陳菊芬

【內(nèi)容摘要】有效地培養(yǎng)和運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺思維，可以開發(fā)學(xué)生的智力，形成學(xué)生良好的思維品質(zhì)。本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，闡述了加強(qiáng)直覺思維訓(xùn)練，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題。

【關(guān)鍵詞】直覺思維 數(shù)學(xué)訓(xùn)練 能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)直覺是一瞬間的思維靈感和頓悟，雖然表現(xiàn)形式高度簡(jiǎn)化，卻是人們長(zhǎng)期積累的一種思維升華。數(shù)學(xué)直覺思維讓學(xué)生有清醒的自我意識(shí)、恰當(dāng)?shù)淖晕曳治?、及時(shí)的自我調(diào)整，努力減少解決問題過程中的盲目性，增強(qiáng)自覺性，從而使得問題得以順利地解決，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高，而更大的效果是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，邏輯思維與直覺思維是不可割離的數(shù)學(xué)思維，而教師往往重視學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)，卻常常忽視培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，甚至把兩者割裂開來，這樣就在無意中限制了學(xué)生的直覺思維的運(yùn)用，忽視學(xué)生有創(chuàng)造性的見解。因此，我們教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生的直覺思維，提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力。

一、恰當(dāng)設(shè)置教學(xué)情景，促進(jìn)學(xué)生整體思考

對(duì)學(xué)生來說，對(duì)于意識(shí)孕育成熟的課題，深入鉆研，將心理活動(dòng)推向高潮，形成“揮之不去，驅(qū)之不散，才下眉頭，又上心頭”的思想白熱化狀態(tài)，也就形成了一觸即發(fā)的待發(fā)勢(shì)態(tài)，從而激起題感和豐富的聯(lián)想。就教師而言，在實(shí)施有效的時(shí)標(biāo)和效標(biāo)的調(diào)控下，要充分發(fā)揮感情動(dòng)力的呼喚功能，具體動(dòng)作時(shí)可采用如下方式創(chuàng)設(shè)學(xué)生的創(chuàng)造心境：（1）角色轉(zhuǎn)換；（2）問題變更；（3）激發(fā)聯(lián)想；（4）奇異刺激；（5）美感誘發(fā)；（6）點(diǎn)示哲理等。心理學(xué)研究表明：情感是人的意識(shí)和潛意識(shí)行為最深層的動(dòng)力因素，它能使人的注意、感知、思維傾向于某一研究對(duì)象，促使其潛能得到最佳發(fā)揮。例如在《多邊形》的教學(xué)中，我先讓學(xué)生欣賞如下圖之類的一些圖片，讓學(xué)生在美的享受中啟迪心靈，引起精神的升華，調(diào)動(dòng)學(xué)生大腦對(duì)世界的直接洞察。我借機(jī)又給學(xué)生課后布置了一個(gè)題目：你們能否從中得到啟發(fā)，比蜜蜂更高明，先在自己的頭腦中建筑自己的“蜂房”，再把它畫出來，或者利用更多的幾何圖形設(shè)計(jì)更富有寓意的圖案？學(xué)生熱情異常活躍，設(shè)計(jì)了很多出乎意料的圖案，讓人驚嘆，發(fā)揮了他們的創(chuàng)造性，從而最大程度地發(fā)揮了其直覺思維。

二、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，幫助尋找直覺思維點(diǎn)

1.利用概念特征

許多數(shù)學(xué)題中有明顯的數(shù)學(xué)概念，利用概念很容易產(chǎn)生直覺思維，進(jìn)行簡(jiǎn)捷解題。例如對(duì)于一些容易混淆的概念，單靠教師的灌輸強(qiáng)記，往往難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，而通過類比的方法，將概念的本質(zhì)屬性用最集中、最精確的形式顯示出來，學(xué)生就會(huì)在鮮明的對(duì)比中澄清對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)。如學(xué)生初學(xué)“冪”這個(gè)概念時(shí)，常與“乘方”混淆，教師可設(shè)計(jì)下列板書：

冪：乘方運(yùn)算的結(jié)果；積：乘法運(yùn)算的結(jié)果；和：加法運(yùn)算的結(jié)果

通過對(duì)比，學(xué)生能利用原來對(duì)“加法——和”、對(duì)“乘法——積”的概念的理解來理解“乘方——冪”關(guān)系，從而頓悟這兩個(gè)概念的聯(lián)系與區(qū)別。

2.利用數(shù)字特征

數(shù)字在數(shù)學(xué)題中大量存在，仔細(xì)觀察數(shù)字，把握其中特征，這些數(shù)字往往預(yù)示著解題的途徑和方法。

3.利用結(jié)構(gòu)特征

有時(shí)題設(shè)條件不易直接代入或直接應(yīng)用，可進(jìn)一步觀察其結(jié)構(gòu)是否有內(nèi)在聯(lián)系，借助于結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)可找到捷徑。例如求證：有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。在解這題之前學(xué)生必須有五種方法常用的判定三角形全等（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）的方法靈活的應(yīng)用。首先要分清題設(shè)和結(jié)論，然后按要求畫出圖形，根據(jù)題意寫出、已知求證后，再寫出證明過程。一題解畢應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧：5個(gè)（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）在這些方法的條件中都至少包含一條邊。還要探討多種解法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)和角度數(shù)特征進(jìn)行分析。經(jīng)過一段時(shí)間的探索，學(xué)生突然提出新方案——換另一條邊證明等。

4.利用條件暗示

有些數(shù)學(xué)題條件非常明了，利用已知條件可以很簡(jiǎn)捷地得出結(jié)論；而有的數(shù)學(xué)題，結(jié)論與條件沒有明顯的內(nèi)在聯(lián)系，要得出結(jié)論有點(diǎn)兒摸不著“路”，此時(shí)不妨從已知條件去考慮。例如在《垂直于弦的直徑》這一課教學(xué)時(shí)，我出示：

已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離為_____。（2或14）

學(xué)生一看題目，感到奇怪：“為什么這個(gè)題目沒有圖形？”直覺告訴他們：圖形可以任意畫出來，或者有不同的畫法而不影響對(duì)題目的解答。當(dāng)大家都畫好后在認(rèn)真解題的時(shí)候，他們又感到奇怪：“弦AB很快可以畫出來了，弦CD到底畫在哪里好呢？”帶著這些驚奇，他們有了不同的想法：“畫在圓心的同一側(cè)”；“畫在圓心的不同側(cè)”；“有兩種情況，一種是畫在圓心的同一側(cè)，另一種是畫在圓心的不同側(cè)?！边@個(gè)問題帶給學(xué)生驚奇，隨著這些“驚奇”的擴(kuò)大，黑板上出現(xiàn)了如下兩個(gè)圖形，問題最后得到了解決。只有思維周密的人是最正確的！

5.利用結(jié)論特征

有時(shí)解題很難從題設(shè)入手，但若以結(jié)論特征去考慮，可很快找到解決問題的突破口。

6.利用數(shù)形結(jié)合

教科書中滲透著大量的數(shù)形結(jié)合思想，從數(shù)軸開始，就非常重視學(xué)生這方面思維的培養(yǎng)，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)式特征和幾何圖形提供的直覺信息相結(jié)合，往往可以找到解題的新思路。

例如：觀察反比例函數(shù)y= 的圖象，回答下列問題：

（1）寫出A1和A2的坐標(biāo)

A1（2，___）和A2（-2，___）

（2）分別過點(diǎn)A1和A2作x軸的垂線，垂足分別

是B1和B2，則下列說法正確嗎？為什么？

①OA1=OA2

②∠A1OB1=∠A2OB2

③點(diǎn)A，O，A在同一直線上。

本題對(duì)于初學(xué)函數(shù)的八年級(jí)學(xué)生來說，有了一定的難度，他們對(duì)于函數(shù)比較熟悉的是由已知條件利用待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值，而對(duì)于數(shù)形結(jié)合則比較陌生，此時(shí)，我們只要啟發(fā)學(xué)生從要說明的幾何形式的結(jié)論出發(fā)，或從A1和A2兩點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)分析，前者是圖中存在的兩個(gè)三角形的邊和角，而通過三角形全等證明邊和角相等是學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備中的基礎(chǔ)，只要具備了這一知識(shí)，本題就極易解決了；若從坐標(biāo)特點(diǎn)來看，只要具備軸對(duì)稱（尚未學(xué)中心對(duì)稱）知識(shí)，把OA1關(guān)于x軸和y軸進(jìn)行兩次軸對(duì)稱變換就能得到OA2，問題也就解決了。進(jìn)而可向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)題最常用的一種數(shù)學(xué)方法。

7.運(yùn)用“類比聯(lián)想”

數(shù)學(xué)類比聯(lián)想是將兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)照，交合類比，找出它們?cè)谀骋环矫娴念愃泣c(diǎn)，從而把其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的有關(guān)性質(zhì)，移植到另一數(shù)學(xué)對(duì)象中去，引起聯(lián)想，在不同對(duì)象中找到相似和相異的地方，通過直覺思維，在類比中聯(lián)想。正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！痹凇斗讲睢愤@一節(jié)教學(xué)時(shí)，我出示題目：農(nóng)科院為了選出適合某種種植的甜玉米種子，對(duì)甲、乙兩個(gè)品種各用10塊試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到各試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量如下表，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，應(yīng)為農(nóng)科院選擇甜玉米種子提出怎樣的建議呢？

學(xué)生一看到這種問題，學(xué)生的直覺就是用平均數(shù)和極差，這兩種計(jì)算比較簡(jiǎn)單，而學(xué)生剛剛學(xué)了極差，所以他們就很容易想到，于是他們得到了以下結(jié)論：

極差甲=0.25，極差乙=0.14

這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與極差顯然都不一樣，如果根據(jù)平均數(shù)，學(xué)生會(huì)選擇甲，根據(jù)極差，學(xué)生會(huì)選擇乙，所以在課堂中就產(chǎn)生了兩種不同的意見，這樣就在比較中產(chǎn)生了直覺沖突，讓學(xué)生更有學(xué)習(xí)新內(nèi)容的意愿與求知欲望，為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生做完上題后，有一個(gè)學(xué)生問：“老師，既然利用方差也是可以比較的，那為什么我們平時(shí)考試的成績(jī)不用方差來衡量，而都是用總分或平均分呢？”我說：“這個(gè)問題問得很有水平！”于是我就借機(jī)出示下題：

例題：為了從甲乙兩人中選拔一人參加初中數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽，每個(gè)月對(duì)他們進(jìn)行一次測(cè)驗(yàn)，如圖給出了兩個(gè)人賽前的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)。如果你是他們的輔導(dǎo)老師，應(yīng)該選派哪位學(xué)生參加這次競(jìng)賽，請(qǐng)你結(jié)合圖形簡(jiǎn)要說明理由。

在比較中讓學(xué)生產(chǎn)生了廣泛聯(lián)想，開闊思路，并解決了學(xué)生的疑問，同時(shí)讓學(xué)生產(chǎn)生一種直覺習(xí)慣，他們會(huì)對(duì)方差、平均數(shù)和極差進(jìn)行區(qū)分，并加以靈活地應(yīng)用，達(dá)到了教學(xué)目的，培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維。

三、妥善安排直覺階段，留足直覺思維空間

楊振寧教授說到自己成功的秘訣時(shí)說：“我到芝加哥大學(xué)攻讀博士學(xué)位，學(xué)到一種完全不同的學(xué)習(xí)方法。老師要你注意的不是最高原則，而是一個(gè)新的現(xiàn)象，抓住這些現(xiàn)象進(jìn)行探索、研究、歸納總結(jié)?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)盡可能在著重講明基本概念、觀點(diǎn)及提示有關(guān)材料基礎(chǔ)上，充分利用學(xué)生的各種經(jīng)驗(yàn)，把尋求解決問題的方法的任務(wù)交給學(xué)生，從而激發(fā)其探索精神，使其直覺思維、創(chuàng)新思維得到培養(yǎng)。

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x+z=2y。

分析：整體考察可知，已知等式為x的一元二次方程。直覺猜想：解關(guān)于x的方程可以得出所要證明的結(jié)論。

證明：由已知等式得：x2+2（z-2y）x+（z-2y）2=0

于是有（x+y-2z）2=0

故x+z=2y。

例2：如圖，在以AB、AC為腰的等腰△ABC外一點(diǎn)D，滿足AD= AC，若∠BAC=40°，求∠BDC的度數(shù)。

分析：常規(guī)解法涉及到角的一系列運(yùn)算，沒有較強(qiáng)的變形能力，往往難以順利求出結(jié)果。這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何圖形整體觀察，整體思考，從AB=AC=AD很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)B、C、D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上，敏捷洞察到圖形的本質(zhì)，已知與未知立即溝通，于是∠BDC= ∠BAC=20°

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是自主建構(gòu)知識(shí)的過程。每個(gè)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)背景都不盡相同，對(duì)同一個(gè)問題的直覺思維判斷結(jié)果也不會(huì)完全相同。尖子生的直覺思維可能更嚴(yán)密些，后進(jìn)生的直覺思維可能更奇異些，中間生的直覺思維可能更飄忽一些，教學(xué)中重點(diǎn)抓幾個(gè)典型、重視各方面的意見，往往能更好地培養(yǎng)他們的直覺思維能力。

四、形成直覺判別意識(shí)，養(yǎng)成總結(jié)反思習(xí)慣

直覺是運(yùn)用有關(guān)知識(shí)組塊和形象直感對(duì)當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑的思維形式。在數(shù)學(xué)中，直覺的判別是指人腦對(duì)客觀存在的數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)過程、數(shù)學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、特征、規(guī)律等等的一種迅速的識(shí)別、直接的理解和整體的判斷。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，提倡學(xué)生動(dòng)用大腦中的全部知識(shí)，運(yùn)用類比、聯(lián)想、猜想等，充分發(fā)揮想象力，從宏觀上對(duì)問題進(jìn)行整體分析，抓住數(shù)學(xué)問題的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，棄掉一些次要因素的影響，確定解題的總體思路和途徑。

教師鼓勵(lì)學(xué)生憑直覺大膽地進(jìn)行猜測(cè)，先理出大致的總體的思路，再具體著手推理、運(yùn)算。同時(shí)，教師要不斷地糾正學(xué)生這樣的壞習(xí)慣：一拿到題目，匆匆讀完后就進(jìn)行具體的運(yùn)算，只要能算出具體的數(shù)值就算出來再說，有了這種壞習(xí)慣的學(xué)生往往只見局部不見整體，解題時(shí)手忙腳亂，經(jīng)常忙了很長(zhǎng)時(shí)間后，才發(fā)覺是錯(cuò)的，由于考試時(shí)間有限，每道題目都蜻蜓點(diǎn)水般幾個(gè)簡(jiǎn)單的得數(shù)，感覺每道題目都會(huì)點(diǎn)，就是不能得分。作為教師，應(yīng)該使學(xué)生養(yǎng)成這樣的好習(xí)慣：在理清思路后，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、性質(zhì)、定理、方法列出數(shù)學(xué)方程或代數(shù)式，然后作出評(píng)價(jià)判斷，判斷所列方程或代數(shù)式是否正確，判斷問題所包含的數(shù)學(xué)情景是否都已經(jīng)表達(dá)出來了，判斷所列方程或代數(shù)式是否可解，判斷是否還有補(bǔ)充方程或代數(shù)式，最后才是具體運(yùn)算。

徐利治先生說：“數(shù)學(xué)直覺力的培養(yǎng)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育的重要的內(nèi)容之一”。而學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維不是一朝一夕就能形成的，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通過各種有效的培養(yǎng)方式，堅(jiān)持不懈，持之以恒，形成有效培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的策略，并提高學(xué)生的思維素質(zhì)，提升課堂教學(xué)的實(shí)效性。

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（作者單位：浙江臺(tái)州市天臺(tái)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）