王玉娟

數(shù)列求和一直是數(shù)列試題的考察重點，也是解答的難點，掌握良好的解題技巧能在考試中縮短解題時間，提升解題的準確性，實現(xiàn)考試成績的提高，對高中數(shù)學學習意義重大。

一、錯位相減

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=1，an+1=2sn，求數(shù)列{an}的通項公式an和前n項和Sn。令n=2、3、4…可求得a2=2、a3=6，a4=18、54…，可知數(shù)列{an}在n>1時是等比數(shù)列，an=2×3n-2;n=1時，an=1。則Sn=1+2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-3+2×3n-2，3Tn=3+2×31+2×32+2×33+…+（n-2）2×3n-3+（n-1）2×3n-2+2×3n-1，則數(shù)列{an}的前n項和=（3Tn-Tn）/2=3n-1（n>1）;1（n= 1）。由于數(shù)列{an}并不是等比數(shù)列，所以等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）在此并不適用，不過我們發(fā)現(xiàn)當n>時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比是3，這是我們?nèi)?倍Sn的原因，也是運用錯位相減法求Sn的關鍵。

二、分組法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，通項公式an=n+3n，求數(shù)列{an}的前n項和Sn。令n=1、2、3……可得a1=4、a2=11、a3=30…，那么可知數(shù)列{an}既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列。不過經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)，n+3n的前半部分n是等差數(shù)列，后半部分3n是等比數(shù)列，設bn=n，cn=3n，那么an=bn+cn。等差數(shù)列{bn}的前n項和Ln=n+n（n-1）/2;等比數(shù)列{cn}的前n項和Mn=3（3n-1）/2，則Sn=Ln+Mn =（3n+1+n2+n-3）/2。對于不用性質(zhì)組成的數(shù)列，進行拆分后求各個子數(shù)列的前n項和，然后把各個字數(shù)列的前n項和相加即為原來的數(shù)列的前n項和。解答這類數(shù)列的關鍵是拆分，可拆封成等差數(shù)列+等差數(shù)列、等差數(shù)列+等比數(shù)列、等比數(shù)列+等比數(shù)列的形式，不要拘泥于一種拆分形式，可靈活運用。

三、合并法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，a1=2、a2=7，a3=5，an+2=an+1-an，求S1999。令n=4、5、6…，可得a4=-2、a5=-7、a6=-5…，那么可知數(shù)列{an}既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列。不過經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)，a6m+1=2、a6m+2=7、a6m+3=5、a6m+4=-2、a6m+5=-7、a6m+6=-5（k為正整數(shù)），也就是說S1998=0，則S1999=0+a1999。因為1999= 6×333+1，所以a1999=2，則S1999=2。運用合并法求和的關鍵是找出數(shù)列中特殊項，然后合并特殊項，使其相互消減，然后把剩下的各項相加即求出前n項和，最終順利地解決這個數(shù)列問題。

四、反序相加法求和

例如：求cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，設式①：S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，把式①右邊反過來得式②：S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°，式①式②相加得：2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°。因為cosx=sin（90°-x），cos2x+sin2x=1，所以2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°=cos21°+sin21°+cos22°+sin22°+cos23°+sin23°+…+cos289°+sin21°=89，所以S=44.5，即求出cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值。應用反序相加法求和的關鍵是正序公式的各項與其對應的反序各項的和是固定值，然后求出總值并除以2即為所求數(shù)列的和。

五、裂項法求和

例如，已知數(shù)列{an}，n是正整數(shù)，an= ? ? ? ? ? ? ?，求{an}的前n項和Sn。

對an= ? ? ? ? ? ?進行裂項可得：

an=

則Sn=

運用裂項法求和的關鍵裂項的形式要對，以確保除了除公式中間的數(shù)據(jù)相加等于固定數(shù)值，與首數(shù)值和末尾數(shù)值相加后，求出前n項和。

六、通項求和

例如，求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項的數(shù)值的位數(shù)是n。因為1…111= ? （9…999）= ? （10k-1）（k 等于1…111的位數(shù)），所以

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101-1）+ ?（102-1）+ ?（103-1）+ ?（104-1）+…+ ?（10n-1）

進行分組求和后：

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101+102+103+104+…+10n）- ?（1 +1+1+1+…+1）（1的個數(shù)是n）

= ? ?（10n-1）-

= ? ?（10n+1-10-9n）

運用通項求和的關鍵是把一個數(shù)值拆成兩個數(shù)值，以便把遵循一個規(guī)律的數(shù)值集合一起進行求解。

對于數(shù)列試題的解答，應在掌握基本概念和性質(zhì)的基礎上進行，否者任何的解題技巧都將無有武之地。此外，也應學習一些經(jīng)典的數(shù)列模型，以便更快地完成試題的解答。

（作者單位：江蘇省如皋市薛窯中學）