郭漢東,張煜晨

在許多科學(xué)領(lǐng)域中,很多的問題最終可用非線性發(fā)展方程來描述,因此,尋求非線性發(fā)展方程的精確解成為了非線性領(lǐng)域中的熱門課題之一.可由于非線性方程的復(fù)雜性,對(duì)于非線性方程還沒有通用的解法.現(xiàn)在發(fā)展的新方法有齊次平衡法[1]、Jacobi橢圓函數(shù)法[2]、雙曲正切函數(shù)展開法[3]等,它們各具特色.最近,劉成仕教授提出了新的求非線性發(fā)展方程精確行波解的方法,即試探方程法[4].其基本思想是把非線性發(fā)展方程約化為初等積分形式來求解.對(duì)于Ostrovsky方程[5],利用其他方法已求出了其許多精確解,本文則利用試探方程法給出Ostrovsky方程的新的精確行波解,豐富了其解的系統(tǒng).

1 試探方程法

對(duì)于非線性偏微分方程

作行波變換

將式(2)代入式(1)整理可得非線性常微分方程

及u?等其他導(dǎo)數(shù)項(xiàng).將其代入式(3)中,得到u的多項(xiàng)式G(u),根據(jù)平衡原理確定m的值.令G(u)的系數(shù)都為零,得到一個(gè)非線性代數(shù)方程組,解方程組確定出a0,a1,…,am和d的值.

2 求1+1維Ostrovsky方程的精確解

這里求方程

的行波解,做行波變換

將式(6)代入式(5)中,化簡(jiǎn)整理可得

由試探方程步驟可知,假設(shè)u滿足

將方程(8)兩邊同乘以u(píng)'積分一次并取積分常數(shù)為0,得

將方程(8)直接求導(dǎo)得

將式(8)(10)代入方程(7)得到

通過對(duì)上式整理,得

根據(jù)齊次平衡原則[6],得到m=2,那么,所取的試探方程為

這時(shí),方程(11)就化簡(jiǎn)為

令u的各次項(xiàng)系數(shù)為0,得

由方程組(13),顯然

其中A為任意常數(shù).那么,方程(9)就化簡(jiǎn)為

當(dāng)A≠0時(shí),由式(16)可得[7]

那么相應(yīng)方程的解為

當(dāng)A=0時(shí),相應(yīng)的方程的解為

3 結(jié)束語

利用試探方程法求解非線性偏微分方程的精確行波解,雖然得到的解不夠全面,但是求解過程比較快捷、有效.隨著對(duì)試探方程法的進(jìn)一步研究,相信此方法的應(yīng)用前景會(huì)更加廣闊,并能有助于發(fā)現(xiàn)更多復(fù)雜的精確解.由于求解非線性偏微分方程精確行波解的方法各具特色,這種方法求出的精確行波解也是用其他方法而得不到的新解.

參考文獻(xiàn):

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[3]Parkes E J,Duffy B R.Travelling solitary wave solutions to a compound Kd V-Burgers equation[J].Physics Letters A,1997,229:217-220.

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[5]趙展輝,韓松,何曉瑩.應(yīng)用 (G'/G)-展開法求Ostrovsky方程的精確解[J].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào),2012,23(1):74-81.

[6]王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應(yīng)用[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999,35(3):8-15.

[7]杜興華.非線性數(shù)學(xué)物理方程的精確解[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社,2010:11-12.