徐振宇 陳賢嬋 郭小瑞

（陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院）

在三角函數(shù)的教學和練習中, 師生常常會碰到一類這樣的三角函數(shù)問題：

問題1：（2013 浙江鎮(zhèn)海中學階段性測試）已知3sinα+4cosα=5，求tanα。

師生通常是從三角方面的知識與方程方面的知識相結(jié)合出發(fā)進行求解，但有時對于像問題1、問題2 師生可以將三角方面的知識與導數(shù)求極值的知識相結(jié)合來巧妙解答。因為三角函數(shù)相關的知識學習是在必修內(nèi)容中，而導數(shù)相關知識在選修內(nèi)容中，在高中數(shù)學的教學過程中，很多學校老師往往是先進行必修內(nèi)容的教學，再進行選修內(nèi)容的教學。選修內(nèi)容的有些知識與前面必修內(nèi)容知識聯(lián)系密切。比如，導數(shù)與函數(shù)會放在高三復習時連接起來，但是因為高考對三角函數(shù)的考查一般很少與導數(shù)聯(lián)系起來，所以很多師生都會忽略導數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合起來解題。有時對于像問題1、2 這種類似的問題，將導數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合起來能巧妙快速準確地解答題目。

作者先給出問題1 目前常見的四種解法。

圖1 思路1

圖2 思路2

解法1：

3sinα+4cosα=5，等式變形得3sinα=5-4cosα，兩邊平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α

得到關于cosα 的方程：25cos2α-40cosα+16=0，

解法2：

等式兩邊平方得到：

9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25

9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25（sin2α+cos2α）

圖3 思路3

圖4 思路4

解法3：

設4sinα-3cosα=x，兩式平方相加得到

解法4：

現(xiàn)在，重點介紹解法5：利用導數(shù)的有關知識來求解。

解法5：

設f（x）=3sinx+4cosx，

∴f（a）的最大值為5，最小值為-5，

圖5 思路5

作者在用解法5 給學生講解這類題時，效果是非常好的。因為在用前面的方法講解時，學生雖然入手很快，但是總在計算時出錯，得分率不是很高，但是教授了解法5 后，學生出錯的概率小了很多，除了個別求導求錯之外。將此法寫出來與大家分享，希望能給同仁以幫助與啟示。