李 靜, 景 麗

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

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具有飽和執(zhí)行器的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

李 靜, 景 麗

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)特征常常會(huì)引入某些非線(xiàn)性特性,其中常見(jiàn)的就是飽和。針對(duì)控制系統(tǒng)中廣泛存在的飽和問(wèn)題,討論了具有飽和執(zhí)行器的離散常時(shí)滯不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題。首先,由于飽和執(zhí)行器的非線(xiàn)性特性會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響,所以利用扇形區(qū)域法對(duì)飽和非線(xiàn)性項(xiàng)進(jìn)行處理。其次,利用李雅普諾夫函數(shù)方法,結(jié)合矩陣不等式性質(zhì),給出了無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件,并且在閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件下,將所得的非線(xiàn)性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性矩陣不等式,該充分條件不僅消除了不確定項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,而且得到了與時(shí)滯無(wú)關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。最后,給出一個(gè)數(shù)值仿真算例,驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性和可行性。

離散系統(tǒng); 執(zhí)行器飽和; 時(shí)滯; 不確定

0 引 言

在實(shí)際控制工程中,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最優(yōu)控制以及機(jī)器人等工程,不確定和時(shí)滯是難以避免的,飽和現(xiàn)象也廣泛存在于各種系統(tǒng)中,因此研究時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是控制界的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。近年來(lái)關(guān)于時(shí)滯問(wèn)題的研究取得了眾多成果。文獻(xiàn)[1]研究了不確定非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題,其中非線(xiàn)性不確定項(xiàng)滿(mǎn)足增益有界的條件,運(yùn)用線(xiàn)性矩陣不等式方法得出魯棒鎮(zhèn)定律的存在條件以及鎮(zhèn)定律的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[2-3]研究了不確定離散多時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,定義新的李雅普諾夫函數(shù),提出時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定判據(jù),并將Oliveira的參數(shù)依賴(lài)思想引入該判據(jù),得到了參數(shù)依賴(lài)型時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[4]研究不確定非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題,把不確定非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的魯棒問(wèn)題轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的線(xiàn)性矩陣不等式,給出了無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件。針對(duì)帶有飽和執(zhí)行器的系統(tǒng),文獻(xiàn)[5]研究了一類(lèi)具有非線(xiàn)性飽和執(zhí)行器的不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]主要討論了具有執(zhí)行器飽和的連續(xù)線(xiàn)性常時(shí)滯不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]利用自由權(quán)矩陣方法討論了具有輸入飽和的時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)的鎮(zhèn)定問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]討論了具有控制約束的多輸入連續(xù)線(xiàn)性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]研究了時(shí)變時(shí)滯在給定區(qū)間內(nèi)的線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題,為引入一些與時(shí)變時(shí)滯相關(guān)的狀態(tài)變量,構(gòu)建了新的李雅普諾夫函數(shù),分別得出了以線(xiàn)性矩陣不等式形式表示的關(guān)于標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)以及帶范數(shù)有界不確定性系統(tǒng)的保守性更小的結(jié)論。文獻(xiàn)[10]對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的一類(lèi)不確定線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究,通過(guò)引入無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器得出時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[11-12]對(duì)帶有時(shí)變時(shí)滯的不確定系統(tǒng)運(yùn)用李雅普諾夫方法給出新的時(shí)滯相關(guān)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[13]依據(jù)Finsler’s引理,得出具有飽和執(zhí)行器的離散線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,并且利用迭代算法進(jìn)行了吸引域估計(jì)。文獻(xiàn)[14]研究帶有飽和執(zhí)行器的線(xiàn)性系統(tǒng)的吸引域估計(jì)問(wèn)題,引入了輔助矩陣H來(lái)處理飽和非線(xiàn)性項(xiàng),將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式。

本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[6],研究了一類(lèi)同時(shí)具有狀態(tài)時(shí)滯、輸入時(shí)滯和帶有飽和執(zhí)行器的離散不確定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題,根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)方法,結(jié)合線(xiàn)性矩陣不等式性質(zhì),給出無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制律存在的充分條件。最后,給出一個(gè)數(shù)值仿真算例。

1 問(wèn)題描述

考慮如下不確定時(shí)滯的執(zhí)行器飽和離散系統(tǒng):

其中:x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,h為常時(shí)滯;u(k)∈Rm是輸入向量;A、A1、B、B1為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;ΔA、ΔA1、ΔB、ΔB1為不確定實(shí)數(shù)矩陣,且滿(mǎn)足

考慮無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器

且設(shè)η(k)=sat(u(k))-Fx(k)=sat(2Fx(k))-Fx(k),η(k)Tη(k)≤x(k)TFTFx(k),則有sat(u(k))=η(k)+Fx(k);同理有sat(u(k-h))=η(k-h)+Fx(k-h),η(k-h)Tη(k-h)≤x(k-h)TFTFx(k-h)。

系統(tǒng)(1)在無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器(2)作用下,閉環(huán)系統(tǒng)為:

1) S<0;

引理2[10]對(duì)任意適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣D、F(k)、E和標(biāo)量ε>0,其中FT(k)F(k)≤I,下面不等式成立:

DF(k)E+ETFT(k)DT≤ε-1DDT+εETE

公路橋梁下部構(gòu)造對(duì)于工程荷載能力的增強(qiáng)和工程穩(wěn)定性具有重要作用。一般情況下，擴(kuò)大基礎(chǔ)加固法、基礎(chǔ)加樁法等都是其常用的加固方式。在擴(kuò)大基礎(chǔ)加固法應(yīng)用過(guò)程中，工程建設(shè)人員首先應(yīng)對(duì)加固的材質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格規(guī)范，然后確?；A(chǔ)水平與公路橋梁水平的協(xié)調(diào)，同時(shí)還應(yīng)在防排水方面進(jìn)行嚴(yán)格規(guī)范；而在加樁法應(yīng)用過(guò)程中，樁體埋深、樁間距、樁材料等都是其把控的重點(diǎn)所在。只有確保這些基礎(chǔ)加固方式應(yīng)用的合理，才能實(shí)現(xiàn)公路橋梁應(yīng)用質(zhì)量的有效提升。

2 穩(wěn)定性分析

定理 考慮不確定離散時(shí)滯系統(tǒng)(1),給定狀態(tài)反饋增益矩陣F,如果存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣P和Q,以及標(biāo)量ε>0,λ>0使得下面的矩陣不等式成立:

則閉環(huán)系統(tǒng)(1)在給定狀態(tài)反饋控制器(2)下是漸近穩(wěn)定的。

證明 取李雅普諾夫函數(shù)為:

則ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))

其中

為此,只需證明M<0即可得到ΔV<0,即系統(tǒng)在(2)下漸近穩(wěn)定。

M<0可寫(xiě)成下面的形式:

上式等價(jià)于

式(5)等價(jià)于

根據(jù)引理2可知存在ε>0,使得:

式(6)可寫(xiě)成:

3 仿真算例

例 考慮控制系統(tǒng)(1),具有如下參數(shù):

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式(3)得:

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了含有飽和執(zhí)行器的不確定離散時(shí)滯系統(tǒng),用矩陣不等式的形式給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,以及無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。最后,通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。

[ 1 ]羅亮,金朝勇,陳德銀,等. 一類(lèi)非線(xiàn)性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋[J]. 廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2008,25(1):20-23.

[ 2 ]高會(huì)軍,王常虹. 不確定離散多時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒鎮(zhèn)定[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2004,30(5):789-795.

[ 3 ]邵克勇,張會(huì)珍,趙萬(wàn)春,等. 不確定時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)魯棒鎮(zhèn)定[J]. 計(jì)算機(jī)技術(shù)與自動(dòng)化, 2004,23(1):17-20.

[ 4 ]方建印,王莉萍,從梅艷. 一類(lèi)不確定非線(xiàn)性離散時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2006,38(3):10-16.

[ 5 ]蘇宏業(yè),潘紅華,蔣培剛,等. 一類(lèi)具有非線(xiàn)性飽和執(zhí)行器的不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制[J]. 控制與決策, 2000,15(1):23-26.

[ 6 ]杜鴻波,景麗. 執(zhí)行器飽和的不確定時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定[J]. 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2014,32(3):369-373.

[ 7 ]王煒,曾紅兵,肖伸平. 具有輸入飽和的時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)穩(wěn)定性分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,25(1):101-104.

[ 8 ]司玉琴,陳東彥. 具有控制約束的多輸入系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2009,14(6):66-69.

[ 9 ]孟浩飛,康宇,翟弟華. 時(shí)變時(shí)滯線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性[J]. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2013,43(7):523-531.

[10]LI Xi,DE SOUZA C E. Criteria for robust stability and stabilization of uncertain linear systems with state delay[J]. Automatica, 1997,33(9):1657-1662.

[11]WANG Cheng,SHEN Yi.Improved delay-dependent robust stability criteria for uncertain time delay systems[J]. APPL MATH COMPUT, 2011,218(6):2880-2888.

[12]LIU Pinlin. A delay decomposition approach to robust stability analysis of uncertain systems with time-varying delay[J]. ISA Transactions, 2012,51(6):694-701.

[13]MA Yongmei,YANG Guanghong.Stability analysis for linear discrete-time systems subject to actuator saturation[J]. J Control Theory Appl, 2010,8(2):245-248.

[14]HU Tingshu,LIN Zongli,CHEN Benmei. An analysis and design method for linear systems subject to actuator saturation and disturbance[J]. Automatica, 2002,38(2):351-359.

[15]俞立. 魯棒控制-線(xiàn)性矩陣不等式處理方法[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2002.

Stabilization of uncertain discrete time-delay systems with actuator saturation

LIJing,JINGLi

(School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Dynamic characteristics of the actuator will often introduce some non-linear characteristics, the common one is saturation. This paper discusses the robust stabilization problem of discrete time-delay uncertain system with actuator saturation. First of all, since the nonlinear characteristics of saturated actuator will have great influence on the stability of the system, the paper deals with saturated nonlinear item by using fan zone method. Secondly, using Lyapunov function method, combined with matrix inequality properties, the paper proposes an existence condition of memory-less state feedback controller, and under the stability conditions of the closed-loop system, the nonlinear matrix inequality was transformed into linear matrix inequality. The sufficient condition not only eliminates the influence of uncertainties on the stability of the system, but also reaches the time-delay independent stability criterion. Finally, a numerical example illustrates the feasibility and effectiveness of the results.

discrete system; actuator saturation; time-delay; uncertain

2015-06-02。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014435)。

李 靜(1990-),女,山西朔州人,沈陽(yáng)師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 景 麗(1967-),女,沈陽(yáng)人,沈陽(yáng)師范大學(xué)副教授,博士,碩士研究生導(dǎo)師。

1673-5862(2015)03-0346-05

O231

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.03.007