現(xiàn)在的中學(xué)生只知道圓錐體積等于同底同高的圓柱體積的13，除了用容積法和微積分法來(lái)測(cè)量證明以外，不知道用幾何法可以證明，這是除了網(wǎng)上的用水容積法和微積分法外的第三種證明方法.這種方法更直白易懂.這個(gè)題目是個(gè)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，中學(xué)課程中學(xué)了幾何，所以也應(yīng)該知道它也是幾何學(xué)中的知識(shí)問(wèn)題.可以用幾何關(guān)系證明.可是，網(wǎng)上也只有容積法和微積分法，并無(wú)幾何法.本文用幾何法推導(dǎo)圓錐體積V錐=43πr2h等于13圓柱體積的幾何論證.

1圓錐體積公式的幾何推導(dǎo)

圖1圖1是圓錐體縱向剖面圖，是一個(gè)等腰三角形ABO，與圓柱體是同底同高.△ABO被圓柱體的中心軸線 OO1分割成對(duì)稱(chēng)相等的兩部分△AOO1和△BOO1.當(dāng)△AOO1繞OO1旋轉(zhuǎn)一周就形成圓錐體ABO.依據(jù)理論力學(xué)的一個(gè)定理，以本例來(lái)說(shuō)，一個(gè)封閉的幾何圖形如△AOO1繞著不與此圖相交的軸OO1旋轉(zhuǎn)360度后就形成了一個(gè)圓錐體ABO.其體積等于△AOO1的面積乘上△AOO1之重心F至OO1軸的垂直距離FG為半徑所走過(guò)的圓周之長(zhǎng)度.

（1）求△AOO1之重心（形心）F：

取AO1邊長(zhǎng)之中點(diǎn)E，連接OE，同理連接O1D及AC線，三根中線的交點(diǎn)F即為△AOO1之重心.

由于中線交點(diǎn)F將每一中線分成2∶1之比例.又△OFG∽△OEO1，故有FGOF=O1EOE，所以FG=O1E·OFOE，由于FG=rx，O1E=r，即得交點(diǎn)F到OO1軸的垂直距離rx=2r3.

（2） 求△AOO1面積S1：

S1=R2·h=2r2·h=r·h.

（3）重心F繞OO1旋轉(zhuǎn)一周所走過(guò)的圓周長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則L=2rx·π.

（4） 求ABO圓錐的體積V錐（按理論力學(xué)之定理）：

V錐=S1·2rx·π，因?yàn)閞x=23r，所以V錐=r·h·π·2·23r=4πh3·r2.（1）

2證明圓錐體ABO與同底同高的圓柱體ABNJ之體積比值為1∶3

圖2圓柱體的縱向剖面（1）求環(huán)形錐體AOBNJ的體積V環(huán)錐（圓柱體去除ABO圓錐體后的剩余部分）.

取OO1軸左邊直角三角形△AOJ，做各邊中點(diǎn)連線，得K點(diǎn)為重心（形心，幾何中心），設(shè)△AOJ面積為S2：

S2=2r·h2=r·h，

則環(huán)形錐體體積V環(huán)錐等于：

V環(huán)錐=S2·2PK·π=S2·2ry·π=r·h·2ry·π=2ry·π·h·r，

由于△AJI∽△AMK（因?yàn)锳K=2，AI=3為中線比），所以MKIJ=AKAI=23（由于IJ=OI=r），故MK=2IJ3=2·r3.

因?yàn)閞y=2r-MK=2r-2r3=4r3，故可求得

V環(huán)錐=2r·h2×2×43r×π=8πh3r2.（2）

（2）環(huán)形錐體與正圓錐體之體積比：

V錐V環(huán)錐=4πh3r28hπ3r2=12.（3）

（3）圓柱體積V柱

V柱=V錐+V環(huán)錐（4）

=1+2=3

（4）圓錐體為圓柱體積的三分之一即得到證明：V錐V柱=13.（5）

3用公式（1）驗(yàn)證圓錐體體積為同底同高圓柱體體積的三分之一

由于R=2r，將其代入式（1）中也可得到圓錐體積另一表達(dá)式（用R取代r的表達(dá)式）

V錐=4πh3×r2=4πh3×（R2）2

=πR2h3.（6）

因?yàn)閳A柱體體積V柱=πR2·h，

所以V錐=43πr2h=13πR2h.（7）

因此V錐=13V柱也得到證明.

4按照本文的論證可以得出如下的推論

任何兩個(gè)封閉的幾何平面圖形的形狀不同而面積相等，繞著不與該兩個(gè)圖形相交叉的共同旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后所形成的兩個(gè)體積之比值等于兩個(gè)平面圖形之各自的重心到共同旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離之比.

作者簡(jiǎn)介邵百成，男，1935年生，教授級(jí)高工。全國(guó)機(jī)械協(xié)會(huì)旋壓學(xué)會(huì)委員.1993年獲國(guó)家政府津貼，獲國(guó)家發(fā)明四等獎(jiǎng)，多項(xiàng)專(zhuān)利、省部級(jí)科技進(jìn)步獎(jiǎng).