趙匯濤,趙苗嬋

自從1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子以來,混沌及其應用成為非線性科學研究領域中的一個熱點問題.混沌是存在于自然界中的一種普遍現(xiàn)象,是在確定系統(tǒng)中產生的不規(guī)則運動.人們在認識和研究混沌理論和應用的過程中,逐步認識到混沌的研究價值和應用價值.由于混沌在生態(tài)系統(tǒng)、電子電路、計算與信息工程等領域有著廣泛的應用,混沌的控制與應用得到了各領域研究者的廣泛關注,并在現(xiàn)代控制方面取得了一系列研究成果.1990年,Ott等人提出了著名的OGY控制方法,由此引發(fā)了混沌控制的研究熱潮,各種新的控制方法不斷涌現(xiàn),如自適應控制、滑?？刂啤⒚}沖控制與反饋控制等[1-4].其中由于混沌的反饋控制具有完善的理論基礎,便于定量分析和設計,因而在近年來提出的眾多控制策略中大部分都是反饋控制方法,如自適應控制、延遲反饋控制、追蹤控制、模糊控制等[5,6].反饋控制可以使系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡點或不穩(wěn)定周期軌道,甚至追蹤任意的參考信號.

本文將考查以下系統(tǒng)

其中,x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a,c為系統(tǒng)的控制參數(shù).當a=0,c=1時,系統(tǒng)(1)即為Sprott E系統(tǒng)[7],此時系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象(如圖1).而 Wang等[8]研究了當c=1時系統(tǒng)(1)的動力學行為,發(fā)現(xiàn)當參數(shù)a在某個范圍內取值時,系統(tǒng)具有唯一的穩(wěn)定的平衡點,但此時系統(tǒng)仍然會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.

下面將進一步討論系統(tǒng)參數(shù)變化時對系統(tǒng)的動力學行為的影響,并利用時滯反饋控制方法對系統(tǒng)(1)產生的混沌現(xiàn)象進行控制.

圖1 系統(tǒng)(1)在a=0時的軌線與相圖

1 平衡點的穩(wěn)定性與Hopf分支

其特征方程為:

由Routh-Hurwitz判據可知方程(2)的特征根全部具有負實部的充要條件是:ac＞0.

由方程(3)可得a=a0=0時ω=.設λ=λ(a),且滿足λ(0)=iω0.方程(3)兩邊同時對a求導可得 Reλ'(0)=,則當c≠0時,橫截條件成立,從而下面結論成立.

定理1 對系統(tǒng)(1),有

(i)若ac＞0,則系統(tǒng)(1)的平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的;

(ii)若c≠0,則當參數(shù)a變化經過點a0=0時,在平衡點E處經歷Hopf分支.

2 線性反饋控制

顯然,系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(1)具有相同的平衡點E.系統(tǒng)(4)在平衡點E處的特征方程為

下面討論受控系統(tǒng)(4)的Hopf分支.取K為分支參數(shù)且假設±iω(ω＞0)為方程(5)的一對純虛根,則ω滿足以下方程

由式(6)可知,若C＞0,則當A＞0,B＞0時,分支點K=K0滿足方程AB-C=0.且由式(5)與(6)易知:sign(Reλ'(K0))=sign(-a(B-2A)).由于當K=0時,方程(5)即為方程(2),則由定理1,當ac＞0時,平衡點E為漸近穩(wěn)定的.則由以上討論可得定理2.

定理2 對系統(tǒng)(4),有

(i)若A＞0且AB-C＞0,則系統(tǒng)(4)的平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的;

(ii)若B-2A＞0,則當參數(shù)K變化經過點K0時,在平衡點E處經歷Hopf分支(其中K0由方程AB-C=0所確定).

圖2 初值為(0.25,0.01,0.01)系統(tǒng)(1)在a=-0.005時的軌線與相圖

3 數(shù)值模擬

首先在系統(tǒng)(1)中取參數(shù)c=1,由上述討論可知,當a＜0時,平衡點E是不穩(wěn)定的(見圖2);當a＞0時,平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的.且由文獻[8]可知,當參數(shù)a取某些值時,系統(tǒng)(1)會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡點與混沌吸引子共存的情況.例如,取a=0.005時,取初值為(1,1,1),則系統(tǒng)(1)的運動軌跡呈現(xiàn)混沌狀態(tài)(見圖3(a));取初值為(0.25,0.01,0.01),系統(tǒng)(1)的運動軌跡趨近于平衡點E(見圖3(b)).當a=0時,系統(tǒng)(1)會有周期軌從平衡點E處分支出來,但此時仍然會有混沌現(xiàn)象出現(xiàn).圖4顯示初始值為(1,1,1),則系統(tǒng)(1)的運動軌跡呈現(xiàn)混沌狀態(tài)(見圖4(a));當初值為(0.25,0.01,0.01),則系統(tǒng)(1)于平衡點E處分支出周期軌(見圖4(b)).

圖3 (a)初值為(1,1,1)系統(tǒng)(1)在a=0.005時的相圖

圖3 (b)初值為(0.25,0.01,0.01)系統(tǒng)(1)在a=0.005時的相圖

圖4 (a)初值為(1,1,1)系統(tǒng)(1)在a=0時的相圖

圖4 (b)初值為(0.25,0.01,0.01)系統(tǒng)(1)在a=0時的相圖

下面在系統(tǒng)(4)中取a=0.005,c=1,此時系統(tǒng)(4)有唯一的平衡點,由第二節(jié)的算法可得:

K10=0.031 791 226 42,K20=1.258 208 774,且sign(Reλ'(Ki0))=sign(1.71-Ki0)＞0.于是當K＜K10時,平衡點E是漸近穩(wěn)定的;當K＞K10時,平衡點E為不穩(wěn)定的.且當K經過K10時,有周期軌從E處分支出來.但是受控系統(tǒng)(4)與未受控系統(tǒng)(1)有一個類似的現(xiàn)象是仍然會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡點或周期軌與混沌吸引子共存的現(xiàn)象,下面的數(shù)值模擬也證實了這一情況.

圖5 (a)初值為(1,1,1)系統(tǒng)(4)在a=0.005,K=0.02時的相圖

圖5 (b)初值為(0.24,0.01,0.01)系統(tǒng)(4)在a=0.005,K=0.02時的相圖

圖6 (a)初值為(1,1,1)系統(tǒng)(4)在a=0.005,K=0.0315時的相圖

圖6(b)初值為(0.25,0.01,0.01)系統(tǒng)(1)在a=0.005,K=0.0315時的相圖

圖5 說明當a=0.005,K=0.02時,若取初值為(1,1,1),則系統(tǒng)的軌線呈現(xiàn)混沌狀態(tài)(見圖5(a));若取初值為(0.24,0.01,0.01),則系統(tǒng)的軌線趨于平衡點E(見圖5(b)).

圖6說明當a=0.005,K=0.031 5時,若取初值為(1,1,1),則系統(tǒng)的軌線仍呈現(xiàn)混沌狀態(tài)(見圖6(a));若取初值為(0.24,0.01,0.01),則系統(tǒng)的軌線趨于一個穩(wěn)定的周期軌(見圖6(b)).圖7說明當a=0.005,K=0.04時,若取初值為(0.24,0.01,0.01),則平衡點E變得不穩(wěn)定.

4 結論

本文討論了一類具有唯一平衡點的自治系統(tǒng).運用Hopf分支理論討論了未受控系統(tǒng)(1)與受控系統(tǒng)(4)的平衡點的穩(wěn)定性與Hopf分支.一個有趣的現(xiàn)象是,當選擇的分支參數(shù)在臨界點附近變化時,平衡點的穩(wěn)定性會發(fā)生改變且會有周期解由平衡點分支出,但由數(shù)值模擬可以發(fā)現(xiàn)在未受控系統(tǒng)與受控系統(tǒng)中都會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡點、周解軌與混沌吸引子共存的情況,而且當選擇其他的控制方法,比如非線性反饋控制的時候,這種現(xiàn)象仍然存在,限于篇幅這里未能詳細討論,這也將是下一步的研究方向.

圖7 初值為(0.24,0.01,0.01)系統(tǒng)(1)在a=-0.005,K=0.04時的軌線與相圖

參考文獻:

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