韓曉鵬 , 宋金寶

(1.中國(guó)科學(xué)院海洋研究所, 山東 青島 266071; 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

海表面波面模擬和建模方法主要有3種[1]: 第一種是基于物理方法, 即從海浪的物理特性出發(fā), 通過(guò)求解流體所滿(mǎn)足的 Navier-Stokes方程, 獲得流體質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài); 第二種是基于海浪譜的建模方法, 即利用海浪統(tǒng)計(jì)和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃铣刹煌恼也? 來(lái)獲得海面的仿真效果; 第三種是基于幾何方法, 即通過(guò)構(gòu)造一定的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)模擬水波的外形, 合成一個(gè)海洋表面圖像。由于基于海浪譜的建模方法物理概念清晰, 計(jì)算方便迅速, 且模擬結(jié)果和實(shí)際海浪吻合度高, 而得到廣泛應(yīng)用。

基于海浪譜的海浪建模方法是指采用適當(dāng)?shù)暮＠俗V模型模擬海浪。經(jīng)典的線(xiàn)性模型將海浪視為由多個(gè)不同振幅、不同角頻率和不同隨機(jī)位相的波迭加而成, 這樣形成的波面位移的統(tǒng)計(jì)分布滿(mǎn)足正態(tài)分布[2], 但對(duì)實(shí)際海浪而言, 由于不同組成波之間的非線(xiàn)性相互作用而導(dǎo)致其統(tǒng)計(jì)分布偏離正態(tài)分布,尤其是在淺水的條件下[3-4]或者是在深水中具有較大陡波[5-7]時(shí)。 Longuest-Higgins[8]根據(jù)弱非線(xiàn)性理論,給出了非線(xiàn)性波面統(tǒng)計(jì)模型, Song[9]在有限水深且有均勻背景流場(chǎng)條件下, 根據(jù)攝動(dòng)方法導(dǎo)出波面位移二階表達(dá)式, 這個(gè)表達(dá)式是 Sharma和 Dean[10]導(dǎo)出波面位移二階表達(dá)式在均勻背景流場(chǎng)中的推廣。本文根據(jù) Longuest-Higgins模型[8]和 Song給出的結(jié)果[9], 采用 Combi海浪頻譜[12], 通過(guò)模擬和計(jì)算定點(diǎn)波面位移線(xiàn)性項(xiàng)和二階非線(xiàn)性項(xiàng)時(shí)間序列及其波面位移概率密度分布, 分析了不同海況條件下波面二階非線(xiàn)性項(xiàng)的特征及其隨風(fēng)速、水深、反波齡和均勻背景流的變化規(guī)律。

1 定點(diǎn)波面位移的計(jì)算方法

考慮二維隨機(jī)海浪在有限水深且有均勻背景流的環(huán)境中傳播, 假設(shè)流體是均勻、無(wú)黏、不可壓縮和無(wú)旋的, 背景流場(chǎng)速度方向平行于x軸(x軸沿風(fēng)速方向), 根據(jù) Longuest-Higgins[8]非線(xiàn)性波面模型,Song[9]導(dǎo)出的定點(diǎn)波面位移表達(dá)式為

其中,

這里η1和η2分別表示一階波面位移項(xiàng)和二階波面位移項(xiàng),η表示總波面位移, 它為η1和η2的和,ai為第i個(gè)波分量的振幅,bi=ai( 1 - (kiU/ωi))為加入背景流場(chǎng)影響后的振幅,ωi為角頻率,ki為波數(shù),ψi=kix-ωit+εi,x表示水平一維坐標(biāo),εi代表隨機(jī)位相, 如果εi是獨(dú)立的隨機(jī)變量且均勻分布于(0,2π), 則線(xiàn)性波面位移η1滿(mǎn)足高斯分布。U表示均勻背景流場(chǎng)的流速,h表示水深, 頻散關(guān)系為(ωikiU)2=gkit anh(kih)。

為了下面討論方便, 我們定義

其中,為波面位移統(tǒng)計(jì)平均值,的方差為σ2, 表面波能量為在隨后討論中,我們選取參數(shù)λ3(偏度)和λ4(峰度)作為波面位移統(tǒng)計(jì)特征量, 研究不同風(fēng)速、水深、反波齡和不同均勻背景流條件下波面的特征和變化規(guī)律。

根據(jù)以上波面位移二階表達(dá)式, 選取JONSWAP譜的修正形式 Combi譜[12], 譜的最大頻率取為譜峰頻率的 10倍, 模擬定點(diǎn)波面位移。Combi譜的形式為

這里,fp=gΩ/2πU10為譜峰頻率,Ω表示反波齡,U10表示海平面上 10 m 處的風(fēng)速,α=0.006Ω0.55表示平衡域常數(shù),ft=2.5g/πU10為躍遷頻率,σ= 0.08[1 + 4Ω-3]為譜峰寬度,γD為增長(zhǎng)因子,其形式為

同時(shí), 由于隨機(jī)相位εi會(huì)對(duì)單次模擬的波面位移產(chǎn)生影響, 這里采用重復(fù)模擬多次波面位移, 對(duì)其進(jìn)行多次平均, 以達(dá)到消除隨機(jī)位相εi影響的目的。

2 波面位移隨風(fēng)速、水深、反波齡和均勻背景流的變化

2.1 二階非線(xiàn)性項(xiàng)的特征

首先考慮波面位移中二階非線(xiàn)性項(xiàng)的特征, 采用公式(7)表示的 Combi譜, 這里選取風(fēng)速為 5 m/s,水深為5 m, 反波齡為0.833 3, 在忽略背景流場(chǎng)的條件下, 分別模擬線(xiàn)性項(xiàng)波面位移的時(shí)間序列和總的波面位移的時(shí)間序列, 其相應(yīng)波面位移的概率密度分布見(jiàn)圖1。

圖1 風(fēng)速5 m/s, 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場(chǎng)的條件下, 定點(diǎn)波面位移的概率密度分布Fig.1 The probability density functions of wave surface elevation for wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

根據(jù)圖1, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)使得總的波面位移分布偏離于線(xiàn)性波面位移所滿(mǎn)足的正態(tài)分布, 與正態(tài)分布相比, 波面位移分布范圍變大, 最大概率密度值降低且對(duì)應(yīng)的波面位移值降低, 產(chǎn)生大的波面位移的概率增加, 且波峰對(duì)應(yīng)波面位移大于波谷處的波面位移, 使得波面概率分布具有明顯的非對(duì)稱(chēng)特征。

2.2 波面位移概率密度分布隨風(fēng)速和水深的變化

為了能夠更好地了解二階非線(xiàn)性項(xiàng)對(duì)波面位移統(tǒng)計(jì)分布的影響, 我們引入無(wú)量綱波面位移可以得到ξ的平均值為 0, 標(biāo)準(zhǔn)偏差為1。同時(shí)得到歸一化的波面位移概率密度分布P(ξ)與波面位移的概率密度分布f(η)滿(mǎn)足關(guān)系式

通常情況下P(ξ)偏離高斯分布, 這些差異通常用偏度和峰度來(lái)表示[14]。偏度λ3是一個(gè)表征波面位移垂向不對(duì)稱(chēng)性的統(tǒng)計(jì)量,λ4表示波面位移分布相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)分布的峰度。

首先考慮完全發(fā)展的海況, 即Ω= 0.8333, 并且忽略背景流場(chǎng), 此時(shí)波面位移的狀態(tài)只和風(fēng)速和水深有關(guān)。這里我們只考慮弱非線(xiàn)性條件, 選取風(fēng)速U10≤ 1 0m/s和水深h≥5m的情況, 其不同風(fēng)速和水深條件下參數(shù)C、E、λ3和λ4的值見(jiàn)表1。對(duì)10 m風(fēng)速U10=5 m/s、U10= 7.5 m/s和U10=10 m/s, 線(xiàn)性波面位移所對(duì)應(yīng)的波浪能量E1的值分別為 0.034 5 m2,0.172 2 m2和 0.543 3 m2。

表1 不同風(fēng)速和水深下參數(shù)C, E, λ3, λ4的值Tab.1 Values of C, E, λ3, andλ4 for various wind speeds U10and water depths h

由表1可以看出, 參數(shù)C、E、λ3和λ4在不同風(fēng)速下隨水深的變化趨勢(shì)相同。在此, 我們只選取風(fēng)速為10 m/s的情況進(jìn)行討論。當(dāng)水深取為1 000 m時(shí), 波面偏移量C≈0, 峰度λ4≈0, 說(shuō)明在無(wú)限水深條件下波面位移分布相對(duì)于正態(tài)分布的峰度相同并且平均值為 0, 但是能量E= 0.5605m2,E1=0.5433m2,E≠E1, 并且偏度λ3趨近于常數(shù)0.144,說(shuō)明即使在深水中, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布存在不對(duì)稱(chēng)性, 非線(xiàn)性效應(yīng)也不能完全忽略,二階非線(xiàn)性項(xiàng)引起的能量和偏度變化依然存在。當(dāng)水深從1000 m變淺至5 m時(shí), 波面偏移量C的絕對(duì)值由0增大到0.040 5, 能量E由0.560 5 m2增大到0.897 7 m2, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.007 8增大到0.265 1, 并且隨著風(fēng)速的減小, 以上統(tǒng)計(jì)量增加的速率變小, 說(shuō)明隨著水深變淺, 波浪變陡, 二階非線(xiàn)性相互作用增強(qiáng), 使得平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率增大,波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對(duì)稱(chēng)性加劇,無(wú)量綱波面概率密度分布峰度增大。不同水深下波面位移的概率密度分布見(jiàn)圖2, 為了清楚起見(jiàn), 這里只給出了h=5 m, 7.5 m和100 m三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖2 風(fēng)速5 m/s, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場(chǎng)的條件下, 不同水深下波面位移的概率密度分布Fig.2 The probability density functions of wave surface elevation for various water depths, wind speed at 5 m/s, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

同理, 選取水深為 5 m的情況下討論不同風(fēng)速對(duì)波面位移的影響。當(dāng)風(fēng)速為5 m/s時(shí), 波面偏移量C=-0.004 5, 能量E= 0.0359m2,E1= 0.0345m2,偏度λ3= 0.1646, 峰度λ4= 0.0173。當(dāng)風(fēng)速由5 m/s增至10 m/s時(shí), 波面偏移量C的絕對(duì)值由0.004 5增大到0.040 5, 能量E由0.035 9 m2增大到0.897 7 m2,E1由0.034 5 m2增大到0.543 3 m2,E1/E的比率減小, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.017 3增大到0.265 1, 說(shuō)明隨著風(fēng)速增大, 波浪吸收風(fēng)的能量增加, 導(dǎo)致二階非線(xiàn)性波波相互作用加強(qiáng), 使得平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率增大,波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對(duì)稱(chēng)性加劇, 無(wú)量綱波面概率密度分布相對(duì)峰度增大。不同風(fēng)速下波面位移的概率密度分布如圖3。

圖3 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場(chǎng)的條件下, 不同風(fēng)速下波面位移的概率密度分布Fig.3 The probability density functions of wave surface elevation for various wind speeds, water depth at 5 m,an inverse wave age of 0.8333, and no background current

2.3 波面位移隨反波齡的變化

選取風(fēng)速U10= 1 0 m/s和水深h=5 m, 且忽略背景流場(chǎng), 計(jì)算得到的不同反波齡條件下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值見(jiàn)表2。當(dāng)反波齡Ω= 0.8333時(shí),波面偏移量C= -0.040 5, 能量E= 0.8977m2,E1= 0.5433m2, 偏度λ3= 1.2430, 峰度λ4= 0.2651。當(dāng)反波齡Ω由0.833 3增加到5時(shí), 波面偏移量C的絕對(duì)值由 0.040 5減小到 0.000 5, 能量E由 0.897 7 m2減小到0.001 3 m2,E1由0.543 3 m2減小到0.001 2 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0減小到0.143 0, 峰度λ4由0.265 1減小到0.005 9, 說(shuō)明隨著反波齡增大, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)的作用減弱, 使得平均波面位移逐漸回復(fù)到靜止水面狀態(tài), 二階能量所占總能量的比率減小, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布趨向?qū)ΨQ(chēng), 無(wú)量綱波面概率密度分布相對(duì)峰度降低。不同反波齡下波面位移的概率密度分布見(jiàn)圖4, 為了清楚起見(jiàn), 這里只給出了Ω=0.8333,Ω=1和Ω=5三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖4 風(fēng)速5 m/s, 水深5 m, 忽略背景流場(chǎng)的條件下, 不同反波齡下波面位移的概率密度分布Fig.4 The probability density functions of wave surface elevation for various inverse wave ages, wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and no background current

表2 不同反波齡下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.2 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various inverse wave agesΩ

2.4 均勻背景流對(duì)波面位移隨的影響

選取風(fēng)速U10=10m/s, 水深h=5m和反波齡Ω= 0.8333, 這里假定均勻背景流與風(fēng)速同向或逆向, 計(jì)算得到的不同均勻背景流速(流速為正值時(shí)代表風(fēng)和流同向, 流速為負(fù)值時(shí)代表風(fēng)和流逆向)條件下的參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4值見(jiàn)表3。當(dāng)忽略背景流時(shí), 所得到的波面偏移量C=-0.040 5, 能量E= 0.8977 m2,E1= 0.5433 m2, 偏度λ3= 1.2430,峰度λ4= 0.2651, 當(dāng)風(fēng)和流方向相同且流速?gòu)?0增加至0.4 m/s時(shí), 波面偏移量C的絕對(duì)值由0.040 5增大到0.043 8, 能量E由0.897 7 m2減小到0.739 5 m2,E1由0.543 3 m2減小到0.481 8 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0減小到0.306 4, 峰度λ4由0.265 1減小到0.027 1, 這表明當(dāng)背景流存在且與風(fēng)速相同時(shí), 隨著流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力減弱, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)的作用變?nèi)? 平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率減小, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布趨向?qū)ΨQ(chēng), 峰度降低。當(dāng)風(fēng)和流的方向相反時(shí), 當(dāng)流速?gòu)?0變?yōu)?0.4 m/s時(shí), 波面偏移量C的絕對(duì)值由0.040 5減小到0.018 2, 能量E由0.897 7 m2增加到1.407 4 m2,E1由0.543 3 m2增加到 0.620 7 m2,E1/E的比率減小, 偏度λ3由1.243 0增大到1.801 7, 峰度λ4由0.265 1增大到0.290 2, 這表明當(dāng)背景流存在且與風(fēng)速相反時(shí), 隨著流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力增加, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)的作用變強(qiáng), 平均波面位移逐漸趨于零, 二階能量所占總能量的比率增大, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對(duì)稱(chēng)性加劇, 峰度增大。不同背景流速下波面位移的概率密度分布如下圖5, 為了清楚起見(jiàn), 這里只給出了U=0.4 m/s,U=0 m/s和U=-0.4 m/s三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖5 風(fēng)速5 m/s, 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 不同均勻背景流速下波面位移的概率密度分布Fig.5 The probability density functions of wave surface elevation for various steady and uniform current speeds,wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and an inverse wave age of 0.8333

表3 不同均勻背景流速下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.3 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various steady and uniform current speeds U

3 結(jié)論與討論

本文基于 Longuest-Higgins非線(xiàn)性海浪模型[8],在有限水深且存在均勻背景流場(chǎng)的條件下, 根據(jù)Song(2006)[9]導(dǎo)出的波面位移二階表達(dá)式, 采用Combi譜[12]模擬和計(jì)算了定點(diǎn)波面位移線(xiàn)性項(xiàng)和二階項(xiàng)時(shí)間序列及其相應(yīng)的波面位移概率密度分布,通過(guò)在不同風(fēng)速、水深、反波齡和均勻背景流速條件下對(duì)其特征量C、E、E1、λ3和λ4的分析, 得到以下結(jié)論。

1) 二階非線(xiàn)性項(xiàng)使得波面位移分布偏離于線(xiàn)性波面位移所滿(mǎn)足的正態(tài)分布, 與正態(tài)分布相比, 波面位移分布范圍變大, 最大概率密度值降低且對(duì)應(yīng)的波面位移值降低, 產(chǎn)生大的波面位移的概率增加,且波峰對(duì)應(yīng)波面位移大于波谷處的波面位移, 使得波面概率分布具有明顯的非對(duì)稱(chēng)特征。

2) 波面位移的狀態(tài)受風(fēng)速、水深、反波齡和均勻背景流共同作用。即使在深水中, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)引起的能量和偏度變化依然存在, 它使得波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對(duì)稱(chēng), 波的能量增加, 導(dǎo)致非線(xiàn)性效應(yīng)不能忽略。風(fēng)速增大、水深降低、反波齡減小或者均勻背景流和風(fēng)速方向相反均使得二階能量所占總能量的比率增大, 二階非線(xiàn)性項(xiàng)的作用加強(qiáng), 無(wú)因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度隨之增大。反之, 二階能量所占總能量的比率減小,二階非線(xiàn)性項(xiàng)的作用減弱, 無(wú)因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度隨之減小。

3) 當(dāng)均勻背景流和風(fēng)速相同時(shí), 雖然非線(xiàn)性項(xiàng)的作用加強(qiáng), 但平均波面位移反而比平均水平面降低, 當(dāng)均勻背景流和風(fēng)速相反時(shí), 雖然非線(xiàn)性作用增強(qiáng), 但平均波面位移反而趨于平均水平面。

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