鄭 麗，白寶玉

(1.宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院，安徽宿州 234000；2.重慶市公安局科技信息化處，重慶 401147)

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基于時(shí)間序列的基坑地表沉降預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用

鄭 麗1，白寶玉2

(1.宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院，安徽宿州 234000；2.重慶市公安局科技信息化處，重慶 401147)

針對(duì)地鐵工程地表沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)問題，分析時(shí)間序列分析中求和自回歸移動(dòng)平均模型理論；結(jié)合某地鐵車站地表沉降的一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)連續(xù)39期的沉降實(shí)測(cè)資料，研究地鐵施工過(guò)程中基坑周邊地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變化趨勢(shì)。應(yīng)用ADF單位根檢驗(yàn)完成時(shí)間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)，根據(jù)自相關(guān)偏自相關(guān)函數(shù)分析來(lái)進(jìn)行模型參數(shù)定階。在經(jīng)過(guò)比較ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(1,2,1)、ARIMA(1,2,2)四種模型，基于AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則以及相關(guān)系數(shù)R2確定最終擬合模型為ARIMA(1,1,2)，計(jì)算得出模型實(shí)際值與預(yù)測(cè)值吻合較好，并經(jīng)計(jì)算得出平均殘差值和平均相對(duì)誤差分別為-0.0185mm、2.72%，證明了模型的有效性，滿足短期預(yù)測(cè)需求，可為地鐵車站施工安全監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)研究提供一定的借鑒。

地表沉降監(jiān)測(cè)；求和自回歸移動(dòng)平均模型；預(yù)測(cè)

地鐵的出現(xiàn)為城市的發(fā)展提供了更大的空間，是城市不可或缺的交通工具[1]。由于反復(fù)“卸載-加載”作用，施工過(guò)程可能造成水土流失，同時(shí)將擾動(dòng)地層。地鐵車站施工引起地層應(yīng)力場(chǎng)重分布，應(yīng)力場(chǎng)調(diào)整過(guò)程中引發(fā)地層變形[2]，產(chǎn)生的地層變形又可能引起已有建(構(gòu))筑物、道路、管線沉降、傾斜、開裂等情況，引起較大的地表變形，從而導(dǎo)致地表發(fā)生下沉、傾斜變形、水平移動(dòng)及非連續(xù)變形等。因此，在地鐵車站施工過(guò)程中，變形監(jiān)測(cè)顯得尤為重要。

城市建筑高密度地區(qū)的基坑，尤其是開挖范圍和深度較大的地鐵車站基坑的施工對(duì)周邊建筑物的影響需要重點(diǎn)監(jiān)控[3]。在基坑開挖與降水的同時(shí)，往往伴隨著基坑周邊的地表沉降[4]。地表沉降變形的有效控制是安全施工的關(guān)鍵，由于其影響因素較多，現(xiàn)有理論很難對(duì)其進(jìn)行有效估計(jì)。地表沉降預(yù)測(cè)通過(guò)建立相關(guān)模型獲得預(yù)測(cè)變形值，是地鐵施工及周邊建筑物安全評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。

近年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)地表沉降預(yù)測(cè)問題展開研究。李宏輝運(yùn)用最小二乘支持向量機(jī)建立基坑地表沉降預(yù)測(cè)模型，借助網(wǎng)絡(luò)搜索算法優(yōu)化模型參數(shù)，實(shí)現(xiàn)基坑周邊地表沉降連續(xù)滾動(dòng)預(yù)測(cè)[5]。危來(lái)龍針對(duì)地表沉降波動(dòng)較大對(duì)預(yù)測(cè)模型造成擾動(dòng)的問題，運(yùn)用Mallat算法對(duì)沉降序列完成分解和重構(gòu)出平滑和細(xì)節(jié)分量，應(yīng)用灰色模型對(duì)平滑分類進(jìn)行擬合，而對(duì)細(xì)節(jié)分量用馬爾科夫模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而疊加各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，得出原始序列的沉降預(yù)測(cè)值[6]。而求和自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)具有很多其他方法難以比擬的優(yōu)點(diǎn)：它通過(guò)時(shí)間序列過(guò)去時(shí)點(diǎn)上的信息，建立模型擬合過(guò)去的信息，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來(lái)的信息。從數(shù)據(jù)序列本身出發(fā)建立模型，從根本上避免了尋找主要因素及識(shí)別主要因素和次要因素的困難[7]。為此，筆者比較了幾種ARIMA模型，闡述模型識(shí)別及參數(shù)選擇等問題，以工程實(shí)例說(shuō)明基于求和自回歸移動(dòng)平均模型進(jìn)行地表沉降預(yù)報(bào)是有效的，可為地鐵車站施工安全監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)工作提供一定的借鑒和參考。

1 求和自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)概述

自回歸移動(dòng)平均模型(Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA)由博克斯(Box)與詹金斯(Jenkins)創(chuàng)立，也稱為B-J方法，ARMA模型主要有三種形式：AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)，其中p為自回歸項(xiàng)，q為移動(dòng)平均項(xiàng)，但三種模型僅僅適用于處理平穩(wěn)序列的自相關(guān)。

對(duì)于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列{Yt}，若Yt的取值不僅與其前p步的取值Yt-1,Yt-2,…,Yt-p有關(guān)，而且與其前q步的白噪聲et-1,et-2,…,et-q有關(guān)，利用多元回歸的思想對(duì)Yt建模，得到自回歸滑動(dòng)平均ARMA(p,q)模型[8]，其表達(dá)式如下：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2…+φpYt-p+et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q.

(1)

其中，φ1,φ2，…，φp是自回歸系數(shù)，p是自回歸階數(shù)，et是白噪聲序列，θ1，θ2，…，θq是滑動(dòng)平均系數(shù)，q是滑動(dòng)平均階數(shù)。

φ然而，時(shí)間序列的數(shù)字特征往往是隨著時(shí)間的變化而變化的，對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，對(duì)于非平穩(wěn)序列可以進(jìn)行d階差分，將其變?yōu)槠椒€(wěn)序列，再使用B-J方法，建立求和自回歸移動(dòng)平均模型，該模型實(shí)質(zhì)是d階差分運(yùn)算和ARMA(p,q)模型的集合，記為ARIMA(p,d,q)，其中p為AR模型階數(shù)，q為MA模型的階數(shù)，d為差分階數(shù)，其通用表達(dá)式[9]如下：

Wt=Yt-Yt-1=φ1(Yt-1-Yt-2) +φ2(Yt-2-Yt-3)+…+φp(Yt-p-Yt-p-1) +et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q

=φ1Wt-1+φ2Wt-2+…+φpWt-p+et-θ1et-1-θ2et-2-θqet-q.

(2)

2 數(shù)據(jù)來(lái)源及預(yù)處理

2.1 工程背景

本文選取的某地鐵車站土建工程由主體結(jié)構(gòu)和附屬結(jié)構(gòu)兩部分組成。主體結(jié)構(gòu)布置為地下二層，站廳層布置于地下一層，站臺(tái)層位于地下二層，采用明挖順作法，該地鐵車站結(jié)構(gòu)外包總長(zhǎng)度為170.9m，車站標(biāo)準(zhǔn)橫剖寬19.6m，高13.14m。附屬結(jié)構(gòu)基坑深約9.0m，采用SMW工法樁加內(nèi)鋼管支撐，車站所處周圍環(huán)境比較簡(jiǎn)單，距離周邊建筑物較遠(yuǎn)，地下管線較為密集且部分年久失修。表1為選取的某地鐵車站一個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)39期連續(xù)觀測(cè)數(shù)據(jù)。

2.2 ADF單位根平穩(wěn)性檢驗(yàn)

ADF(Augmented Dickey Fuller)檢驗(yàn)法是由Dickey和Fuller于1979年提出的單位根檢驗(yàn)方法。該方法是對(duì)DF檢驗(yàn)適用范圍的推廣，所以常被稱為增廣DF檢驗(yàn)。其特點(diǎn)是：假設(shè)時(shí)間序列是由一個(gè)P階自回歸過(guò)程AR(p)生成的，然后建立估計(jì)模型來(lái)估計(jì)參數(shù)并進(jìn)行單位根檢驗(yàn)[10]。

應(yīng)用ARIMA模型之前需要檢驗(yàn)原始序列的平穩(wěn)性，本文應(yīng)用ADF單位根檢驗(yàn)法對(duì)表1中地鐵車站地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。原始序列和一階差分序列的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 變量的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)表2變量的ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果分析，原始序列的ADF統(tǒng)計(jì)量-0.565774大于1%顯著水平下臨界值-2.2630762、5%顯著水平下臨界值-1.950394、10%的顯著水平下的臨界值-1.611202，接受原假設(shè)，其含有單位根，因而原始序列在水平情況下是非平穩(wěn)序列。顯然，一階差分序列的ADF值分別為-4.038999小于1%顯著水平下臨界值-3.632900、5%顯著水平下臨界值-2.948404和10%顯著水平下的臨界值-2.612874，故而拒絕了原假設(shè)，表明一階差分序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。通過(guò)ADF單位根檢驗(yàn)可知：原始序列為非平穩(wěn)序列，經(jīng)過(guò)一階差分之后的序列為平穩(wěn)序列。因而，ARIMA(p,d,q)模型中的值d為1。

3 應(yīng)用ARIMA模型建立地表沉降監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)模型

3.1 模型的識(shí)別

在應(yīng)用ARIMA模型解決實(shí)際問題的過(guò)程中，模型階數(shù)確定是建模的一個(gè)難點(diǎn)。經(jīng)過(guò)ADF檢驗(yàn)得出原始序列為1階單整序列，確定模型中的d值為1之后，只需確定模型中的p和q。由于MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)是在q步以后截尾的，而AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)是在p階截尾的，所以可以通過(guò)自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)來(lái)識(shí)別ARIMA(p,d,q)模型。從圖1中可以判斷一階差分序列的自相關(guān)系數(shù)在1階拖尾，而偏相關(guān)系數(shù)在1階拖尾，二者均表現(xiàn)為拖尾的性質(zhì)，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的拖尾階數(shù)即為q，偏自相關(guān)函數(shù)的拖尾階數(shù)即為p，因此建立的ARIMA(p,d,q)可以初步確定為ARIMA(1,1,1)模型。

圖1 一個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)一階差分的相關(guān)系數(shù)圖

3.2 模型的定階

時(shí)間序列模型中，因變量中往往會(huì)包含一些滯后期的變量，而且滯后階數(shù)越高，模型的擬合效果越好，那么，就必須選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)確定最佳滯后長(zhǎng)度。選擇最佳階數(shù)時(shí)，可以選擇日本學(xué)者赤池(Aka-Ike)提出的AIC信息準(zhǔn)則，也可選擇貝葉斯(Bayesian)信息準(zhǔn)則(BIC)來(lái)進(jìn)行模型參數(shù)階數(shù)判定。實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)所組建的模型，要求AIC值和BIC值越小越好[11]。本文對(duì)于ARIMA(p,d,q)模型的p和q采用AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則進(jìn)行定階，選擇最優(yōu)的擬合模型，得到結(jié)果如表3所示。

表3 基于AIC和BIC準(zhǔn)則的多個(gè)ARIMA(p,d,q)模型檢驗(yàn)結(jié)果比較

從表3中模型檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，ARIMA(1,1,2)模型與其他模型相比，AIC達(dá)到最小，BIC在4個(gè)模型中僅次于ARIMA(1,1,1)達(dá)到最小。在時(shí)間序列模型中，要求所相關(guān)系數(shù)R2越大(越接近于1)，表明模型的擬合效果越好。4個(gè)模型中，以ARIMA(1,1,2)擬合優(yōu)度最好，達(dá)到68.8%。所以選擇ARIMA(1,1,2)模型作為最佳的擬合模型。

3.3 模型的檢驗(yàn)與應(yīng)用

模型是否合適，需要對(duì)其擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，典型的方法是對(duì)觀測(cè)值和模型擬合值的殘差進(jìn)行分析。如果殘差序列不是白噪聲序列，則說(shuō)明還有信息包含在相關(guān)的殘差序列中未被提出，模型其他參數(shù)不能完全代表建模對(duì)象的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，即所建模型不是最終模型，此時(shí)可對(duì)殘差擬合更復(fù)雜的模型，以充分提煉資料的信息[12]。

本文將預(yù)處理后的37期地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)用于ARIMA(1,1,2)建模，2期地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果，將殘差值、預(yù)測(cè)值、相對(duì)誤差列入表3?；贏RIMA(1,1,2)的預(yù)測(cè)結(jié)果殘差很小，精度很高，在基坑周邊地表沉降變形預(yù)測(cè)中能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)基坑周邊地表沉降。由表4的殘差統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制殘差的自相關(guān)圖2可知，通過(guò)對(duì)參與建模的37期數(shù)據(jù)殘差序列自相關(guān)系數(shù)與0顯著無(wú)差異，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其為白噪聲序列。

利用已經(jīng)通過(guò)殘差檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)計(jì)算得到2組實(shí)測(cè)值為2.4mm的地表沉降量的預(yù)測(cè)值分別達(dá)2.4043mm和2.4101mm，殘差分別為-0.0043mm和-0.0101mm，相對(duì)誤差甚小，分別為0.18%和0.42%。為了更好地說(shuō)明該模型預(yù)測(cè)的精度較高，計(jì)算得到連續(xù)39期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值平均殘差值為-0.0185mm，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值平均相對(duì)誤差為2.72%。從圖3可以看出，ARIMA(1,1,2)模型擬合效果較好，實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值吻合較好，模型可靠。

表4 一個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降預(yù)測(cè)值、殘差及相對(duì)誤差

圖2 殘差序列的相關(guān)系數(shù)圖

圖3 一個(gè)地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

4 結(jié)語(yǔ)

在地鐵車站的施工過(guò)程中，進(jìn)行周邊地表沉降監(jiān)測(cè)是非常有必要的。根據(jù)監(jiān)測(cè)過(guò)程所得數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)出預(yù)報(bào)，提前做好相應(yīng)處理，有利于對(duì)基坑及周邊環(huán)境安全進(jìn)行有效的控制，可保證施工安全、長(zhǎng)期地進(jìn)行。本文基于地鐵車站地表沉降監(jiān)測(cè)中某個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)39期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，將預(yù)處理后的37期數(shù)據(jù)建立ARIMA(1,1,2)模型，其余2組數(shù)據(jù)對(duì)模型的預(yù)測(cè)值進(jìn)行檢驗(yàn)。通過(guò)實(shí)證分析得出以下結(jié)論：

(1)應(yīng)用ADF單位根檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)原始序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)原始序列在1%、5%、10%的顯著性水平上接受了原假設(shè)，而一階差分序列在1%、5%、10%的顯著性水平上拒絕了原假設(shè)，故原始序列為1階單整序列；(2)對(duì)于平穩(wěn)一階差分序列，引入求和自回歸移動(dòng)平均模型。在應(yīng)用該模型過(guò)程中，模型參數(shù)如何確定是難點(diǎn)。通過(guò)考察數(shù)據(jù)樣本自相關(guān)、偏相關(guān)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)二者均具有拖尾性質(zhì)，初步判定模型為ARIMA(1,1,1)；(3)本文研究了ARIMA模型階數(shù)識(shí)別及參數(shù)估計(jì)問題。通過(guò)比較ARIMA(1,1,1)、ARIMA(1,1,2)、ARIMA(1,2,1)、ARIMA(1,2,2)四種模型，并借助于AIC和BIC準(zhǔn)則及相關(guān)系數(shù)R2，證明在現(xiàn)有地鐵車站基坑地表沉降37期觀測(cè)數(shù)據(jù)參與建模條件下，確定最佳擬合模型為ARIMA(1,1,2)，其擬合優(yōu)度達(dá)到68.8%，而AIC和BIC值相對(duì)較??；(4)將預(yù)處理后的37期地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)用于ARIMA(1,1,2)建模，2期地表沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)效果，通過(guò)計(jì)算得出模型實(shí)際值與預(yù)測(cè)值吻合較好，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值平均殘差值為-0.0185mm，平均相對(duì)誤差為2.72%，表明該模型能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)地表沉降監(jiān)測(cè)實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)，可為地鐵車站基坑工程監(jiān)測(cè)和預(yù)報(bào)變形提供一定的參考。

[1]扈世民,王夢(mèng)恕,張麗,等.基于變位分配法地鐵車站變形規(guī)律研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2013,32(2):266-272.

[2]楊國(guó)東,詹福雷.人城市地鐵變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理[J].測(cè)繪與空間地理信息,2014,37(2):6-8.

[3]吳朝陽(yáng),李正農(nóng),蔣彪.明挖基坑對(duì)周邊地表及建筑影響的實(shí)測(cè)分析[J].工業(yè)建筑,2014,44(9):88-96.

[4]張遠(yuǎn)芳,成峰,王海濤,等.深基坑周邊地表沉降隨工況逐步預(yù)測(cè)的方法[J].水利與建筑工程學(xué)報(bào),2013,11(4):141-145.

[5]李宏輝.基于LS-SVM的基坑周邊地表沉降組合預(yù)測(cè)模型[J].南寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院,2013,18(4):89-92.

[6]危來(lái)龍.地鐵施工段地表沉降組合預(yù)測(cè)模型研究[J].測(cè)繪與空間地理信息,2013,36(10):241-244.

[7]李紹東.中國(guó)裝備制造業(yè)先進(jìn)水平實(shí)證研究[M].北京:中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社,2013:112-114.

[8]覃劭峰.GM(1,1)-ARIMA最有組合的大壩預(yù)測(cè)模型[J].測(cè)繪通報(bào),2014(S1):66-69.

[9]鄒進(jìn)貴,肖揚(yáng)宣,張士勇.基于ARIMA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型在地基沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究[J].測(cè)繪通報(bào),2014(S1): 99-104.

[10]史代敏,謝曉燕.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京：高等教育出版社,2011:187-188.

[11]張宗新.金融計(jì)量學(xué)[M].北京:中國(guó)金融出版社,2008:57-62.

[12]徐曉楠,張曉珺,施照成.基于北京火災(zāi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列分析[J].安全與環(huán)境學(xué)報(bào),2014,14(1):73-77.

Forecasting Model and Its Application based on Time Series for Ground Surface Subsidence of Foundation Pit

ZHENG Li1，BAI Bao-yu2

(1.School of Environment and Survey Engineering, Suzhou University, Suzhou Anhui 234000, China;2.Science Information office of Chongqing Police, Chongqing 401147, China)

Aiming at some problems of the surface settlement monitoring and prediction for the subway engineering, and according to the theory of time series analysis and summation auto-regressive moving average model，this article studies the changing trends of monitoring point of surface subsidence of foundation pit, combining the measured data of the surface settlement of a subway station 39 consecutive period of a monitoring the settlement of the subway construction. Applying ADF unit root test to complete time series data stationarity test, the model parameters are determined by the autocorrelation function analysis. Comparing the four models of ARIMA (1,1,1), ARIMA (1,1,2), ARIMA (1, 2, 1), ARIMA(1,2,2) and based on the AIC criterion and BIC rule and correlation coefficient R2, the final fitting model ARIMA (1,1,2) is adopted. The calculated results are in good agreement with the predicted values, and the average residual value and the average relative error are -0.0185mm and 2.72% respectively. This proves the validity of the model and meets the demand of short-term prediction. Therefore, it can provide some reference for the subway station construction safety monitoring and forecast research.

surface subsidence detection; summation auto-regressive moving average model; prediction

2015-08-11

宿州學(xué)院大學(xué)生科研項(xiàng)目(KYLXLKYB15-06，KYLXLKYB15-09)；宿州學(xué)院安徽省煤礦勘探工程技術(shù)研究中心開放課題(2013YKF04)；宿州學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目(2011yss03)。

鄭 麗(1983- )，女，江蘇洪澤人，宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院講師，碩士，從事3S技術(shù)及其一體化研究。

TU463

A

2095-7602(2015)10-0075-06