)稀疏表示理論，可以取字典形式為：

式（14）即是超完備的Fourier字典。SAR的超分辨率成像問題應(yīng)采用超完備的Fourier字典?？紤]到噪聲，在超完備的 Fourier字典下，觀測數(shù)據(jù)的分解形式為：

其中，α（k1，k2）為網(wǎng)格上各點的幅度矩陣，n（τ1，τ2）為噪聲。這里先假設(shè)網(wǎng)格上每個點都為散射中心，當(dāng)它確實是散射中心時，其對應(yīng)的系數(shù)α（k1，k2）不為0，當(dāng)它確實不是散射中心時，對應(yīng)的系數(shù)α（k1，k2）為0。由艦船目標(biāo)SAR圖像的稀疏先驗特性可知，矩陣α中只有少數(shù)元素不為零。求解超分辨率問題，就是由已知的y（τ1，τ2）求解α，即：

Donoho等人證明了在稀疏條件下式（16）和式（17）的等價性[7～9]。由Lagrange乘數(shù)法可將式（17）轉(zhuǎn)化為求解下述復(fù)數(shù)域的最優(yōu)化問題：

式中，λ為Lagrange參數(shù)，表示l2范數(shù)。對Fourier字典進(jìn)行降階可以大大減少運(yùn)算量，具體過程如下：

或

對于稀疏信號來說，α只有少數(shù)元素不為零，顯然G=αψy的每一列也只有少數(shù)元素不為零，因此可以先構(gòu)造行方向的字典，依據(jù)，對圖像矩陣的每一列進(jìn)行類似一維信號的基追蹤處理，得到G；再構(gòu)造列方向的字典，依據(jù)，對G的每一行進(jìn)行類似一維信號的基追蹤處理，即可得到α的估計值。

上述過程中，基追蹤處理即求解式（18），可利用式（23）迭代求解：

式中β為迭代步長，0＜β≤1，初值取，其中D+為D的廣義逆矩陣。迭代的終止條件由控制，δCG為一足夠小常數(shù)（這里可取δCG=10-3）。將得到的優(yōu)化解代入中可得外推的相位歷史數(shù)據(jù)，再進(jìn)行IFFT變換即可得到高分辨率重構(gòu)圖像。

在上述處理過程中，式（18）中的λ取值較為困難，其大小代表了稀疏先驗在約束條件中的重要性；λ值過小，會導(dǎo)致解的稀疏性較差，從而產(chǎn)生一些旁瓣和雜波，同時由于稀疏先驗在約束條件中所占比例較小，使得結(jié)果對噪聲的抑制能力較差；λ值過大，會導(dǎo)致迭代收斂很慢。因此，稀疏表示的結(jié)果可寫成式（24）的矩陣形式。

式中，y為稀疏表示法得到的結(jié)果，f是場景真實散射系數(shù)，n1表示稀疏表示法殘余的噪聲，v表示稀疏表示法中產(chǎn)生的雜波和旁瓣，w=n1+v。顯然，去除稀疏表示結(jié)果中的雜波、旁瓣以及殘余噪聲就是在已知y的情況下，利用SAR圖像的稀疏先驗信息，得到盡可能不失真的場景真實散射系數(shù)f，此問題可采用正則化方法進(jìn)行處理。正則化方法可以對感興趣的特征點進(jìn)行增強(qiáng)，從而在一定程度上抑制旁瓣和雜波，同時使原SAR圖像中的噪聲得到一定程度的抑制。正則化方法的原理如下：

J（f）表達(dá)式的第一項稱為數(shù)據(jù)逼近項，用于度量數(shù)據(jù)的逼近程度，第二項為正則化項，反映了對所采用先驗信息的某種度量。超分辨率的結(jié)果依賴于使用的限制條件（先驗信息），因而ψ（f）的選擇非常重要。選擇ψ（f）的一個主要原則是減少不希望出現(xiàn)的偽目標(biāo)，同時增強(qiáng)有用的圖像特征。

由于待處理的數(shù)據(jù)具有稀疏性特征，由稀疏表示原理可知表示目標(biāo)真實信息的參數(shù)要盡量少，參數(shù)個數(shù)少的先驗信息可以表示為min‖β‖0。l0范數(shù)不具有穩(wěn)健性，對分析噪聲污染信號不具有自適應(yīng)能力。Donoho等提出采用較穩(wěn)健的lk范數(shù)代替l0范數(shù)。這樣SAR圖像的超分辨率問題可以轉(zhuǎn)化為如下的多目標(biāo)優(yōu)化問題：

式中，D為二維微分算子（梯度）的離散近似，為復(fù)值向量的幅度向量。式（26）中第二項反映目標(biāo)的稀疏先驗，第三項反映目標(biāo)邊緣的稀疏先驗。

如此便將SAR成像處理問題轉(zhuǎn)化為求解式（27）的最優(yōu)化問題[10]。

式中，λ1和λ2為正則化參數(shù)，其大小取決于兩類特征（圖像目標(biāo)的點特征和圖像的區(qū)域特征）的相對重要性，對于本文來說可以取λ2=0。關(guān)于f的最優(yōu)化問題可通過Newton迭代算法求解，具體過程參見文獻(xiàn)[10]，這里不再詳述。

3 仿真及實測數(shù)據(jù)結(jié)果

為驗證本文方法對SAR圖像的超分辨率處理效果，分別對5個點目標(biāo)和艦船目標(biāo)的仿真圖像進(jìn)行處理。其中5個點目標(biāo)是利用式（3）建立的，并且加入均方差為20的高斯白噪聲，其振幅和坐標(biāo)如下：

艦船目標(biāo)的仿真圖像是利用RD算法成像得到的，其仿真成像系統(tǒng)參數(shù)為：中心頻率1×109Hz，帶寬3 ×107Hz，脈沖持續(xù)時間5×10-6s。

分別利用正則化方法、稀疏表示法以及本文方法對點目標(biāo)和艦船目標(biāo)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖1～圖8所示，坐標(biāo)單位為m。

圖1 點目標(biāo)原圖Fig.1 Point target

圖2 點目標(biāo)正則化結(jié)果Fig.2 The result of point target by the regularization method

圖3 點目標(biāo)稀疏表示法結(jié)果Fig.3 The result of point target by the sparse representation method

圖4 點目標(biāo)本文方法結(jié)果Fig.4 The result of point target by the proposed algorithm

圖5 艦船目標(biāo)原圖Fig.5 Ship target

圖6 艦船目標(biāo)正則化結(jié)果Fig.6 The result of ship target by the regularization method

圖7 艦船目標(biāo)稀疏表示法結(jié)果Fig.7 The result of ship target by the sparse representation method

圖8 艦船目標(biāo)本文方法結(jié)果Fig.8 The result of ship target by the proposed algorithm

對比圖1～圖4，可得到以下結(jié)論：圖2中，點目標(biāo)經(jīng)過正則化方法處理后，右面兩個點目標(biāo)不能區(qū)分開，但是噪聲得到了有效抑制；圖3中，點目標(biāo)經(jīng)過稀疏表示法處理后，雖然右面兩個點目標(biāo)得以區(qū)分開，但是雜波及噪聲依然很明顯；圖4中，點目標(biāo)經(jīng)過本文方法處理后，右面兩個點目標(biāo)得以區(qū)分開，并且雜波和噪聲得到了抑制。通過對比結(jié)果可以看出，正則化方法可以有效抑制圖像中的噪聲和雜波，但是不能有效地區(qū)分密集的點目標(biāo)；稀疏表示法雖然可以區(qū)分密集的點目標(biāo)，但是不能有效地抑制噪聲，并且會產(chǎn)生一定的旁瓣及雜波；而本文方法在區(qū)分密集點目標(biāo)的同時有效地抑制了原圖像中的噪聲。對比圖5～圖8可以看出，本文提出的超分辨率方法同時達(dá)到了提高艦船目標(biāo)SAR圖像的分辨率及抑制雜波和噪聲的效果。

為了驗證本文算法的有效性，利用本文方法對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。實測數(shù)據(jù)來源于某雷達(dá)對海面進(jìn)行的掃描探測，雷達(dá)系統(tǒng)的部分參數(shù)為：中心頻率1×109Hz，帶寬3×107Hz，脈沖持續(xù)時間5×10-6s。原始圖像和利用本文方法處理后的結(jié)果如圖9所示，坐標(biāo)單位為m。通過對比可以看出，利用本文提出的方法對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，圖像的分辨率得到了一定的提高。

圖9 利用本文方法處理實測數(shù)據(jù)的結(jié)果Fig.9 The result of raw data by the proposed algorithm

以上仿真和實測數(shù)據(jù)計算結(jié)果表明，本文方法能有效提高SAR圖像分辨率。

4 結(jié)束語

本文通過研究現(xiàn)有SAR圖像超分辨率方法之間的聯(lián)系，針對艦船目標(biāo)的模型特點，提出一種基于Fourier字典的稀疏表示方法與正則化方法結(jié)合使用的SAR圖像超分辨率方法?，F(xiàn)有的SAR圖像超分辨率方法在處理艦船目標(biāo)SAR圖像時存在一定的缺陷，其中稀疏表示法可以有效提高目標(biāo)密集圖像中點目標(biāo)的分辨率，但是會產(chǎn)生一些旁瓣和雜波，并且對噪聲的抑制能力較差；正則化方法可以有效地增強(qiáng)SAR圖像中感興趣的特征點，從而在一定程度上消除點目標(biāo)周圍的旁瓣和雜波，并可在點增強(qiáng)的同時有效地抑制原SAR圖像中的噪聲，但是它對點目標(biāo)密集圖像的處理結(jié)果較差。本文提出的超分辨率方法既可以有效地提高點目標(biāo)密集圖像的分辨率，抑制原SAR圖像中的噪聲，又可減少結(jié)果中的雜波和旁瓣。仿真計算結(jié)果證明，本文方法比稀疏表示法和正則化方法更適合艦船目標(biāo)的SAR圖像超分辨率處理。

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