□周 延 汪 偉 劉沁璐

華東師范大學

?

上海市住房反向抵押貸款養(yǎng)老保險問題研究
———產(chǎn)品定價與風險防范

□周 延 汪 偉 劉沁璐

華東師范大學

一、引言

作為一項新型金融產(chǎn)品，住房反向抵押貸款是否具有生命力，取決于其定價是否合理。由于住房反向抵押貸款借貸期限長，影響因素復雜，如利率、房價的波動、人均預期壽命的延長、道德風險等，定價一直就是住房反向抵押貸款的難點與核心，國內外學者圍繞這一問題構建了諸多模型進行定量研究。目前主要是集中在固定利率的定價上。然而在現(xiàn)實經(jīng)濟中，利率是隨著國家的經(jīng)濟運行狀況不停地變動和調整的，所以需要從隨機利率的角度來考慮定價問題。因此，考慮到利率的實際運行規(guī)律，本文運用Vasicek隨機利率模型對上海市的住房反向抵押貸款產(chǎn)品進行定價，得出了開辦住房反向抵押貸款的躉領金額和年金支付金額。

但是，住房反向抵押貸款是按揭貸款的一種逆向操作，由于時間跨度大，隨著時間的推移，借貸雙方的風險不斷增加，尤其是貸款機構的風險在逐漸加大，因此，強有力的風險防范措施是住房反向抵押貸款健康發(fā)展的前提。雖然導致住房反向抵押貸款在實踐中困難重重的原因有很多，但房屋價格的波動無疑是阻礙其成功推出的重要因素之一。盡管近年來我國總體房價呈上升態(tài)勢，但仍不能忽視房價下跌給金融機構帶來損失的可能性。作為以營利為目的的金融機構，能否有效規(guī)避房屋價格波動帶來的風險，乃破解反向抵押貸款實踐困境的關鍵。

綜觀國內外研究現(xiàn)狀，不難發(fā)現(xiàn)，針對房價波動風險，美國等發(fā)達國家多采用資產(chǎn)證券化的方式進行風險分散，但由于中外證券市場所處的階段不同，以及法律和監(jiān)管條件的限制，我國實施抵押貸款證券化的條件并未完全成熟。鑒于此，本文從歐式期權的角度出發(fā)，采用Black-Scholes公式建立期權定價模型，設計出一款以反向抵押房屋作為標的物的看跌期權，對建立期權產(chǎn)品以規(guī)避房價波動風險進行了深入的探討，并在最后提出對策建議，以期對上海市住房反向抵押貸款的實際開辦有所借鑒。

二、基于隨機利率模型的上海市住房反向抵押貸款產(chǎn)品定價

(一)定價模型的構建

1. Vasicek模型

設隨機利率rt滿足如下的隨機微分方程

drt=k(θ-rt)dt+σdW(t)

(2.1)

式(2.1)中W(t)是一個標準布朗運動，k，θ為固定常數(shù)。Vasicek模型具有時間平穩(wěn)性(即rt-rs的分布只依賴于時間差t-s)和均值回復性質。

2.年金支付公式

反向抵押貸款的定價模型與其領取方式有關，我們假設按期初終生生存年金的領取方式。借款人將自己擁有的住房以反向抵押的形式抵押給某個貸款機構，并按期取得現(xiàn)金收入。這種貸款機構的支付以及借款人的定期領取一直持續(xù)到借款人死亡。所以，在完全競爭市場中，考慮單個借款人一次性領取全部貸款的總額，根據(jù)精算學和收支平衡的原理有：

(2.2)

式(2.2)中各參數(shù)代表的含義為：

1.α表示房產(chǎn)的年增值率。由于我國各地區(qū)的城市化進程差異較大，房產(chǎn)價值的增值率在不同的地區(qū)呈現(xiàn)不同的趨勢。有的地區(qū)房產(chǎn)價值增值較快，有些地區(qū)的房產(chǎn)價值增值較慢。因此，我們在反向抵押貸款的定價過程中，對房產(chǎn)價值的增值率不能一概而論，應該針對不同的地區(qū)采用不同的房產(chǎn)增值率。

2.β表示年折舊率。為了盡可能地反映真實情況，本文在建立定價模型時考慮到了房屋的折舊。

3.γ表示開辦住房反向抵押貸款的其他費用占價值的比例。其他費用包括發(fā)起費、第三方費用、服務費和保險費等。發(fā)起費全部由借款人支付，保險費與住房反向抵押貸款是成比率關系的，其他還有如第三方為評估房屋價值和辦理其他手續(xù)產(chǎn)生的費用。

4.H0表示借款開始時的房產(chǎn)凈值，為了模擬計算的方便，假設H0=100萬元。

6.ω為生命表上的最大年齡，為105歲。

然而，在實際操作中人們更傾向于年金支付的方式，所以根據(jù)金融產(chǎn)品定價的一般原理，即：

特定機構支付現(xiàn)金的年金終值=特定機構最終收回房屋的可變現(xiàn)凈值

由此可以得到：

(2.3)

(2.4)

式(2.4)中rt是滿足Vasicek模型式(2.1)的隨機利率，即：

所以根據(jù)式(2.2)、(2.3)、(2.4)得出在Vasicek模型下的住房反向抵押貸款的年金支付公式為：

(2.5)

式(2.5)中rt，λ(t)同式(2.4)中的含義。

(二)數(shù)值模擬與計算

以上海地區(qū)為例，現(xiàn)考慮年齡分別為65歲、75歲和85歲的老年人開辦住房反向抵押貸款的年金領取金額，利率由式(2.1)表示。下面討論公式(2.5)中各個參數(shù)的取值問題：

1.年增值率α的取值

根據(jù)中國統(tǒng)計年鑒，2000年到2009年上海市商品住房價格如表1所示。由表1可知，上海市房產(chǎn)2000—2009年的平均增值率約為16%。

2.年折舊率β的取值

我國住宅壽命以70年計，采用勻速折舊法，每年的折舊率為1.43%。另外考慮到近年來房屋土地的價格不停上漲，應適當?shù)卣{整房屋的折舊率，本文為計算方便暫取為1.25%。

3.開辦費用占價值的比例γ的取值

由于我國目前尚沒有開辦住房反向抵押貸款的經(jīng)驗，所以對于開辦業(yè)務的各項費用支出沒有一個標準。但是美國的住房反向抵押貸款的業(yè)務開辦較早，各項制度也比較完善，所以我們借鑒美國的經(jīng)驗，開辦業(yè)務的各項費用支出γ=7.5%。

4.房產(chǎn)初值凈值H0

為了便于計算，假設H0=100萬元。

5.tpx的計算

另外設r0=0.05，k=0.85，θ=0.09，σ=0.08，根據(jù)式(2.2)和各參數(shù)的取值計算一次性支付總額分別為L65=229.82(萬元)，L75=162.47(萬元)，L85=125.65(萬元)。根據(jù)式(2.5)和各參數(shù)的取值計算終生生存年金的支付分別為A65=28.99(萬元)，A75=27.88(萬元)，A85=33.92(萬元)。

表1 上海市2000-2009年房價增值率

資料來源：《中國統(tǒng)計年鑒》1999—2010年

表2 t p65 的計算值

表3 t p75 的計算值

表4 t p85 的計算值

(三)數(shù)值模擬與計算結果分析

本文從保險精算定價方法出發(fā)，在固定利率模型的基礎上進行進一步推廣，將隨機利率運用到定價模型中，從而得出了隨機利率下的住房反向抵押貸款的模型。從年金支付模型的構建可以看出，利率和房屋價值波動率是影響年金支付額度的兩個重要因素，所以在定價模型的構建中必須要考慮這兩個因素對年金支付額的影響。由此也驗證了用隨機利率去代替固定利率來考慮住房反向抵押貸款的定價會更趨于合理的結論。最后對年金支付額進行了計算，得到了65歲、75歲和85歲三個年齡段的躉領金額分別為L65=229.82(萬元)，L75=162.47(萬元)，L85=125.65(萬元)，年金支付額分別為A65=28.99(萬元)，A75=27.88(萬元)，A85=33.92(萬元)。從上面的數(shù)值可以看出，由于房屋的增值額度隨著存活的時間增大而增大，所以越早開辦住房反向抵押貸款，其收益越大。另外，由于近年來房價增值較快也造成躉領金額和年金支付金額相對較大，這從某種程度上會對廣大老年人辦理這項業(yè)務產(chǎn)生激勵作用。

三、上海市住房反向抵押貸款的風險防范——以房價波動風險為例

本文從歐式期權的角度出發(fā)，設計出一款以反向抵押房屋作為標的物的看跌期權，命名為反向抵押價值期權RMV(ReverseMortgageValue)。金融機構購買這種看跌期權后，享有在到期日將手中標的物按照履約價格賣給期權出售者的權利，從而規(guī)避房屋價格下降的風險。

(一)RMV期權模型的構建

1.模型構建

RMV期權的標的物為借款人的房產(chǎn)，該類房產(chǎn)價值可類比市場中二手房屋的交易價格。本文選取二手房交易價格作為參考數(shù)據(jù)，進行RMV期權的定價模擬。

本文使用Black-Scholes期權定價模型(以下簡稱B-S模型)為RMV期權定價。由于B-S模型條件限制，在使用該模型前需先進行房價數(shù)據(jù)擬合分析，驗證其是否服從對數(shù)正態(tài)分布。此外，為簡化問題，筆者假設該歐式期權不存在市場摩擦，且在有效期內無風險利率和金融資產(chǎn)收益變量恒定。由于反向抵押過程中的房屋投保人依舊擁有房屋使用權，故保險公司不享有該住房產(chǎn)生的收益，參考B-S無收益資產(chǎn)期權定價公式，RMV期權定價模型可表述如下：

2.參數(shù)設定

采集n個月二手房交易價格原始數(shù)據(jù)記為Pt(t取值范圍1～n)。設期權執(zhí)行價格為L，房屋價格收益率為rc，房價變動波動率為σ，無風險收益率為rf。

(1)執(zhí)行價格L

B-S定價模型假設標的價值服從布朗運動。不妨基于伊藤引理建立期權的執(zhí)行價格模型。

假定房產(chǎn)價格具有馬爾科夫性，同時遵循一般化的維納過程，即具有不變的期望漂移率以及方差率。則價格P的瞬時期望漂移率為rP，瞬時方差率為(rP)2，其Ito過程是：

(3.1)

由于P服從幾何布朗運動，可將其進行對數(shù)化變換。不妨定義G=lnP，假設G是P、t的函數(shù)G(P,t)，由Ito定理可得G遵循如下過程：

(3.2)

現(xiàn)在對G求導可知：

代入到式(3.2)得到G的過程為：

(3.3)

然后計算房屋執(zhí)行價格模型的顯性解。

假設在t至T時刻內對式(3.3)求解:

(T-t)+σ(T-t) 得：

(3.4)

式(3.4)即是式(3.3)房屋價格的伊藤隨機微分方程的顯性解，即RMV期權合約中的標的房屋執(zhí)行價格L的值。

(2)收益率rc

(3)波動率σ

先計算連續(xù)復利收益率的均值：

再計算連續(xù)復利收益率的標準差，即波動率:

(4)無風險收益率rf

我國對于無風險收益率的選擇沒有統(tǒng)一的標準。一般選用短期國債收益率或者商業(yè)銀行同期定期存款利率，本文選擇銀行同期定存利率作為無風險收益率。

3.基于Matlab的期權定價模擬與敏感性分析

在MATLAB命令窗口輸入如下命令:

[cpricepprice] =blsprice(price,strike,rate，time,volatility,yield)

其中:

Price：標的資產(chǎn)在目前時點上的價格；Strike：期權到期日執(zhí)行的價格；Rate：年化無風險利率,不考慮期限結構,并且連續(xù)計息；Time：以年為單位的時間計量；Volatility：標的資產(chǎn)價格波動率；Yield：期限存續(xù)期內, 標的資產(chǎn)年化的連續(xù)計息分紅率；cprice：看漲期權價格；pprice：看跌期權價格。

程序運行后即可輸出看漲期權與看跌期權的價格。

使用MATLAB對期權進行敏感性分析，分別計算六個敏感性指標，Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho、Lambda。通過對期權的敏感性分析，可以從利率、房價變動、時間、波動性等眾多不確定性因素中找出對期權價格影響較大的敏感性因素，并分析、測算其對價格的影響程度和敏感性程度，進而判斷RMV期權對各項風險的承受能力。期權各項指標的評價標準如表5所示。

(二)實證分析過程

通過“上海市房地產(chǎn)交易服務網(wǎng)”采集并處理得到上海市2011年6月至2014年5月二手房交易均價數(shù)據(jù)，如圖1所示。由于期權標的價格波動需服從布朗運動，我們要選取干擾較少情形下的價格波動，即排除由外部因素(如政策因素)導致的房價變動數(shù)據(jù)。由于2012年7月“滬六條”政策(2012年7月27日，上海市人民政府辦公廳發(fā)布《關于進一步嚴格執(zhí)行房地產(chǎn)市場各項調控政策的通知》，主要政策有：嚴格二套房認購標準，

表5 期權敏感性分析技術指標

圖1 2011年6月至2014年5月上海市二手房交易均價數(shù)據(jù)來源：上海市房地產(chǎn)交易服務網(wǎng)

嚴格差別化公積金貸款，加強合同簽約環(huán)節(jié)監(jiān)管，公寓式酒店嚴禁分套銷售等，稱為“滬六條”)的出臺，上海市二手房價開始飆升，加之2013年3月的“國五條”政策(2013年2月20日，溫家寶主持召開國務院常務會議，研究部署繼續(xù)做好房地產(chǎn)市場調控工作，會議確定了五項國務院再出“國五條”抑制投機投資購房加強房地產(chǎn)市場調控的政策措施，稱為“國五條”)，二手房價進一步呈現(xiàn)反常漲幅，無法反映正常房價波動，缺乏代表性與普遍性，因此本文選取2011年6月至2012年5月期間的數(shù)據(jù)進行期權定價模擬。

模型中的無風險利率采用我國2014年商業(yè)銀行一年期定期存款利率，設為3.0%。首先假設存續(xù)期為1年。由式(3.4)計算得，執(zhí)行價格為27370元。

根據(jù)B-S定價模型假設，房價應服從對數(shù)正態(tài)分布。使用Matlab的cftool擬合工具箱對已經(jīng)對數(shù)化的12組房價數(shù)據(jù)進行正態(tài)分布擬合，得到圖2。

圖2顯示上海市2011年6月至2012年5月期間的二手房價格大致服從對數(shù)正態(tài)分布。符合B-S模型假設。

使用Matlab軟件進行如下計算：

由公式rc=log(Pt)-log(Pt-1)求出如下11組收益率：0.0041 -0.1129 0.0461 -0.0243 -0.0387 -0.0304 -0.0043 -0.0118 0.0051 0.0045 0.0026。

計算出收益率均值為-0.0145。

由11組收益率和均值求出波動率為0.0397。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，在Matlab中輸入代碼[cpricepprice] =blsprice(26710, 27370, 0.03, 1, 0.0397,0) 進行期權定價模擬。

輸出結果為：cprice=500.4541pprice=351.5484

即歐式看跌期權在2012年5月時點上，以26710元/平方米為初始價格，設無風險利率0.03，波動率0.0397，行權價格為27370元/平方米，距離到期日還有12個月時的期權費為351.5484元/平方米。

圖2 基于Matlab的房價數(shù)據(jù)正態(tài)分布擬合

與此類似，可利用該方法計算出以2012年6月為固定的到期時間，起始時間分別為2011年7月至2012年5月的各月，每個月購入RMV期權的期權費，結果如表6。

用Matlab對該期權進行敏感性分析，得到表7數(shù)據(jù)。

關于房屋價格的變化率。本次模型中Gamma絕對值較小，說明Delta隨房價的變化很慢，即房價變動對期權價格的影響較小。Theta的數(shù)值表示如果將期權時間延長一年，RMV期權的價格會上升547.8365元。Vega值說明了當房屋價格波動率增加一個單位時，RMV期權價格增加10519.1元。Rho的數(shù)值在理論上顯示了如果商業(yè)銀行利率增加一個單位，RMV期權價格會下降12001.84元。

根據(jù)上述期權定價模擬結果，擬定出上海市反向抵押價值期權虛擬合約， 如表8所示。

(三)實證結果分析

首先，利用B-S公式構建期權定價模型，設置執(zhí)行價格、收益率、波動σ等參數(shù)，并利用Ito過程等方法進行參數(shù)估計。采納上海市二手房價格數(shù)據(jù)，使用Matlab對房價進行對數(shù)正態(tài)擬合并求解各項參數(shù)。從圖1可以看出， 2011年6月至2012年5月上海市二手房價持續(xù)下跌，金融機構擁有的抵押房屋有貶值風險，若選擇在2011年6月購買RMV看跌期權，由Ito過程求得的行權價格為27370元/平方米，則在2012年5月的交割日，扣除352元/平方米的期權費(由于該期權的期限較短，暫且忽略貨幣的時間價值)后，金融機構依舊可以減少4258元/平方米的損失，從而說明RMV期權能夠起到規(guī)避房價下跌風險的作用。

其次，模擬出到期日同為2012年5月，但起始日期不同的期權價值，如表6所示。觀察數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn)，由于房價下跌，當執(zhí)行價格在27370元/平方米高位時，距離到期日越近，看跌期權的價值越高，但賣出看跌期權的風險也越大，故此時買賣雙方的衍生品交易都應尤為慎重。之后通過Matlab對各指標的演算，分析了RMV期權對利率、時間、波動率等因素的敏感性程度。最終根據(jù)上述信息，模擬出“上海市反向抵押價值期權虛擬合約”，該合約可以為RMV期權的具體實施提供一定的參考。

當然，由于模型的設計環(huán)節(jié)存在一定的誤差，本文定價方法的精確程度取決于我們假設的房價變化過程與實際的價格變化過程的吻合程度，在今后的研究中，還需要更多的數(shù)據(jù)對本文的模型予以驗證和改進。

四、結論與建議

(一) 研究結論

1.定價是住房反向抵押貸款開辦的關鍵和核心，考慮到利率的隨機性，本文從隨機利率角度出發(fā)，運用Vasicek模型建模，然后將其和保險精算定價模型結合起來得到一個具體定價公式，并以上海市為例討論了模型中各個參數(shù)的取值，得出了上海市開辦住房反向抵押貸款的躉領金額和年金支付金額，65歲、75歲和85歲三個年齡段的躉領金額分別為L65=229.82(萬元)，L75=162.47(萬元)，L85=125.65(萬元)，年金支付額分別為A65=28.99(萬元)，A75=27.88(萬元)，A85=33.92(萬元)。

表6 Matlab對期權費的實驗模擬結果

表7 RMV期權敏感性分析各指標數(shù)據(jù)

2. 鑒于住房反向抵押貸款業(yè)務持續(xù)時間長，影響因素復雜，本文以房價波動的風險為例，設計了一款反向抵押價值期權。首先，對于期權執(zhí)行價格的確定，采用伊藤過程建模求解，以改良以往模型中直接設定行權價格的方式。其次，使用Matlab對原始二手房交易數(shù)據(jù)進行編程擬合，根據(jù)曲線走勢判斷標的物價格波動特性，驗證其是否符合對數(shù)正態(tài)分布的假設，避免了前人研究中直接假設數(shù)據(jù)符合對數(shù)正態(tài)分布而導致的分析誤差。再次，在期權定價模型完成后，利用敏感性參數(shù)分析RMV期權對各變量的敏感性程度，從而判斷出其對于各項風險的承受能力，力求最大程度地實現(xiàn)期權定價方法的精確與實用，以達到有效規(guī)避反向抵押貸款風險之目的。

(二)政策建議

1.產(chǎn)品的準確定價是住房反向抵押貸款發(fā)展的核心

合理的定價是任何一項新產(chǎn)品取勝的關鍵，質優(yōu)價廉是其馳騁市場的法寶。我國住房反向抵押貸款養(yǎng)老保險之所以風聲大、雨點小，究其原因，一是這一產(chǎn)品在我國是新產(chǎn)品，缺乏定價的經(jīng)驗數(shù)據(jù)；二是其影響因素復雜多變，且屬于長尾業(yè)務，這對目前的精算技術提出了挑戰(zhàn)，也加大了產(chǎn)品設計、開發(fā)、定價的難度。但是，價格的高低關乎借貸雙方的切身利益，盡管目前有諸多探討，但均是在未來房價、利率、人的預期壽命等假設的基礎上進行的，而我國的房價因素等很難預期其未來走勢，這幾成我國住房反向抵押貸款推出的死結。所以，要保持經(jīng)濟的平穩(wěn)運行，不斷完善資本市場，包括房地產(chǎn)市場，避免房價大起大落，在此基礎上對各風險因素進行準確預測,充分考慮其波動對定價結果的影響，才能給出準確、合理而科學的定價，調動借貸雙方積極性，促使住房反向抵押貸款成功推出并穩(wěn)定發(fā)展。

2.完善金融和房地產(chǎn)市場，建立風險防范機制是反向抵押貸款長效發(fā)展的關鍵

由于反向抵押貸款期限長，影響因素多，運行機制復雜，牽涉部門多，任何一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題均會影響其順利推出和實施。但是由于利率、房價和人的預期壽命乃住房反向抵押貸款定價的主要因素，能否有效防范這三方面的風險是借貸雙方參與反向抵押貸款的關鍵。但鑒于我國目前的利率沒有完全市場化，房價也受政策性因素的影響，加之目前“二胎”等人口政策的調整，三者疊加導致定價的精準性大打折扣，因此，要借鑒反向抵押貸款發(fā)展成熟的國家的經(jīng)驗，加快房地產(chǎn)金融市場改革，減少人為干預，積極引進符合我國實際的融資工具和模式，建立良好的風險防范機制，這是我國反向抵押貸款長效發(fā)展的關鍵，當然，政府的支持也是反向抵押貸款發(fā)展不可或缺的因素之一。

表8 上海證券交易所(SSE)上海市反向抵押價值期權虛擬合約