鄭燕平　張曜光

近日筆者有幸參加了本市教研室組織的第二屆說題比賽，比賽分為三個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)參賽教師自擬一個試題，并就該題的原創(chuàng)度、解法、背景、教學價值、引申與拓展等形成word電子文本；第二環(huán)節(jié)：提交“說題”書面稿一式10份（允許在一輪基礎(chǔ)上有所修改，但不得換題，有修改的電子稿賽前重郵），就參賽教師自擬的試題，向評委解讀并簡要回答評委問題，時間每人15分鐘；第三環(huán)節(jié)：先從現(xiàn)場抽取題目，封閉準備40分鐘后，向評委解讀并簡要回答評委問題.通過比賽讓人受益匪淺，說課作為一種時髦的校本教研活動，對于教育觀念，教學方式的變革，對于教育理論的理解和掌握，對于教學的研究和反思無疑都是一種可取的有效途徑.

說題的理解

“問題是數(shù)學的心臟”，這是美國當代數(shù)學家哈爾斯的話.沒有好的問題就沒有異彩紛呈的數(shù)學，沒有好老師用好問題引領(lǐng)學生去學，就沒有數(shù)學課堂的精彩.教師教的“有效”要通過“好題”的深入淺出，落實于學生學的“有效”上.

教師說題不能停留在“從解題角度看說題”這種淺表的意義上.從建構(gòu)主義的學習理論上對說題給三條淺說陋見：一是從建構(gòu)主義知識觀的角度上看“說題”，你對題目所給出的答案不是該問題的最終答案，它必將隨著學生認識程度的深入而不斷變革、升華或改寫，進而在學生的頭腦中產(chǎn)生新的解釋和假說；二是從建構(gòu)主義的學習觀角度上看“說題”，學習不是教師把知識簡單傳遞給學生的過程，而是學生自己建構(gòu)知識的過程，這里有“被動”和“主動”的重大差異.即便是你用所謂的“好題”做傳輸帶，但你僅僅關(guān)注了自己的經(jīng)驗，而忽略了學生的經(jīng)驗，學生從你的傳輸帶上也沒啥東西可拿.因此，我們呈現(xiàn)的題目不應(yīng)該是接力中的棒子，你的題目給的是“力”，學生接的是“力”，而非“接力棒”本身！三是從建構(gòu)主義的教學觀上看“說題”，我們選擇的“好題”必須切中學生原有的知識經(jīng)驗，刺激學生把原有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，進而形成新的知識經(jīng)驗.說題說到點兒上，這個點兒是度，即貼近學生的“最近發(fā)展區(qū)”.“說題”的內(nèi)核不是“拿嘴拿題來說”，而是“用心用題去教”.

命題的背景分析

近三年（2012-2014）浙江省高考理科數(shù)學的壓軸題都是考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，有非常明顯的特征：函數(shù)表達式都是純粹的三次函數(shù)，含參數(shù)含絕對值，重點考查分類討論與轉(zhuǎn)化化歸的思想.從2015年高考開始導(dǎo)數(shù)放入IB模塊內(nèi)容，壓軸題怎么考？版本很多，以下的三種猜測可能性比較大：一、將圓錐曲線提到壓軸題上；二、走2004—2008年的老路，數(shù)列與不等式的綜合題“重出江湖”作為壓軸題；三、撇開導(dǎo)數(shù)依舊走函數(shù)路線.

以上三種猜測，本人還是比較傾向于第三種，因為函數(shù)是高中數(shù)學的主線，二次函數(shù)又是主線的核心，從近三年的壓軸題來看，很多時候?qū)?shù)也只是“跑龍?zhí)住钡模怀霈F(xiàn)在三次函數(shù)的求導(dǎo)中之后就是二次函數(shù)的問題了，命題者完全可以不用三次函數(shù)直接用二次函數(shù)，或者也可以繼續(xù)用三次函數(shù)但不用導(dǎo)數(shù)，可以利用代數(shù)基本定理等工具將其轉(zhuǎn)化.二次函數(shù)問題是初中內(nèi)容在高中的延伸，也是高中函數(shù)最重要的內(nèi)容，試題變化多樣，如即使考導(dǎo)數(shù)，也很多化為二次，還有解析中也有化為二次的.下面是我編擬的題目：

題目已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b.

（1）證明：當0≤x≤1時，（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

說題目立意

該題題干是含兩個參數(shù)的二次函數(shù)形式，第一問有兩小問，第一小問求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，第二小問證明函數(shù)不等式.第二問是恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，主要考查分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法；重在考查二次函數(shù)的最值討論，按定義分類去絕對值，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，線性規(guī)劃等高中數(shù)學核心知識要點.

說試題解法

（1）第一小題第一小問

（ⅰ）解法1因為a>0，b∈R，所以二次函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b開口向上，對稱軸為x=b4a，當b4a≤12即b≤2a時，f（x）max=f（1）=3a-b；

當b4a>12即b>2a時，f（x）max=f（0）=-a+b；

所以f（x）max=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

解法2因為a>0，b∈R，所以二次函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b開口向上，f（x）max=max{f（0），f（1）}=max{-a+b，3a-b}=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

歸納小結(jié)本題中二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)的開口定，對稱軸不定，解法1按對稱軸與區(qū)間的中點分類討論，解法2按最大值肯定在區(qū)間端點取到的情形進行分類，此問只要審題清楚，條件a>0不疏忽，應(yīng)該不難解決.

第一小題第二小問

（ⅱ）解法1按定義去絕對值：當b≤2a時，

令g（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a，

（Ⅰ）當b≤0時，此時對稱軸x=b4a≤0，，g（x）min=g（0）=2a>0；

（Ⅱ）當00.

當b>2a時，

令F（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2b-2a.

（Ⅰ）當2a

F（x）min=g（b4a）=2b-2a-b24a=-14a[（b-4a）2-8a2]，因為2a0.

（Ⅱ）當b>4a時，此時對稱軸b4a>1，F(xiàn)（x）min=F（1）=2a>0.

綜上：f（x）+|2a-b|+a≥0.

解法2（ⅱ）當b≤2a時，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a≥4ax2-4ax+2a=2a（2x2-2x+1）；

當b>2a時，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2+2b（1-x）-2a≥4ax2+4a（1-x）-2a=2a（2x2-2x+1），令g（x）=2x2-2x+1=2（x-12）2+12>0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a·g（x）≥0.

歸納小結(jié)解法1是按對稱軸與區(qū)間關(guān)系分類討論求二次函數(shù)的最小值，思路比較簡單，但分類比較麻煩，解法2是先通過放縮，轉(zhuǎn)化為同一個函數(shù)的判斷正負問題，過程比較簡單但放縮技巧有一定難度.無論是解法1還是解法2，解題中都體現(xiàn)了將不等式證明問題化歸為函數(shù)最值的化歸思想.由f（x）+|2a-b|+a≥0是否意味著f（x）的最小值是-|2a-b|-a，從證明過程看，-|2a-b|-a一定取不到.

第二小題：

（2）解法1由（ⅰ）知，當0≤x≤1，f（x）max=|2a-b|+a，所以|2a-b|+a≤1.

若|2a-b|+a≤1，則由（ⅱ）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1.

所以-1≤f（x）≤1對任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1，

a>0，即2a-b≥0，

3a-b≤1，

a>0，或2a-b<0，

b-a≤1，

a>0.（*）

在直角坐標系aOb中，（*）所表示的平面區(qū)域為如右圖所示的陰影部分三角形ABC內(nèi)部，其中不包括線段BC，作一組平行直線a+b=t（t∈R），得-1

解法2由（1）知，當0≤x≤1時，|f（x）|≤|2a-b|+a，

所以|f（x）|≤1對任意0≤x≤1恒成立的充要條件是|2a-b|+a≤1

a>0，后續(xù)同上

歸納小結(jié)本小問的解決主要是建立在第（1）問的基礎(chǔ)之上，分析問題中注意線性規(guī)劃的數(shù)形結(jié)合思想，解題時要有“回頭看”的意識，對學生綜合能力的考查要求較高.

說數(shù)學思想方法

數(shù)學思想：分類討論（分類標準的選擇）、轉(zhuǎn)化與化歸（注意反思第一問對第二問的作用）、數(shù)形結(jié)合（注意挖掘線性規(guī)劃求范圍的數(shù)形結(jié)合思想）；

數(shù)學方法：二次函數(shù)最值的求解；構(gòu)造函數(shù)證明不等式；恒成立問題的轉(zhuǎn)化；線性規(guī)劃求雙變量問題的范圍.

說試題背景來源

該試題的背景來源于2012年浙江省高考數(shù)學理科第22題：已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當0≤x≤1時，（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1對任意x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

雖然本人只是將題干中的函數(shù)最高次的“3”改成了“2”，瞬間將三次函數(shù)問題變成了二次函數(shù)問題，不需要用到導(dǎo)數(shù)知識，此類二次函數(shù)問題實屬原創(chuàng)，網(wǎng)上找不到同類的問題，不僅直接就改變了試題所考查的內(nèi)容，更重要的是提供了高三復(fù)習的壓軸題的一個方向，我們只要將某些三次函數(shù)試題進行適當改編就可以形成全新的函數(shù)試題，讓人耳目一新，在高三高考復(fù)習教學中有一定的指導(dǎo)意義.

說問題變式與拓展

對于一個試題的變式無外乎從這兩個方面入手，一是對題目的條件加以變式、二是對題目的結(jié)論加以變式.基于以上想法，我主要從以下幾個方面對試題加以變式.

問題變式1已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=2ax2-2bx-a+2b，證明：當0≤x≤1時，函數(shù)f（x）的最大值為|a-b|+b.

變式意圖改變函數(shù)的表達式，說明此類問題有研究價值，有“生長點”.

問題變式2已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b≥0對任意x∈[-1，1]恒成立，求a，b滿足的關(guān)系.

變式意圖其實函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b=4a（x-12）（x+12-b2a）恒過定點（12，0），所以2a=b.挖掘不變量是解題的重要突破口，也是解題的出發(fā)點.

問題變式3已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax2-2bx-a+b，若|f（x）|≤1對任意x∈[0，1]恒成立，求a2+b2的最大值.

變式意圖改變題目的待求結(jié)論并且少了第一問的鋪墊，試題難度立馬增加，說明難易度可“伸縮”，容易控制難易度.

問題變式4設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個零點，求a2+b2的最小值.

問題變式5若函數(shù)f（x）=x2+2ax+b在（1，2）上有兩個不同的零點，求a+b的取值范圍.

變式意圖“恒成立”問題改為“存在性”問題.

問題拓展1（2014年浙江理6）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3B.3

C.69

問題拓展2已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則a2+b2的取值范圍是.

問題拓展3函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，滿足f（-1）=-1，f（3）=3，則f（1）+f（1+22）=.

問題拓展4若有且只有一個正方形，其四個頂點都在曲線y=x3+ax上，求實數(shù)a的值及正方形的面積.

拓展意圖雖然表達式是三次函數(shù)但可以根據(jù)代數(shù)基本定理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一次函數(shù)的問題，當然也可以直接利用消元的思想來解決.

從“說課”到“說題”，不但不是退步，反而是最大的進步！一腳邁進課的最深處，入微了，沒有了“探”的束手束腳，直接進入了“究”的境界，因而，“說題”應(yīng)該成為教師常態(tài)的“探究”活動.

“說題”之“說”，不是教師的“單口”，而是課堂上的“對口”甚至“群口”.我們引領(lǐng)學生對問題進行評價，這樣，我們教師就給學生引薦了更貼身的老師——問題，這就是“以題為師”的理念.

“教”的歸宿是“學”！課靠“教師教”來支撐，但課的生命是“學生學”的律動！“學會”是天、“會學”是地，對于教師而言，“教”的意義就是讓學生感悟——“立地”方可“頂天”！“有效教學”中的“有效”一定要通過學生學的“有效”來實現(xiàn)，也許，“好的問題”是兩個“有效”之間的最短距離.“說題”中的“題”要精選，這個“題”，應(yīng)該是“一只產(chǎn)金蛋的母雞”，不要扼殺它！

作者簡介鄭燕平，1983年生，浙江省金華市婺城區(qū)白龍橋鎮(zhèn)人，中共黨員，中學一級教師.先后被評為校優(yōu)秀班主任，優(yōu)秀共產(chǎn)黨員，市、校先進工作者，曾在地、市級開設(shè)公開課、觀摩課.曾榮獲金華市首屆教師基本功比賽一等獎，金華市第二屆說題比賽一等獎，有多篇論文發(fā)表.